Введение в моделирование в Simulink. На примере электрических цепей

В этой статье рассмотрены структурные модели простых электрических цепей и преобразователей и их реализация в Simulink. Наиболее простые модели, как правило, позволяют получить до 90% результатов, которые используются на практике для анализа и проектирования. С другой стороны, простые модели являются простыми, что позволяет максимально глубоко понять происходящие процессы. Поэтому наилучший способ изучать что-либо - это начать с простых, базовых моделей и понятий, постепенно усложняя их.

Зачем?

Данная статья предназначена для начинающих пользователей Simulink.

В ней поставлена и решается "странная" задача по моделированию простых электрических цепей и электронных преобразователей посредством структурных схем на основе элементов из библиотеки Simulink. 

Это задача "странная", потому что в составе MATLAB давно имеется мощная библиотека схемотехнического моделирования SimPowerSys, SimScape, которые позволяют достаточно быстро и точно моделировать электрические цепи и преобразователи.

Зачем же может понадобиться моделирование структурными схемами Simulink? Попробую дать ответ на этот вопрос.

1. Вы освоили схемотехническое моделирование, и вам хочется глубже понять, как устроена и работает имитационная машина MATLAB. Поэтому вы решаете "спуститься" на один уровень вниз.

2. Вы понимаете, что в ваших схемотехнических моделях должны появляться системы управления, и вы решаете освоить новую библиотеку на основе хорошо знакомых вам элементах и цепях.

3. Имеющиеся блоки в схемотехнических библиотеках не подходят по каким-либо причинам. Например, вы придумали новый электронный компонент или же вы исследуете тонкие явления в стандартных компонентах, которые не "берутся" стандартными моделями.

4. У вас есть математическое описание, и вы хотите более глубоко его понять и исследовать, "потрогать" уравнения и увидеть, как формируется результаты их решения.

Безусловно, могут быть и другие причины.

Очень простые модели

Наиболее простые модели, как правило, позволяют получить до 90% результатов, которые используются на практике для анализа и проектирования. С другой стороны, простые модели являются простыми, что позволяет максимально глубоко понять происходящие процессы.
Поэтому наилучший способ изучать что-либо - это начать с простых, базовых моделей и понятий, постепенно усложняя их.

Индуктивность

Индуктивность описывается следующим уравнением:

Если рассматривать приложенное напряжение как вход, а протекающий ток в индуктивности как выход, то ее структурная схема будет как на рисунке.

Рис. Структурная схема, соответсвующая индуктивности L

Удобно эту структурную схему оформить в подсистему. Тогда для определения, например, как будет меняться ток при постоянном приложенном напряжении, нужно будет подать на вход подсистемы 'Индуктивность' напряжение, а на выходе измерять ток.

Рис. Индуктивность L при постоянном приложенном напряжении

На следующем рисунке представлено, как меняется ток в индуктивности 10 мкГн при приложении к ней напряжения в 12 В. Видно, что ток в индуктивности линейно возрастает. Конечно, знающий математику мог бы определить это свойство индуктивности из ее уравнения.

Рис. Изменение тока в индуктивности при постоянном приложенном напряжении

Напряжение на катушке индуктивности будет мгновенно изменяться с положительного на отрицательное при переключении с накопления энергии в индуктивности (производная di/dt положительна) на извлечение энергии из нее (di/dt отрицательна). Кроме того, ток в индуктивности не может меняться скачком, так как это приведет к возникновению на катушке бесконечно большого напряжения. В реальности такие эффекты, как, например, возникающая при «пробое» контактов электрическая дуга или активное сопротивление реальной катушки, ограничивают это напряжение очень высоким, но не бесконечным значением.

Индуктивность и активное сопротивление

Теперь усложним цепь, добавив последовательно с индуктивностью активное сопротивление. Последовательная RL-цепь описывается следующим уравнением:

Теперь к индуктивности приложено напряжение U-Ri, и на структурной схеме образуется замкнутая петля. Скорость нарастания тока постепенно уменьшается, пока не станет равной нулю, а ток не получит установившегося неизменного значения U/R. С точки зрения теории управления, в этой простой системе мы имеем пример отрицательной обратной связи, которая приводит к стабилизации тока.

Рис. Структурная схема индуктивности RL-цепи

Рис. Изменение тока в RL-цепи

С физической точки зрения, устанавливается постоянный ток, при котором приложенное напряжение полностью уравновешивается падением напряжения на активном сопротивлении, а напряжение на индуктивности при этом равно нулю. Переходной процесс связан с изменением магнитной энергии катушки индуктивности.

Последовательная RLC-цепь

Рассмотрим еще одну простую цепь, состоящую из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости. Эта цепь будет описываться следующим уравнением:

Здесь напряжение на индуктивности уменьшается на величину напряжения на емкости.

На структурной схеме образуется еще одна замкнутая петля.

Рис. Структурная схема последовательной RLC-цепи

Изменение тока в этом случае могут получаться апериодическими или колебательными – в зависимости от соотношения параметров R, L, C. Колебания связаны с перетеканием энергии из электрического поля емкости в магнитное поле индуктивности и наоборот.

Рис. Изменение тока в RLC-цепи

Разветвленная L-RC-цепь

До сих пор мы рассматривали не разветвленные цепи. Рассмотрим цепь с разветвлением. Например, индуктивность соединенную последовательно с параллельно соединенными активным сопротивлением и емкостью.

Рис. Разветвленная L-RC-цепь

При этом в качестве входной (воздействующей) величины будем рассматривать приложенное напряжение ко всей цепи, а в качестве выходной величины – напряжение на активном сопротивлении.

Уравнения будут следующими:

В соответствии с уравнением напряжения, напряжение на индуктивности будет меньше входного напряжения на величину выходного напряжения. Выходное напряжение определяется интегрированием тока через емкость, который определяется как разность тока в индуктивности и активном сопротивлении.

Рис. Структурная схема индуктивности L-RC-цепи

Рис. Изменение тока в L-RC-цепи

Результаты моделирования показывают, что после колебательного процесса ток в индуктивности устанавливается и равен току в активном сопротивлении, так как ток через емкость становится равным нулю. Выходное напряжение при этом равно входному.

О методе составления структурных схем

Мы составляли схемы, последовательно рассматривая уравнения. При этом центральным звеном наших рассуждений была индуктивность, потому что мы начали наши построения с рассмотрения индуктивности и постепенного усложнения цепи и структурных схем. Такой метод может быть неудобен, когда вы рассматриваете сложную и незнакомую цепь и соответствующую систему уравнений.
Можно предложить более универсальный и формализованный подход к построению структурных схем. Из имеющихся уравнений необходимо выразить самые старшие производные, а затем конструировать схему на основании полученной правой части. Получившийся сигнал нужно проинтегрировать, а затем замкнуть все обратные связи.

Моделирование силовых преобразователей

DC-DC преобразователь

Рассмотрим пример понижающего преобразователя постоянного тока. На схеме приведен идеальный понижающий преобразователь. Реальный ключ реализуется с помощью транзистора и диода.

Рис. Понижающий преобразователь

При соответствующих положениях идеального ключа, схемы замещения преобразователя будут выглядеть как на следующем рисунке.

Рис. Понижающий преобразователь при разных положениях ключей

Напряжение на индуктивности при положении ключа 1 будет равно разнице между входным напряжением и выходным напряжением. При положении ключа 2 напряжение на индуктивности равно выходному напряжению с обратным знаком. Если ток изменит направление, то приложенное напряжение также изменит знак.

В структурной схеме необходимо отразить эти изменения схемы замещения, что можно сделать с помощью переключателей. Однако можно использовать и другой подход, заметив, что напряжение на индуктивности в обоих случаях можно представить следующим образом.

Здесь F равно 1 (и F равно 0) при положении ключа 1 и F равно 0 (и F равно 1) при положении ключа 2. Этот сигнал можно рассматривать как сигнал, который система управления подает на силовой транзистор. Такой управляющий сигнал обычно получают сравнением пилообразного напряжения с постоянным напряжением. В Simulink можно его реализовать одним блоком – источником прямоугольных импульсов.

Рис. Получение управляющего сигнала

Струкутрную схему преобразователя без нагрузки (то есть ключ и фильтр) строим обычным образом. Сначала строим блоки, на выходе которых будет напряжение на индуктивности. Далее интегрируем это напряжение, чтобы получить ток в индуктивности. Вычитая из этого тока ток нагрузки (ток в активном сопротивлении), определяем ток в емкости. Интегрирование тока в емкости позволяет получить выходное напряжение преобразователя. 

Рис. Модель понижающего преобразователя

Для исследования работы преобразователя на конкретную нагрузку объединяем все подсистемы в одну структурную схему, на которой также добавляется источник постоянного напряжения и структурная схема, соотвествующая нагрузке преобразователя.

 
Рис. Модель преобразователь - нагрузка

С помощью блоков Scope получаем осциллограммы необходимых величин. На следующем рисунке представлено изменения выходного напряжения во времени. Видно, что напряжение не является постоянным, однако его колебания незначительны. Напряжение источника 12В снизилось почти до 8В. Регулируя длительность управляющих импульсов, можно регулировать выходное напряжение.

Рис. Выходное напряжение

Для поддержания напряжения неизменным при изменениях нагрузки, можно ввести систему управления, обеспечивающую обратную связь для стабилизации выходного напряжения.

Заключение

Представленые простые примеры моделирования электрических цепей и преобразователей в Simulink могут служить введением в использовании структурных схем для исследования реальных цепей и преобразователей.

Аналогичным образом можно сторить модели любых других преобразователей, устройств и систем. Все что для этого нужно – это математическое описание (уравнения). Такой подход позволяет учитывать все более сложные аспекты реальных цепей и преобразователей, например потери в ключах и элементах преобразователя.

В то же время при анализе типовых схем наилучшим решением будет использование библиотеки физического моделирования SimScape. Описанный здесь подход целесообразно использовать для цепей и преобразователей при необходимости учета влияния нестандартных элементов или их характеристик.

Совершенно аналогично можно моделировать систему любой другой природы: механические, тепловые, гидравлические.