• Регистрация
Редактор-сообщества-Экспонента
Редактор-сообщества-Экспонента+26.70
н/д
  • Написать
  • Подписаться

Курс по математическому анализу

Математика и статистика,  Другое 
18.11.2019

Вашему вниманию предлагается курс по математическому анализу.

Содержание

 

 

Наверх

1. Предел числовой последовательности.

Последовательность Image77.gif (961 bytes) - это функция, заданная на множестве натуральных чисел Image78.gif (1067 bytes). Число Image79.gif (864 bytes) называется пределом последовательности Image80.gif (961 bytes), если для любого положительного числа Image81.gif (852 bytes), как бы мало оно ни было, существует такой номерImage82.gif (887 bytes), что для всех Image83.gif (896 bytes) c номерами Image84.gif (951 bytes) справедливо неравенство Image87.gif (1087 bytes). Неравенство Image86.gif (1042 bytes), эквивалентное неравенствуImage87.gif (1087 bytes) , означает, что для любогоImage88.gif (925 bytes) существует такой номерImage89.gif (887 bytes) , что все Image90.gif (893 bytes) c номерамиImage91.gif (951 bytes) расположены между Image92.gif (901 bytes)и Image93.gif (913 bytes). Последовательность, предел которой - конечное число Image94.gif (864 bytes), называется сходящейся, и ее предел обозначаютImage95.gif (1051 bytes). Если изобразить элементы последовательностиImage96.gif (893 bytes) на плоскости точками с координатами Image97.gif (1001 bytes) , то неравенства Image98.gif (1087 bytes)означают, что все точки Image99.gif (1001 bytes) с номерамиImage100.gif (951 bytes) расположены между параллельными оси абсцисс прямымиImage101.gif (901 bytes) иImage102.gif (913 bytes) .

 

Бесконечно малая последовательность. Последовательность Image77.gif (961 bytes) , предел которой равен нулю Image172.gif (1062 bytes), называется бесконечно малой.   

Бесконечно большая последовательность. Последовательность Image105.gif (901 bytes)называется бесконечно большой, если для любого положительного числа Image106.gif (900 bytes) , как бы велико оно ни было, существует такой номер Image82.gif (887 bytes) , что для всех Image105.gif (901 bytes)с номерамиImage107.gif (951 bytes)справедливо неравенство Image108.gif (1048 bytes) , записываем Image109.gif (1073 bytes).

 

 

Наверх

2. Методы вычисления пределов последовательностей.

Пусть заданы две последовательности Image676.gif (893 bytes) и Image677.gif (896 bytes). Если существуют Image678.gif (1009 bytes) и Image679.gif (1016 bytes), то существуют и пределы суммы и произведения последовательностей, а при Image680.gif (1086 bytes)и предел частного, причем   Image681.gif (1457 bytes),        Image682.gif (1428 bytes), Image683.gif (1411 bytes) . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой последовательности.

Неопределенности и их раскрытие.

Если   Image684.gif (1062 bytes) и  Image685.gif (1068 bytes), то может существовать  Image686.gif (1134 bytes). В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  Image687.gif (911 bytes). Также может существовать  Image688.gif (1076 bytes) , в этом случае имеем неопределенность типа  Image689.gif (927 bytes). Если  Image690.gif (1071 bytes) и  Image691.gif (1071 bytes), то может существоватьImage688.gif (1076 bytes) . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  Image692.gif (928 bytes) . Поскольку в перечисленных случаях не применимы теоремы о пределе суммы, произведения и частного, используют другие способы вычисления, которые называют методами раскрытия неопределенностей. Это, как правило, алгебраические преобразования, приводящие выражения к виду, при котором можно пользоваться упомянутыми теоремами.

 

 

Наверх

3. Предел функции в точке.

 

Рассмотрим функцию Image212.gif (961 bytes), определенную в некоторой окрестности точки  Image213.gif (862 bytes), Image214.gif (1080 bytes),Image215.gif (940 bytes) , за исключением, быть может, самой точки Image216.gif (862 bytes) . Число Image217.gif (872 bytes) называется пределом функции Image218.gif (965 bytes) при Image219.gif (860 bytes), стремящемся к Image213.gif (862 bytes), если для любого положительного числа Image220.gif (855 bytes), как бы мало оно ни было, существует такое положительное число Image221.gif (870 bytes) , что для всех   Image222.gif (860 bytes), удовлетворяющих неравенству  Image223.gif (1090 bytes), справедливо неравенство Image224.gif (1112 bytes). Говорят “предел функции Image225.gif (965 bytes) в точке Image213.gif (862 bytes) ” и обозначают  Image226.gif (1119 bytes). Неравенство Image227.gif (1112 bytes) для всех Image228.gif (1090 bytes), эквивалентное неравенствам Image229.gif (1147 bytes), Image230.gif (1067 bytes), означают, что для любого Image231.gif (925 bytes)существует такое Image232.gif (870 bytes), что для Image233.gif (1067 bytes) график функции  Image234.gif (965 bytes) расположен на плоскости Image235.gif (933 bytes)в прямоугольнике Image236.gif (1262 bytes). При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела. А именно: Image237.gif (1137 bytes) , если для любой, сходящейся к Image238.gif (864 bytes) последовательности значений аргумента Image239.gif (955 bytes), соответствующая последовательность значений функции Image240.gif (1036 bytes) сходится к числу Image241.gif (873 bytes). Отсюда следует, в частности, что для любого Image231.gif (925 bytes)существует такое Image232.gif (870 bytes), что для любой последовательности Image242.gif (955 bytes), сходящейся к Image243.gif (864 bytes), точки с координатами Image244.gif (1090 bytes) находятся на плоскости внутри прямоугольника   Image236.gif (1262 bytes)

Бесконечно большие функции.

Если для любой последовательности Image246.gif (967 bytes) значений аргумента соответствующая последовательность значений функцииImage247.gif (989 bytes) бесконечно большая, то функция Image234.gif (965 bytes)называется бесконечно большой в точке Image248.gif (862 bytes). Если Image249.gif (961 bytes) бесконечно большая в точке Image248.gif (862 bytes), то для любого положительного числа Image251.gif (900 bytes), как бы велико оно ни было, существует такое число Image252.gif (936 bytes), что для всех Image253.gif (859 bytes), удовлетворяющих неравенству Image254.gif (1090 bytes), справедливо неравенство Image255.gif (1099 bytes); обозначают  Image256.gif (1121 bytes).

 

 

Наверх

4. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим функциюImage337.gif (965 bytes), определенную в некоторой окрестности Image339.gif (1070 bytes)точки Image338.gif (862 bytes), Image340.gif (940 bytes),  за исключением, быть может, самой точки Image341.gif (862 bytes). Функция Image342.gif (965 bytes) называется бесконечно малой при Image343.gif (860 bytes), стремящемся к Image341.gif (862 bytes), если Image344.gif (1119 bytes). Если Image342.gif (965 bytes)— бесконечно малая в точке Image345.gif (915 bytes), то для любого положительного числа Image346.gif (852 bytes), как бы мало оно ни было, существует такое положительное число Image347.gif (870 bytes) , что для всех Image348.gif (860 bytes), удовлетворяющих неравенствуImage349.gif (1090 bytes) , справедливо неравенство Image350.gif (1062 bytes). Неравенства Image351.gif (1062 bytes) для всех Image352.gif (1090 bytes), эквивалентные неравенствам Image353.gif (1055 bytes), Image354.gif (1067 bytes), означают, что для любого Image355.gif (925 bytes)существует такое Image347.gif (870 bytes), что для Image354.gif (1067 bytes)график функции расположен на плоскости в прямоугольнике Image357.gif (933 bytes). Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функциюImage336.gif (1391 bytes).  При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.   

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть Image359.gif (950 bytes)и Image360.gif (961 bytes) — две функции, бесконечно малые в точке Image361.gif (915 bytes). Если Image362.gif (1244 bytes), то говорят, что Image363.gif (950 bytes) более высокого порядка малости, чем Image364.gif (961 bytes)и обозначают Image365.gif (1140 bytes). Если же Image366.gif (1241 bytes), то Image367.gif (961 bytes) более высокого порядка малости, чемImage368.gif (950 bytes) ; обозначают Image369.gif (1144 bytes). Бесконечно малые функции Image370.gif (950 bytes) и Image371.gif (961 bytes)называются бесконечно малыми одного порядка малости, если Image372.gif (1372 bytes) , обозначают Image373.gif (1152 bytes) .  И, наконец, если  Image379.gif (1184 bytes) не существует, то бесконечно малые функции Image380.gif (950 bytes)и Image381.gif (961 bytes) несравнимы.   

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если Image374.gif (1232 bytes), то бесконечно малые функции Image375.gif (950 bytes)и Image376.gif (961 bytes) называются эквивалентными, обозначаютImage377.gif (950 bytes) ~Image378.gif (956 bytes) .

 

 

Наверх

5. Методы вычисления пределов функций.

Пусть заданы две функцииImage626.gif (961 bytes) и Image694.gif (965 bytes). Если существуют Image695.gif (1100 bytes) и  Image696.gif (1096 bytes), то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при Image697.gif (1155 bytes)и предел частного, причем        

Image698.gif (1709 bytes),

Image699.gif (1694 bytes),      

Image700.gif (1697 bytes) .

Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть  Image701.gif (1063 bytes) . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

 Image702.gif (1410 bytes), то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной Image666.gif (982 bytes), то вычисление предела при  Image703.gif (967 bytes)всегда можно свести к вычислению предела приImage704.gif (935 bytes) . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке Image665.gif (891 bytes) в выражение для функции. 

 

Неопределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если Image705.gif (1151 bytes) и  Image706.gif (1152 bytes) , то может существоватьImage707.gif (1286 bytes) . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типаImage687.gif (911 bytes) . Также может существовать  Image708.gif (1216 bytes) , в этом случае имеем неопределенность типа  Image689.gif (927 bytes) . Если  Image709.gif (1157 bytes) и  Image710.gif (1151 bytes) , то может существовать  Image711.gif (1216 bytes).   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типаImage692.gif (928 bytes) . Если    Image709.gif (1157 bytes) и   Image712.gif (1149 bytes), то может существовать Image713.gif (1219 bytes) - неопределенность типа  Image714.gif (920 bytes). Рассматривают также неопределенности типа Image715.gif (882 bytes), Image716.gif (892 bytes)и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой Image665.gif (891 bytes)в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы: 

     Image717.gif (1304 bytes) (е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов) - неопределенность типа Image715.gif (882 bytes).

       Image718.gif (1156 bytes)- неопределенность типа Image719.gif (928 bytes).

Использование эквивалентных бесконечно малых.

Если мы имеем неопределенность типа    Image719.gif (928 bytes), то это означает, что мы вычисляем предел отношения двух бесконечно малых функций. Напомним, что функция называется бесконечно малой, если ее предел в точке Image665.gif (891 bytes) равен нулю. ПустьImage720.gif (960 bytes), Image721.gif (979 bytes), Image722.gif (973 bytes), Image723.gif (989 bytes) - бесконечно малые функции при Image703.gif (967 bytes) , причем Image720.gif (960 bytes)эквивалентна Image721.gif (979 bytes) , т.е.Image720.gif (960 bytes) ~ Image721.gif (979 bytes), Image722.gif (973 bytes)~ Image723.gif (989 bytes)(напомним, что две бесконечно малых называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1). ТогдаImage724.gif (1584 bytes), т.е. при вычислении пределов отношений бесконечно малых любую из них можно заменять на эквивалентную. 

Правило Лопиталя.

Неопределенности типа Image719.gif (928 bytes) или Image689.gif (927 bytes)удобно раскрывать с помощью правила Лопиталя. Пусть Image693.gif (965 bytes) и Image694.gif (965 bytes) две бесконечно малые или бесконечно большие функции при Image703.gif (967 bytes) и существует предел отношения их производных при Image703.gif (967 bytes). Тогда Image725.gif (1561 bytes) . Если в результате применения правила Лопиталя снова получится неопределенность, то его можно применить еще раз. 

 

Формула Тейлора.

Пусть функция Image626.gif (961 bytes)имеет в точке Image726.gif (886 bytes) производные всех порядков до Image628.gif (864 bytes)-го включительно. Тогда для   Image626.gif (961 bytes) справедлива формула Тейлора:

7271.gif (1895 bytes)

7272.gif (1497 bytes)

где Image728.gif (996 bytes) называется остаточным членом формулы Тейлора.

 

 

Наверх

6. Непрерывность функции в точке, на отрезке.

Рассмотрим функцию Image729.gif (965 bytes), определенную на некотором промежутке Image730.gif (1048 bytes). Функция  Image729.gif (965 bytes)непрерывна в точке Image732.gif (1062 bytes), если предел функции в точке Image733.gif (891 bytes) равен значению функции в этой точке,Image734.gif (1235 bytes)

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка Image735.gif (976 bytes), называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке Image736.gif (976 bytes), справедливы следующие утверждения. 

Функция, непрерывная на отрезке Image736.gif (976 bytes) , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке Image736.gif (976 bytes) существуют точки Image737.gif (945 bytes) такие, что

7381.gif (1723 bytes)

7382.gif (1311 bytes)

Если функция Image739.gif (961 bytes) непрерывна на отрезке Image736.gif (976 bytes) и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале Image740.gif (980 bytes) существует точка  Image741.gif (854 bytes) , в которой функция обращается в нуль, т.е.  Image742.gif (1431 bytes) . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений Image743.gif (1013 bytes) с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция  Image739.gif (961 bytes) непрерывна на отрезке   Image736.gif (976 bytes) , дифференцируема хотя бы на интервале Image744.gif (977 bytes) , то на интервале Image744.gif (977 bytes) существует точка Image741.gif (854 bytes), такая, что  Image745.gif (1314 bytes). Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

 

 

Наверх

7. Классификация точек разрыва

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке Image383.gif (1048 bytes). Функция Image384.gif (965 bytes)непрерывна в точке Image385.gif (1062 bytes), если предел функции в точке Image386.gif (891 bytes) равен значению функции в этой точке, Image387.gif (1235 bytes)

Односторонние пределы функции в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка Image388.gif (976 bytes), называется непрерывной на промежутке. Если функцияImage382.gif (965 bytes) определена на промежуткеImage389.gif (983 bytes) , , то при исследовании поведения функции в окрестности точки Image391.gif (864 bytes) имеет смысл говорить о пределе функции  в точке Image392.gif (864 bytes) справа, а при исследовании в окрестности точки Image393.gif (872 bytes)- о пределе функции в точке Image394.gif (872 bytes) слева. Число Image395.gif (872 bytes)называется пределом справа функции при Image396.gif (860 bytes), стремящемся к , если для любого положительного числа Image398.gif (852 bytes), как бы мало оно ни было, существует такое положительное число Image399.gif (870 bytes) , что для всех  , удовлетворяющих неравенству Image401.gif (1026 bytes), справедливо неравенство Image402.gif (1112 bytes) . Говорят “предел справа функции в точке Image392.gif (864 bytes)” и обозначают Image403.gif (1157 bytes). Аналогично говорят “предел слева функции в точкеImage404.gif (872 bytes) ” и обозначают Image405.gif (1161 bytes), если для любого положительного числа Image406.gif (852 bytes), как бы мало оно ни было, существует такое положительное число Image407.gif (870 bytes), что для всех , удовлетворяющих неравенствуImage408.gif (1025 bytes) , справедливо неравенство Image409.gif (1112 bytes) . Для существования предела функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке. По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке Image410.gif (976 bytes), Image390.gif (935 bytes), непрерывна справа в точке , еслиImage411.gif (1227 bytes) и непрерывна слева в точке  , еслиImage412.gif (1232 bytes). Для того чтобы функция была непрерывна в точке  необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:Image414.gif (1498 bytes). Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке

Классификация разрывов.

Если хотя бы одно из равенств Image414.gif (1498 bytes) нарушается, говорят о разрыве в точке Image415.gif (891 bytes). Если  Image416.gif (837 bytes)и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке Image415.gif (891 bytes)называется устранимым. Если Image418.gif (1561 bytes)и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке Image415.gif (891 bytes). Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

 

 

Наверх

8. Производная, ее вычисление, геометрический смысл.

Производная функции в точке - Пусть функция Image110.gif (965 bytes) определена на промежутке Image111.gif (974 bytes). Точка Image483.gif (1042 bytes)— произвольная точка из области определения функции, Image484.gif (1370 bytes)  — приращение функции в точке Image485.gif (891 bytes), вызванное приращением Image486.gif (915 bytes)независимой переменной Image487.gif (860 bytes).  Производной функции Image488.gif (965 bytes)по независимой переменной Image487.gif (860 bytes) в точке Image489.gif (945 bytes),  Image490.gif (1042 bytes)называется предел отношения приращения функции Image491.gif (1023 bytes)к приращению Image492.gif (915 bytes) при стремлении Image492.gif (915 bytes) к нулю, т.е.   

Image493.gif (1906 bytes)

Image494.gif (1811 bytes),  

Image495.gif (969 bytes)— производная функции в точке Image496.gif (1028 bytes)

Односторонние производные - Если Image110.gif (965 bytes)определена при Image497.gif (959 bytes), то можно определить правую производную функции Image110.gif (965 bytes)в точке Image498.gif (892 bytes):Image500.gif (1477 bytes)Image501.gif (1927 bytes)

Аналогично, если Image110.gif (965 bytes) определена при Image502.gif (955 bytes), определяется левая производная функции в точке Image498.gif (892 bytes):

Image504.gif (1473 bytes)

Image505.gif (1913 bytes)

 Функция Image110.gif (965 bytes) имеет в точке Image506.gif (891 bytes) производную Image507.gif (997 bytes)тогда и только тогда, когда в точкеImage506.gif (891 bytes)совпадают ее левая и правая производные: Image509.gif (1296 bytes) . 

Секущая графика функции - Пусть Image110.gif (965 bytes)— функция, определенная на промежутке Image510.gif (972 bytes). Прямая, проходящая через точки Image511.gif (1089 bytes), Image512.gif (1070 bytes), Image513.gif (1094 bytes), Image514.gif (973 bytes) называется секущей графика функции Image110.gif (965 bytes) . Угловой коэффициент Image515.gif (872 bytes) секущей равен  Image516.gif (1261 bytes) и ее уравнение имеет вид Image517.gif (1583 bytes) . 

Касательная и нормаль к графику функции - Касательной к графику функции Image110.gif (965 bytes) в точке Image518.gif (1089 bytes) называется предельное положение секущей, проходящей через точки Image518.gif (1089 bytes) , Image520.gif (1070 bytes), когда Image521.gif (982 bytes). Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке Image522.gif (1045 bytes)и ее уравнение имеет видImage523.gif (1306 bytes) . Нормалью к графику функции Image110.gif (965 bytes) в точке Image518.gif (1089 bytes)называется прямая , проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали равен   Image524.gif (1074 bytes) и ее уравнение имеет вид  Image525.gif (1326 bytes).

 

 

Наверх

9. Производные сложных, обратных функций.

Пусть   Image773.gif (996 bytes) - функция, дифференцируемая в точке  Image1091.gif (884 bytes),  Image1092.gif (1016 bytes) - функция, дифференцируемая в точке  Image665.gif (891 bytes) , причем  Image1093.gif (1042 bytes). Тогда  Image1094.gif (1079 bytes) - сложная функция независимого переменного Image1095.gif (857 bytes), дифференцируема в точке  Image1091.gif (884 bytes)  и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   Image1096.gif (1130 bytes).

Обычно  Image1097.gif (877 bytes)  называют внешней функцией, а Image1098.gif (859 bytes)- внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции. 

Производная обратной функции.

Пусть функция Image1099.gif (1016 bytes)дифференцируема и строго монотонна на Image1100.gif (974 bytes). Пусть также в точке Image1101.gif (1055 bytes)производная Image1102.gif (1067 bytes). Тогда в точке Image1103.gif (1063 bytes)  определена дифференцируемая функция Image1104.gif (970 bytes), которую называют обратной к  Image693.gif (965 bytes), а ее производная вычисляется по формуле Image1105.gif (1381 bytes).

 

 

Наверх

10. Дифференцируемость, дифференциал.

Дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция  Image693.gif (965 bytes)определена в некоторой окрестности точки Image746.gif (891 bytes) . Рассмотрим приращение функции в этой точке: Image747.gif (1361 bytes) . Функция Image693.gif (965 bytes)называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно записать в виде Image748.gif (1291 bytes), где Image749.gif (900 bytes)- приращение независимой переменной, А – постоянная, не зависящая от Image749.gif (900 bytes), Image750.gif (994 bytes)- бесконечно малая функция при Image751.gif (967 bytes)

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции Image693.gif (965 bytes) в точке Image746.gif (891 bytes)называется линейная по Image749.gif (900 bytes) часть Image752.gif (937 bytes)приращения Image753.gif (992 bytes). Дифференциал обозначается   Image754.gif (911 bytes), то есть Image755.gif (1023 bytes) . Рассматривая функцию Image756.gif (1015 bytes), нетрудно убедиться, что  Image757.gif (973 bytes), если  Image758.gif (859 bytes)- независимая переменная. 

Связь дифференциала и производной.

Воспользуемся определением производной для дифференцируемой функции Image759.gif (1016 bytes)в точке Image746.gif (891 bytes): Image760.gif (1688 bytes). Таким образом, дифференциал функции выражается формулой  Image761.gif (1021 bytes), то есть для вычисления дифференциала необходимо лишь вычислить производную и умножить ее на  Image762.gif (898 bytes). Поэтому часто слова “вычисление производной” и “дифференцирование” считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная. 

 

 

Наверх

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  Image759.gif (1016 bytes), определенную на некотором промежутке  Image744.gif (977 bytes) . Вычислим производную Image763.gif (884 bytes), которая также является функцией на Image744.gif (977 bytes). Производной второго порядка от функции Image759.gif (1016 bytes) называется производная от ее производной:   Image764.gif (1031 bytes). Аналогично определяют производную любого порядка:  Image765.gif (1125 bytes)

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции Image759.gif (1016 bytes) в произвольной точке промежутка Image744.gif (977 bytes): Image766.gif (1100 bytes). Здесь Image767.gif (898 bytes) - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от Image768.gif (859 bytes). Сам же дифференциал есть функция от Image768.gif (859 bytes), и можно вычислить дифференциал от этой функции:  Image769.gif (1289 bytes) При Image770.gif (995 bytes) этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Image771.gif (1161 bytes)Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка Image772.gif (1187 bytes).

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции Image759.gif (1016 bytes) в произвольной точке промежутка Image744.gif (977 bytes): Image766.gif (1100 bytes). Здесь Image767.gif (898 bytes)- приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от Image768.gif (859 bytes). Пусть теперь  Image773.gif (996 bytes) - функция независимого переменного Image774.gif (857 bytes), определенная на промежутке Image775.gif (994 bytes) . Тогда  Image776.gif (1079 bytes)- сложная функция переменного Image774.gif (857 bytes). Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: Image777.gif (1460 bytes). Заметим, что Image778.gif (1081 bytes)и выражение для дифференциала принимает ту же форму Image766.gif (1100 bytes), хотя здесь Image767.gif (898 bytes) уже функция переменного  Image774.gif (857 bytes). Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что  Image767.gif (898 bytes)- функция переменного  Image774.gif (857 bytes). Поэтому Image779.gif (1360 bytes)и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

 

 

Наверх

12. Исследование функций и построение графиков.

Рассмотрим функцию Image110.gif (965 bytes), определенную на промежутке Image111.gif (974 bytes)(возможно,  Image531.gif (1582 bytes)) . Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения. 

Если Image532.gif (1037 bytes), то график функции пересекает ось абсцисс в точке Image113.gif (884 bytes) . 

Если Image533.gif (1040 bytes), то график функции пересекает ось ординат в точке  Image115.gif (1037 bytes).

Если в точке Image534.gif (1061 bytes) функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту Image117.gif (945 bytes) (Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. В случае бесконечного разрыва расстояние от кривой до вертикальной асимптоты Image535.gif (945 bytes)стремится к нулю при Image536.gif (969 bytes)справа, слева или с обеих сторон). 

ЕслиImage118.gif (1156 bytes) , Image119.gif (1144 bytes)или Image120.gif (1165 bytes), существуют и конечны пределы Image121.gif (1217 bytes)и Image537.gif (1277 bytes), то прямая Image123.gif (1015 bytes)— асимптота графика функции. 

Если Image538.gif (1177 bytes), то график функции имеет на левой границе области сходимости вертикальную асимптоту Image125.gif (909 bytes) ; аналогично, если Image539.gif (1176 bytes), то график функции имеет на правой границе области сходимости вертикальную асимптоту Image127.gif (918 bytes)

Если Image540.gif (1137 bytes)и существует такое число Image541.gif (938 bytes), что Image542.gif (1130 bytes)для любого Image543.gif (1053 bytes), то исследуемая функция периодична с периодом Image132.gif (864 bytes); в этом случае достаточно построить график функции на промежутке Image544.gif (978 bytes) и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если Image545.gif (1286 bytes), то исследуемая функция четная; этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке Image546.gif (978 bytes)и отобразить его симметрично относительно оси ординат на Image547.gif (978 bytes)

Если  Image137.gif (1351 bytes), то исследуемая функция нечетная; этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке Image548.gif (978 bytes) и отобразить его симметрично относительно начала координат на Image549.gif (985 bytes)

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке Image111.gif (974 bytes), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения. 

Для того, чтобы дифференцируемая на Image111.gif (974 bytes)функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы Image550.gif (1026 bytes)(Image551.gif (1030 bytes)) на Image111.gif (974 bytes)

Пусть в точке Image552.gif (945 bytes) производная Image553.gif (1052 bytes) или не существует. Если существует окрестность точки Image554.gif (886 bytes), такая, что для Image555.gif (857 bytes) из этой окрестности Image556.gif (1036 bytes)при Image557.gif (956 bytes) и Image558.gif (1025 bytes)приImage559.gif (958 bytes) , то функция имеет в точкеImage150.gif (884 bytes) максимум. Если же Image560.gif (1034 bytes)при Image561.gif (956 bytes) и Image562.gif (1028 bytes) при Image563.gif (958 bytes) , то функция имеет в точке Image564.gif (891 bytes) минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точку Image170.gif (945 bytes)”).

Если непрерывная в точкеImage564.gif (891 bytes) функция Image566.gif (946 bytes)дифференцируема на Image158.gif (1191 bytes), при этомImage567.gif (1034 bytes) на Image568.gif (981 bytes) и Image569.gif (1025 bytes)на Image570.gif (983 bytes), то функция имеет в точке Image150.gif (884 bytes)максимум; если же Image571.gif (1025 bytes)при Image572.gif (956 bytes) и Image573.gif (1028 bytes) при Image574.gif (967 bytes), то функция имеет в точке Image150.gif (884 bytes) минимум.   

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке Image111.gif (974 bytes), за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

График функции Image167.gif (965 bytes)называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке Image111.gif (974 bytes), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке Image575.gif (1012 bytes), Image576.gif (1012 bytes). Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым (выпуклым вверх). 

Если дважды дифференцируемая на промежутке Image111.gif (974 bytes) функция Image167.gif (965 bytes)имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на Image111.gif (974 bytes). Если же вторая производная отрицательна на промежутке Image111.gif (974 bytes), то функция на нем вогнута. 

Если вторая производная равна нулю в точке Image170.gif (945 bytes), а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точка Image170.gif (945 bytes) — точка перегиба.

 

 

Наверх

13. Кривые на плоскости.

Кривые на плоскости в декартовых координатах.

Кривая на плоскости в прямоугольных (декартовых) координатах — это множество точек, координаты которых Image580.gif (979 bytes)связаны соотношениями Image581.gif (1013 bytes), Image582.gif (1032 bytes), Image583.gif (1008 bytes), Image584.gif (1032 bytes)или Image585.gif (1054 bytes); первые два соотношения задают кривую явно, последнее — неявно. Кривая, заданная уравнением Image581.gif (1013 bytes) , Image582.gif (1032 bytes), называется гладкой, если функция Image586.gif (961 bytes)дифференцируема на промежутке Image587.gif (978 bytes). В каждой точкеImage588.gif (1099 bytes)гладкой кривой можно провести касательную , уравнение которой Image589.gif (1317 bytes). Уравнение нормали в той же точке имеет вид Image590.gif (1443 bytes) или Image591.gif (1318 bytes) . Кривая, заданная неявно уравнением Image585.gif (1054 bytes), называется гладкой, если на ней нет особых точек (точка Image592.gif (1022 bytes)линии Image593.gif (1063 bytes)называется особой, если в ней одновременно обращаются в нуль обе частные производные функции Image594.gif (1012 bytes): Image595.gif (1395 bytes)). Уравнения касательной и нормали к такой кривой, проходящих через точку Image596.gif (1022 bytes), Image597.gif (1109 bytes), имеют соответственно вид  Image598.gif (1607 bytes) и Image599.gif (1588 bytes)

Кривые, заданные параметрически.

Уравнения Image600.gif (1156 bytes), Image601.gif (1036 bytes), устанавливающие зависимость декартовых координат Image602.gif (979 bytes)точки плоскости от значения параметра Image603.gif (1036 bytes), определяют на плоскости кривую, заданную в параметрической форме (говорят еще — заданную параметрически). Поскольку производная функции Image604.gif (1013 bytes), заданной параметрически уравнениями Image605.gif (1156 bytes), в точке, которая не является особой точкой кривой, вычисляется по формуле Image606.gif (1251 bytes), то уравнения касательной и нормали к кривой, проходящих через точку Image607.gif (1331 bytes), имеют соответственно вид: Image608.gif (2230 bytes).   

Кривые в полярных координатах.

Декартовы координаты точки Image609.gif (979 bytes) на плоскости связаны с полярными координатамиImage610.gif (972 bytes)соотношениямиImage611.gif (1282 bytes) . Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции радиуса-вектора и полярного угла — в полярных координатах. Так, уравнение единичной окружности в полярных координатах имеет вид Image612.gif (904 bytes) . Уравнение кривой в полярных координатахобычно имеет вид Image613.gif (1007 bytes). Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением Image613.gif (1007 bytes), в точке  Image614.gif (1086 bytes) равен  Image615.gif (1078 bytes) , а декартовы координаты точки Image616.gif (1027 bytes)равны соответственно Image618.gif (1212 bytes) и  Image619.gif (1212 bytes) .

 

 

Наверх

14. Формула Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора - Пусть функция Image626.gif (961 bytes)имеет в точке Image649.gif (886 bytes) производные всех порядков до Image628.gif (864 bytes)-го включительно. Тогда для Image626.gif (961 bytes)справедлива формула Тейлора:

6501.gif (1773 bytes)

6502.gif (1546 bytes) ,

где Image651.gif (1229 bytes),  называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано; Image652.gif (1000 bytes)— бесконечно малая более высокого порядка малости, чем Image632.gif (1024 bytes). Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

 6411.gif (1882 bytes)

6412.gif (1332 bytes),

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции Image626.gif (961 bytes); его обозначаютImage659.gif (985 bytes) . Приближенная формула Image660.gif (1111 bytes)позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. 

Из формулы Тейлора видно, что чем точка Image661.gif (859 bytes) ближе к точке Image662.gif (891 bytes), тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки Image662.gif (891 bytes), тем выше точность, с которой многочлен Тейлора Image659.gif (985 bytes)аппроксимирует функцию в этой окрестности. 

Разложение основных элементарных функций - Положив Image633.gif (955 bytes) и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций: 

  • Image653.gif (1474 bytes)

  • Image654.gif (1639 bytes);

  • Image655.gif (1619 bytes);

  • Image656.gif (1919 bytes);

  • Image657.gif (1391 bytes)

  • Image658.gif (1482 bytes) ; 

  • Image669.gif (1673 bytes).

Разложение функций с использованием стандартных разложений - Для разложения по формуле Тейлора функции в окрестности произвольной точкиImage649.gif (886 bytes) необходимо сделать замену переменной Image666.gif (982 bytes), то есть Image667.gif (999 bytes) , и воспользоваться одним из приведенных выше разложений основных функций в окрестности точки Image668.gif (953 bytes) .

 

 

Наверх

15. Неопределенный интеграл, простейшие методы интегрирования.

Первообразная и неопределенный интеграл - Рассмотрим функцию Image780.gif (961 bytes), определенную на промежутке Image781.gif (980 bytes)(здесь возможно Image782.gif (1046 bytes)). Дифференцируемая на промежутке    Image781.gif (980 bytes) функция Image783.gif (961 bytes), производная которой в каждой точке равна Image784.gif (961 bytes), называется первообразной функции  Image784.gif (961 bytes): Image785.gif (1089 bytes). Поскольку  Image786.gif (1416 bytes), то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида  Image787.gif (1082 bytes), Image785.gif (1089 bytes). Семейство первообразных  Image787.gif (1082 bytes) функции Image784.gif (961 bytes)называется неопределенным интегралом функции Image784.gif (961 bytes) и обозначается символом Image788.gif (1076 bytes):Image789.gif (1259 bytes) для всех Image790.gif (1031 bytes). Здесь   Image791.gif (907 bytes) — знак интеграла, Image792.gif (1008 bytes)— подынтегральное выражение,  Image784.gif (961 bytes)— подынтегральная функция,  Image793.gif (859 bytes)— переменная интегрирования, Image794.gif (1017 bytes)— значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции Image784.gif (961 bytes), Image795.gif (1708 bytes). То есть производнаянеопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,   Image796.gif (1290 bytes) , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность:Image797.gif (1767 bytes) , здесь   Image798.gif (918 bytes) - постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов. 

Интегрирование заменой переменной - Если Image799.gif (951 bytes)— непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая  Image800.gif (1001 bytes) , получим формулу интегрирования заменой переменной   Image801.gif (1460 bytes) . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному. 

Интегрирование по частям - Пусть  Image802.gif (1065 bytes) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям Image803.gif (1207 bytes). Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”    Image804.gif (1003 bytes) подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида   Image805.gif (1063 bytes),  Image806.gif (1117 bytes),  Image807.gif (1117 bytes),  Image808.gif (1068 bytes)и некоторых других.

 

 

Наверх

16. Интегрирование некоторых классов функций.

Интегрирование рациональных функций - Функция Image693.gif (965 bytes)называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов:Image1053.gif (1154 bytes) . Если Image1054.gif (935 bytes), рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого: 

Если Image1055.gif (944 bytes), выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена   Image1056.gif (1005 bytes), а именно: 

Каждому действительному корнюImage665.gif (891 bytes) кратности 1 в разложении соответствует член  Image1057.gif (1006 bytes) . 

Каждому действительному корню Image665.gif (891 bytes) кратности Image1058.gif (871 bytes) в разложении соответствует набор из Image1058.gif (871 bytes) членов     Image1059.gif (1719 bytes)

Каждой паре комплексно сопряженных корней  Image1060.gif (974 bytes) кратности 1 в разложении соответствует член   Image1061.gif (1204 bytes) (Image1060.gif (974 bytes) - корни уравнения Image1062.gif (1089 bytes)).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности Image1058.gif (871 bytes) в разложении соответствует набор из Image1058.gif (871 bytes)членов      Image1063.gif (2091 bytes) . 

В приведенных выражениях Image1064.gif (1072 bytes)- неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю , приравнивая полученные коэффициенты при степенях  Image768.gif (859 bytes) к соответствующим коэффициентам Image1065.gif (989 bytes) и решая систему относительно Image1064.gif (1072 bytes) . 

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно. 

Интегрирование тригонометрических функций - Интегралы вида Image1066.gif (1249 bytes), где Image1067.gif (1004 bytes) - рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной  Image1068.gif (1159 bytes). При этомImage1069.gif (1596 bytes) . Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать. 

Интегралы вида  Image1070.gif (1236 bytes) вычисляются с помощью замены  Image1071.gif (980 bytes). Интегралы вида  Image1072.gif (1239 bytes)вычисляются с помощью замены  Image1073.gif (973 bytes). Интегралы вида  Image1066.gif (1249 bytes), если Image1074.gif (1182 bytes), то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены    Image1075.gif (962 bytes)

Интегралы вида  Image1077.gif (1242 bytes)вычисляются с помощью формул понижения степени  Image1078.gif (1532 bytes)

Интегрирование иррациональных функций - Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен. 

Интегралы вида Image1079.gif (1516 bytes), где Image1080.gif (1004 bytes) - рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой Image1081.gif (1222 bytes)

Интегралы вида  Image1082.gif (1260 bytes) вычисляются заменой Image1083.gif (1009 bytes)илиImage1084.gif (1013 bytes) . 

Интегралы вида  Image1085.gif (1261 bytes) вычисляются заменой  Image1086.gif (1045 bytes) илиImage1087.gif (1041 bytes) . Интегралы вида Image1088.gif (1275 bytes)вычисляются заменой Image1089.gif (1001 bytes)илиImage1090.gif (999 bytes) .

 

 

Наверх

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию Image975.gif (961 bytes), определенную на промежутке Image976.gif (974 bytes). Разобьем промежуток на  Image977.gif (864 bytes)произвольных частей точками  Image978.gif (1297 bytes) и обозначим Image979.gif (1042 bytes), Image980.gif (1057 bytes), Image982.gif (1104 bytes). На каждом промежутке   Image983.gif (1026 bytes) возьмем произвольную точку Image984.gif (888 bytes) и вычислим в ней значение функцииImage975.gif (961 bytes). Выражение  Image986.gif (1360 bytes) называется интегральной суммой функции Image975.gif (961 bytes)на  Image987.gif (976 bytes).Если при Image988.gif (947 bytes) существует и конечен предел последовательности частичных сумм  Image989.gif (1100 bytes), не зависящий ни от способа разбиения промежутка Image987.gif (976 bytes) точками  Image990.gif (1297 bytes), ни от выбора Image991.gif (1092 bytes), то этот предел называют определенным интегралом от функцииImage975.gif (961 bytes) по промежутку Image987.gif (976 bytes), а саму функцию — интегрируемой на Image987.gif (976 bytes). Обозначают    Image992.gif (1462 bytes)

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если Image993.gif (1021 bytes), то  Image994.gif (1139 bytes) равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми Image995.gif (1012 bytes)

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница Image996.gif (1423 bytes)=Image997.gif (1037 bytes), здесь символ  Image998.gif (905 bytes)означает, что из значения Image999.gif (961 bytes) при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , Image999.gif (961 bytes)— первообразная функция для Image975.gif (961 bytes). Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла. 

Методы вычисления определенного интеграла.

Если Image1001.gif (950 bytes)— непрерывно дифференцируемая на отрезке Image1002.gif (980 bytes) функция, Image1003.gif (1023 bytes), Image1004.gif (1024 bytes)и Image1005.gif (1096 bytes), когда Image1006.gif (857 bytes) изменяется на Image1002.gif (980 bytes) , то, положив Image1007.gif (996 bytes) , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  Image1008.gif (1582 bytes).

Пусть Image802.gif (1065 bytes) - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям  Image1009.gif (1371 bytes) . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

 

 

Наверх

18. Применение определенного интеграла для площадей и длин дуг.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости Image1106.gif (940 bytes)задана область, ограниченная снизу кривой  Image1107.gif (1026 bytes), заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  Image1108.gif (1028 bytes), слева – прямой  Image1109.gif (910 bytes) (ее может и не быть, если  Image1110.gif (1111 bytes)), справа – прямой  Image1111.gif (923 bytes). Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле  Image1112.gif (1421 bytes) . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, Image1113.gif (1031 bytes), то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия. 

Пусть на отрезке Image1114.gif (972 bytes) уравнением  Image759.gif (1016 bytes)задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле   Image1115.gif (1408 bytes)

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть  Image1116.gif (1247 bytes) , при этом  Image1117.gif (1199 bytes), а сверху – кривой   Image1118.gif (1256 bytes). Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле Image1119.gif (1640 bytes). Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что  Image778.gif (1081 bytes)

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   Image1120.gif (1216 bytes)Image1121.gif (1009 bytes). Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле  Image1122.gif (1549 bytes).

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах Image1123.gif (1034 bytes), то площадь этой области вычисляем по формуле  Image1124.gif (1296 bytes). Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  Image1125.gif (941 bytes). Здесь нужно понимать, что кривая  Image1123.gif (1034 bytes)определена только, если Image1126.gif (950 bytes). Поскольку в формуле присутствует Image1127.gif (902 bytes), то она учтет и не существующую площадь, когда  Image1128.gif (947 bytes). Решив уравнение Image1129.gif (1033 bytes), найдем пределы интегрирования. 

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  Image1123.gif (1034 bytes), то ее длина вычисляется по формулеImage1130.gif (1556 bytes) . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

 

 

Наверх

19. Несобственные интегралы.

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции Image1010.gif (965 bytes), интегрируемой для всех Image1011.gif (924 bytes) , значение интеграла Image1012.gif (1131 bytes) зависит от значения верхнего предела Image1013.gif (860 bytes); можно рассмотреть функцию переменной Image1013.gif (860 bytes): каждому значению Image1013.gif (860 bytes)ставится в соответствие число, равное значению интеграла Image1012.gif (1131 bytes) . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: Image1015.gif (1286 bytes); функция Image1016.gif (976 bytes)определена в области интегрируемости подынтегральной функции Image1010.gif (965 bytes). Если Image1017.gif (968 bytes)— первообразная для Image1010.gif (965 bytes), то значение Image1019.gif (976 bytes)можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница:Image1020.gif (1536 bytes) . Функцию Image1021.gif (1286 bytes)можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой приImage1011.gif (924 bytes) функции Image1010.gif (965 bytes)справедливы следующие утверждения: Image1022.gif (976 bytes)  непрерывна на промежутке Image1023.gif (973 bytes), причем Image1024.gif (1027 bytes); если Image1025.gif (1023 bytes)при Image1011.gif (924 bytes), то    Image1022.gif (976 bytes) монотонно возрастает на промежутке Image1023.gif (973 bytes); если Image1010.gif (965 bytes)непрерывна при Image1011.gif (924 bytes), то Image1022.gif (976 bytes) дифференцируема на промежутке Image1023.gif (973 bytes), причем Image1026.gif (1613 bytes)

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция Image1010.gif (965 bytes) интегрируема для всех Image1011.gif (924 bytes) и   Image1027.gif (1286 bytes). Если существует предел Image1028.gif (1509 bytes), то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его Image1029.gif (1119 bytes) . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле Image1030.gif (1477 bytes). Аналогично определен интеграл Image1031.gif (1473 bytes)для интегрируемой при Image1032.gif (929 bytes) функции Image1010.gif (965 bytes) и интегралImage1034.gif (1516 bytes) для функции , интегрируемой на Image1035.gif (1000 bytes). Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция Image1010.gif (965 bytes) интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежуткеImage1036.gif (976 bytes), и бесконечно большая в точке Image1037.gif (923 bytes). Если существует предел Image1038.gif (1255 bytes), то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции Image1010.gif (965 bytes)по Image1039.gif (976 bytes)и обозначают его Image1040.gif (1126 bytes). Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле Image1041.gif (1498 bytes). Аналогично определен интеграл Image1042.gif (1523 bytes)от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в Image1043.gif (972 bytes), бесконечно большой в точке Image1045.gif (915 bytes) функции Image1010.gif (965 bytes). Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции Image1010.gif (965 bytes) и Image1046.gif (965 bytes), определенные при Image1047.gif (929 bytes). Пусть Image1048.gif (1094 bytes) для всех Image768.gif (859 bytes) , начиная с некоторого числа Image1049.gif (962 bytes). Тогда, если сходится интеграл от большей функции Image1050.gif (1147 bytes), то сходится и интеграл от меньшей, то естьImage1051.gif (1142 bytes). Если расходится интеграл от меньшей функции Image1051.gif (1142 bytes) ,то расходится и интеграл от большей - Image1050.gif (1147 bytes)

Если  Image1052.gif (1330 bytes) , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся. 

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

 

 

Наверх

20. Числовые ряды.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность image14.gif (950 bytes)и формально составим сумму ее членов   image15.gif (1326 bytes) Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности image16.gif (950 bytes)называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда image17.gif (1136 bytes). Эта сумма называется n-ой частичной суммой. 

 

Сходимость числового ряда. Ряд  image18.gif (1016 bytes)  называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности   image19.gif (949 bytes)  частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают  image20.gif (1063 bytes) , image21.gif (1081 bytes). Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность image22.gif (1025 bytes) называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда   image23.gif (1063 bytes) . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то  image24.gif (1051 bytes)(необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться. 

 

 

Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности    image19.gif (949 bytes), то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

 

 

Наверх

21. Сходимость знакоположительных рядов.

Теоремы сравнения.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами   image25.gif (1013 bytes)и  image26.gif (1013 bytes), image27.gif (1070 bytes). Если при всех n, начиная с некоторого номера, image28.gif (976 bytes) , то из сходимости ряда image25.gif (1013 bytes) следует сходимость рядаimage26.gif (1013 bytes). Наоборот, из расходимости рядаimage26.gif (1013 bytes) следует расходимость рядаimage25.gif (1013 bytes)

2. Если для таких же двух рядов   image29.gif (1309 bytes), то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд  image30.gif (1035 bytes) , который сходится приimage31.gif (918 bytes) и расходится при image32.gif (924 bytes), или геометрический ряд image33.gif (1045 bytes), который сходится при image34.gif (928 bytes) и расходится при image35.gif (927 bytes) . 

Признаки сходимости. Признаки сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами image25.gif (1013 bytes)image36.gif (958 bytes), вычислим  image37.gif (1155 bytes) . Если image38.gif (923 bytes), то ряд сходится, image39.gif (926 bytes)- расходится. При image40.gif (917 bytes)признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться. 

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами  image25.gif (1013 bytes) ,image41.gif (956 bytes) вычислим image42.gif (1097 bytes). Если  image43.gif (924 bytes) , то ряд сходится, image44.gif (924 bytes)- расходится. При image45.gif (914 bytes)   признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

 

 

Наверх

22. Сходимость знакопеременных рядов.

Абсолютная и условная сходимость. Если в последовательности image16.gif (950 bytes) бесконечно много положительных и отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным. Ряд   image46.gif (1266 bytes)называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд  image18.gif (1016 bytes) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд  image47.gif (1061 bytes) . Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда   image18.gif (1016 bytes)начинают с исследования на сходимость ряда из модулей  image47.gif (1061 bytes)методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд image18.gif (1016 bytes)сходится абсолютно. 

 

Исследование знакочередующихся рядов. Если ряд из модулей расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если последовательность  image48.gif (1067 bytes) стремится к нулю, монотонно убывая,  image49.gif (1057 bytes) , то ряд    image50.gif (1134 bytes)сходится, по крайней мере, условно. Для знакочередующегося ряда очень просто оценивается остаток ряда: image365.gif (1225 bytes).

 

 

Наверх

23. Функциональные ряды, равномерная сходимость.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,  image51.gif (1107 bytes) , членами которого являются функции, определенные на промежутке  image52.gif (963 bytes) . При каждом фиксированном  image53.gif (1023 bytes) имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда  image51.gif (1107 bytes) также является функцией от х:  image54.gif (1210 bytes) . По определению предела последовательности: если для  image55.gif (958 bytes) можно указать номер  image56.gif (971 bytes)( что интересно, для каждого фиксированного image53.gif (1023 bytes)  - свой номер, т.е. image57.gif (1012 bytes) ), такой, что для    image58.gif (1097 bytes)выполняется неравенство  image59.gif (1195 bytes), то это и означает, что функциональный ряд сходится к функцииimage60.gif (952 bytes). Множество image61.gif (873 bytes), для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда. 

 

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть  image54.gif (1210 bytes) , т.е. функциональный ряд сходится. Если для   image62.gif (958 bytes)можно указать номер  image63.gif (971 bytes)независимо от  image64.gif (937 bytes), такой, что дляimage65.gif (1064 bytes) выполняется неравенство  image59.gif (1195 bytes), то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .   

  

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд  image25.gif (1013 bytes) с положительными членами, такой, что для всех  image67.gif (862 bytes), начиная с некоторого номера и всех  image68.gif (937 bytes)выполняется неравенствоimage69.gif (1095 bytes) , то функциональный ряд  image51.gif (1107 bytes) сходится на image70.gif (873 bytes)равномерно. Числовой ряд  image25.gif (1013 bytes) в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

 

 

Наверх

24. Ряд Тейлора.

Степенные ряды. Функциональный ряд     image71.gif (1186 bytes), где image72.gif (940 bytes)- числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   image73.gif (1116 bytes)с центром в точке  image74.gif (886 bytes) . Число image75.gif (874 bytes) - радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам image76.gif (1269 bytes), или     image77.gif (1239 bytes). Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда. 

 

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция  image78.gif (951 bytes) определена в некоторой окрестности точки  image79.gif (886 bytes) и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд 

image80.gif (1395 bytes)называется рядом Тейлора для функции   image78.gif (951 bytes) в точке image79.gif (886 bytes). Приimage82.gif (943 bytes) такой ряд называют также рядом Маклорена:   image83.gif (1255 bytes) . Функция  image84.gif (951 bytes)может быть разложена в степенной ряд на интервале image85.gif (1116 bytes), если существует степенной ряд, сходящийся к  image84.gif (951 bytes)на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки image86.gif (886 bytes), то это ряд Тейлора. Пусть функция  image78.gif (951 bytes) бесконечно дифференцируема на интервале image73.gif (1116 bytes)и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число  image87.gif (953 bytes) , такое, что для всех    image88.gif (1171 bytes)и для всех  image89.gif (977 bytes) справедливо неравенство image90.gif (1179 bytes). Тогда ряд Тейлора сходится к  image91.gif (951 bytes) для всех  image92.gif (1174 bytes) . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций. 

image93.gif (1642 bytes)

image94.gif (1874 bytes)

image95.gif (1780 bytes)

image96.gif (1708 bytes)

971.gif (1932 bytes)

972.gif (1045 bytes)

 

 

Наверх

25. Ряд Фурье.

Ряд Фурье, его сходимость. Пусть функция  image78.gif (951 bytes)абсолютно интегрируема на отрезке image98.gif (979 bytes) , то есть существует  image99.gif (1154 bytes) . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье:image100.gif (1613 bytes) . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: image101.gif (1368 bytes)image102.gif (1361 bytes). Если функция  image78.gif (951 bytes)кусочно-гладкая на отрезке image98.gif (979 bytes), то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   image105.gif (1623 bytes)- сумма ряда Фурье, то для любого   image106.gif (1039 bytes)     image107.gif (1398 bytes). То есть, если   image78.gif (951 bytes)непрерывна в точке image108.gif (890 bytes) , то  image109.gif (1117 bytes) . Если в точке  image110.gif (890 bytes) у   image111.gif (951 bytes)разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точкеimage112.gif (890 bytes) . 

  

Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке. Для кусочно-гладкой на отрезке  image113.gif (980 bytes)функцииimage114.gif (951 bytes) задача о разложении в ряд Фурье на этом отрезке линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке  image115.gif (978 bytes):   image117.gif (1431 bytes), image118.gif (1423 bytes).

 

 

Наверх

26. Сходимость ряда Фурье.

Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса. Если функция  image78.gif (951 bytes)кусочно-гладкая на отрезке image119.gif (978 bytes), то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если image120.gif (1619 bytes)- сумма ряда Фурье, то для любого  image121.gif (1039 bytes) image122.gif (1401 bytes). То есть, если  image123.gif (951 bytes)непрерывна в точке  image124.gif (890 bytes), то  image125.gif (1117 bytes). Если в точке image126.gif (890 bytes) у    image127.gif (951 bytes) разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке  image108.gif (890 bytes). В окрестности точек непрерывности функции  image128.gif (951 bytes) разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при  image129.gif (931 bytes), что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае  image130.gif (1211 bytes) . В окрестности точек разрыва  image131.gif (951 bytes) частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка   image132.gif (890 bytes)   существуют такие значения    image133.gif (860 bytes), чтоimage134.gif (1766 bytes)

Это не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел  image135.gif (1001 bytes), а в теории v     image136.gif (981 bytes)

Приближение функций, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Функция image137.gif (1541 bytes), где   image138.gif (956 bytes) - произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени для функции   image139.gif (951 bytes)  на отрезке image140.gif (978 bytes)  называется такой многочлен image141.gif (1543 bytes), среднеквадратичное отклонение image142.gif (890 bytes) которого от функции image143.gif (951 bytes) минимально:    image144.gif (2117 bytes). Для любой ограниченной интегрируемой на  image145.gif (978 bytes)  функции частичная сумма  image146.gif (981 bytes) ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени. 

 

Зависимость скорости сходимости от гладкости функций. Скорость сходимости ряда Фурье функцииimage147.gif (951 bytes) зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если  image147.gif (951 bytes) непрерывно дифференцируема r раз на отрезке  image149.gif (978 bytes) , то справедливо неравенство image150.gif (1648 bytes), где  image151.gif (1291 bytes). Для среднеквадратичного отклонения справедлива оценка   image152.gif (1246 bytes), где  image153.gif (1306 bytes).

 

 

Наверх

27. Функции многих переменных.

Функция двух переменных. Переменная image154.gif (854 bytes) (с областью изменения  image155.gif (868 bytes)) называется функцией независимых переменных  image156.gif (914 bytes)в множестве  image157.gif (891 bytes), если каждой паре image158.gif (973 bytes)их значений из  image157.gif (891 bytes) по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение  image154.gif (854 bytes) из множества image155.gif (868 bytes). Множество image157.gif (891 bytes)v область определения функции, множество  image155.gif (868 bytes) v область ее значений. Функциональная зависимость image154.gif (854 bytes)  от image156.gif (914 bytes)обозначается так:  image159.gif (1392 bytes)и т.п. Выберем в пространстве систему координат  image160.gif (949 bytes), изобразим на плоскости  image161.gif (933 bytes) множество  image157.gif (891 bytes); в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение image162.gif (1032 bytes). Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных. 

Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных  image156.gif (914 bytes) называется геометрическое место точек на плоскости  image161.gif (933 bytes) , в которых функция   image162.gif (1032 bytes) принимает одно и то же значение. Линии уровня функции image162.gif (1032 bytes)определяются уравнением  image163.gif (1043 bytes), где image164.gif (994 bytes). Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных image160.gif (949 bytes)   называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция  image165.gif (1021 bytes)принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:  image166.gif (1064 bytes). Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций. 

  

Локальные экстремумы. Точка image167.gif (1099 bytes)называется точкой локального минимума (максимума) функции image168.gif (1032 bytes), определенной в области image169.gif (891 bytes), если существует окрестность этой точки, такая, чтоimage170.gif (1200 bytes) image171.gif (1240 bytes)  для всех точек этой окрестности, отличных отimage172.gif (1006 bytes) . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.

 

 

Наверх

28. Частные производные, градиент.

Частные производные. Пусть  image173.gif (994 bytes)- функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки image174.gif (1006 bytes). Если существует конечный предел   image175.gif (1541 bytes), то говорят, что функция   image173.gif (994 bytes)имеет в точке image174.gif (1006 bytes)частную производную по переменной  image178.gif (860 bytes) . Аналогично определяется частная производная по   image179.gif (870 bytes) . Обозначают:

1801.gif (1751 bytes)

1802.gif (1539 bytes) . 

Пусть image181.gif (1358 bytes)- функция n переменных, определенная в области  image182.gif (871 bytes) n-мерного пространства. Частной производной функции image183.gif (1091 bytes)по переменной image184.gif (879 bytes) называется предел 

1851.gif (1857 bytes)

1852.gif (1282 bytes)

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.  

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный векторimage186.gif (1276 bytes) , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению:image188.gif (2018 bytes) . В частности, для функции трех переменных  image189.gif (1834 bytes) ,  image190.gif (1132 bytes)- направляющие косинусы вектора  image191.gif (859 bytes)

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  image191.gif (859 bytes) и вектора с координатами  image192.gif (1381 bytes) , который называется градиентом функции   image193.gif (1026 bytes) и обозначается    image194.gif (979 bytes). Поскольку  image195.gif (1371 bytes) , где  image196.gif (874 bytes) - угол между   image197.gif (979 bytes)и  image191.gif (859 bytes) , то векторimage197.gif (979 bytes) указывает направление скорейшего возрастания функции   image199.gif (1026 bytes), а его модуль равен производной по этому направлению. 

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции   image200.gif (1091 bytes)справедливо равенство   image201.gif (2172 bytes) . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции image202.gif (1091 bytes)и обозначается    image203.gif (1675 bytes)

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: image204.gif (2875 bytes). Если смешанные производные   image205.gif (1068 bytes)  и   image206.gif (1065 bytes)  непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,    image207.gif (1350 bytes) . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов image208.gif (1086 bytes)есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:   image209.gif (1981 bytes) . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято   image210.gif (1112 bytes) . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   image211.gif (1534 bytes).

 

 

Наверх

29. Неявные функции.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области  image212.gif (871 bytes) плоскости image213.gif (933 bytes)задана функция image214.gif (992 bytes), и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением  image215.gif (1040 bytes) , является графиком некоторой функции   image216.gif (873 bytes), определяемой уравнением   image217.gif (1000 bytes) . В этом случае говорят, что функция    image216.gif (873 bytes)задана неявно уравнением  image215.gif (1040 bytes) . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   image214.gif (992 bytes)и ее частная производная по   image218.gif (870 bytes) непрерывны в    image212.gif (871 bytes) ,image219.gif (1528 bytes) . Тогда в некоторой окрестности точки  image220.gif (890 bytes) существует единственная непрерывная функция     image216.gif (873 bytes), задаваемая уравнением   image217.gif (1000 bytes), так, что в этой окрестности   image221.gif (1099 bytes)

  

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение    image222.gif (1070 bytes) задает неявно функцию  image223.gif (1032 bytes) . Это же уравнение может задавать неявно функцию image224.gif (1030 bytes)или     image225.gif (1028 bytes) . 

 

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение image215.gif (1040 bytes) :image226.gif (1309 bytes) . Отсюда получим формулу для производной функции   image217.gif (1000 bytes) , заданной неявно:  image227.gif (1136 bytes) . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   image222.gif (1070 bytes): image228.gif (1126 bytes), image229.gif (1141 bytes).

 

 

Наверх

30. Формула Тейлора для многих переменных.

Формулы Тейлора и Маклорена. Если функция  image230.gif (1032 bytes) имеет в некоторой окрестности точкиimage174.gif (1006 bytes) непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки image231.gif (958 bytes)из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка: 2321.gif (2245 bytes) 2322.gif (1015 bytes) , гдеimage233.gif (1317 bytes) ,

2341.gif (1727 bytes)

2342.gif (1766 bytes) ,

 image235.gif (3488 bytes)

и т.д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: image236.gif (3011 bytes)

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение

image237.gif (2255 bytes)называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку image238.gif (1325 bytes), то в окрестности точки функцию image239.gif (1006 bytes)можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е. image240.gif (1179 bytes) . Чем ближе точка image241.gif (958 bytes) к точке image242.gif (1006 bytes), тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция image243.gif (1032 bytes) , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

 

 

Наверх

31. Исследование на экстремум.

Локальные экстремумы. Точка  image167.gif (1099 bytes) называется точкой локального минимума (максимума) функции image168.gif (1032 bytes), определенной в области image169.gif (891 bytes), если существует окрестность этой точки, такая, что image170.gif (1200 bytes)image171.gif (1240 bytes)  для всех точек этой окрестности, отличных от image172.gif (1006 bytes). Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства. 

 

Исследование на экстремум функции двух переменных. Обозначим черезimage244.gif (1407 bytes) приращение функции  image245.gif (994 bytes) в точке  image246.gif (1006 bytes). Если image246.gif (1006 bytes)- точка локального минимума функции  image247.gif (994 bytes), то существует окрестность  image248.gif (1042 bytes) , в которой  image249.gif (1120 bytes) (обратное неравенство в случае максимума). Из формулы Тейлора первого порядка  image250.gif (2132 bytes) следует, что приращение  image251.gif (1067 bytes) дважды непрерывно дифференцируемой функции   image252.gif (994 bytes)может сохранять знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума (максимума или минимума) равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума: если точка  image253.gif (1006 bytes) - точка экстремума, то   image254.gif (1538 bytes). Такая точка называется стационарной точкой функции. Приращение функции в стационарной точке имеет вид image255.gif (2979 bytes). Обозначим image256.gif (2069 bytes). Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция   image257.gif (994 bytes) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки  image258.gif (1006 bytes) и  image259.gif (1538 bytes). Если  image260.gif (1034 bytes) , то в точке  image261.gif (1006 bytes)функция достигает экстремума. Если при этом image262.gif (934 bytes), то этот экстремум v минимум, при image263.gif (936 bytes)- максимум. Если же   image264.gif (1033 bytes) , то в точке  image265.gif (1006 bytes) экстремума нет. Геометрически достаточное условие означает, что в окрестности экстремума график функции  image266.gif (1032 bytes) близок к поверхностиimage267.gif (1619 bytes) . Если   image268.gif (1019 bytes) , то для определения знака приращения  image269.gif (1067 bytes) необходимо изучить члены формулы Тейлора более высокого порядка.

 

 

Наверх

32. Условный экстремум.

Условные экстремумы. Пусть функция  image270.gif (1032 bytes)определена в некоторой области  image271.gif (971 bytes)и в этой области задана кривая уравнением image272.gif (1058 bytes). Условным экстремумом функции двух переменных image270.gif (1032 bytes) называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить image273.gif (997 bytes), то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной image274.gif (1090 bytes)

 

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение image275.gif (1058 bytes) не разрешимо ни относительно  image276.gif (997 bytes), ни относительно image277.gif (994 bytes), то рассматривают функцию Лагранжаimage278.gif (1341 bytes). Необходимым условием существования условного экстремума функции image270.gif (1032 bytes) при условии image275.gif (1058 bytes) является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:  image280.gif (1314 bytes) . 

  

Наибольшее и наименьшее значение функции в области. Поскольку функция  image270.gif (1032 bytes), непрерывная в ограниченной замкнутой области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений, задача об их нахождении разделяется на две части: найти экстремумы функции двух переменных внутри области, найти ее условные экстремумы на границе области, при условии, что граница задана уравнением image281.gif (1058 bytes).

 

 

Наверх

33. Двойной и тройной интегралы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть  image2.gif (874 bytes) ограниченная замкнутая область плоскости image3.gif (933 bytes)с кусочно-гладкой границей и пусть функция image4.gif (994 bytes)определена и ограничена на  image2.gif (874 bytes). Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем image2.gif (874 bytes)на конечное число элементарных областей image5.gif (1115 bytes)с площадями image6.gif (931 bytes) (разбиение image7.gif (868 bytes)). Пусть image8.gif (971 bytes)- наибольший из диаметров областей image9.gif (890 bytes), получающийся при разбиении image7.gif (868 bytes). В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку image10.gif (1076 bytes). Число   image11.gif (1305 bytes) называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению image7.gif (868 bytes)и каждому выбору точек image12.gif (917 bytes). Если существует   image13.gif (1120 bytes) и он не зависит от выбора разбиения  image7.gif (868 bytes)и точек image12.gif (917 bytes), то функция называется интегрируемой по Риману в области image2.gif (874 bytes), а сам предел называется двойным интегралом от функции  image4.gif (994 bytes)по области image2.gif (874 bytes)и обозначается  image16.gif (1164 bytes)  или   image17.gif (1215 bytes). Двойной интеграл существует, если  image15.gif (994 bytes)непрерывна на image2.gif (874 bytes). Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в image2.gif (874 bytes)

 

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла: 

Линейность:  

image19.gif (2177 bytes). Аддитивность: 

image20.gif (1936 bytes), если S1 и S2 две области без общих внутренних точек. 

Если для каждой точки  image21.gif (1036 bytes)выполнено неравенство  image22.gif (1180 bytes), то image27.gif (1589 bytes)

Если  image24.gif (994 bytes)интегрируема на image25.gif (874 bytes), то функция image26.gif (1057 bytes)  также интегрируема, причем image27.gif (1589 bytes)

Если  image28.gif (875 bytes)и  image29.gif (891 bytes)наименьшее и наибольшее значения функции image30.gif (994 bytes)в области, а ее  image31.gif (908 bytes)площадь, то image32.gif (1466 bytes)

Теорема о среднем значении: если  image33.gif (994 bytes)непрерывна в связной области image2.gif (874 bytes), то существует, по крайней мере, одна точка image34.gif (1043 bytes)такая, что   image35.gif (1450 bytes)

Вычисление двойного интеграла. 

Если  image36.gif (1523 bytes), где - image37.gif (1106 bytes)   непрерывные на image38.gif (963 bytes)функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: image39.gif (1870 bytes). Аналогично, если image40.gif (1517 bytes), то     image41.gif (1855 bytes)

Тройной интеграл и его свойства. Пусть image42.gif (869 bytes)- ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  image43.gif (1026 bytes)определена и ограничена в  image42.gif (869 bytes). Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем image42.gif (869 bytes)на конечное число элементарных областей   image44.gif (1112 bytes)с объемами image45.gif (929 bytes) (разбиениеimage7.gif (868 bytes)). Пусть image46.gif (971 bytes). наибольший из диаметров областей  image47.gif (889 bytes), получающийся при разбиении image7.gif (868 bytes). В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку image48.gif (1122 bytes). Число image49.gif (1348 bytes)ставится в соответствие каждому разбиению  image7.gif (868 bytes)и каждому выбору точек image50.gif (917 bytes)и называется интегральной суммой. Если существует   image13.gif (1120 bytes)и он не зависит от выбора разбиения image7.gif (868 bytes)и точек, image51.gif (917 bytes) то функция называется интегрируемой по Риману в области  image42.gif (869 bytes), а сам предел называется тройным интегралом от функции   image52.gif (1026 bytes)по области  image42.gif (869 bytes)и обозначается  image53.gif (1633 bytes). Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов. 

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  image42.gif (869 bytes)является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  image3.gif (933 bytes)есть область image2.gif (874 bytes) и которое ограничено снизу поверхностью image55.gif (1045 bytes), а сверху v поверхностью image56.gif (1043 bytes), где   image57.gif (938 bytes)- непрерывные функции в . Тогда image58.gif (2095 bytes), то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области image54.gif (874 bytes). Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

 

 

Наверх

34. Замена переменных в кратных интегралах.

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции image59.gif (1196 bytes)взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область image60.gif (871 bytes)плоскости image61.gif (904 bytes)на открытое множество, содержащее область image2.gif (874 bytes), и пусть image2.gif (874 bytes)является образом image60.gif (871 bytes). Если image62.gif (1112 bytes)и их частные производные непрерывны, а определитель   image63.gif (1631 bytes), то image64.gif (1817 bytes). Выражение  image65.gif (1031 bytes)называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель image66.gif (860 bytes)- якобианом. 

 

Вычисление площади.

Замена переменных в тройном интеграле. Пусть посредством функций image67.gif (1455 bytes)производится взаимно однозначное отображение открытого множества, содержащего область image60.gif (871 bytes)пространства image68.gif (953 bytes)на открытое множество, содержащее область image69.gif (869 bytes)пространства image70.gif (949 bytes)и  image69.gif (869 bytes)есть образ image60.gif (871 bytes). Если эти три функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области image60.gif (871 bytes)и якобианimage71.gif (1628 bytes), то image72.gif (2209 bytes). Выражение image73.gif (1085 bytes) называется элементом объема в криволинейных координатах . 

 

Вычисление объема.

Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть image2.gif (874 bytes)- область, полученная взаимно однозначным отображением области image60.gif (871 bytes)плоскости image74.gif (927 bytes), определяемым функциями image75.gif (1191 bytes). Тогда image76.gif (986 bytes), а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: image77.gif (1749 bytes).Элемент площади в полярных координатах есть image78.gif (999 bytes).

 

 

Наверх

35. Сферические и цилиндрические координаты.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Введем в пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости image79.gif (933 bytes)используем полярные координаты, а третья координата произвольной точки image80.gif (891 bytes)остается image81.gif (854 bytes). Учитывая связь полярных координат с декартовыми, получим выражение декартовых координат через цилиндрические:  image82.gif (1255 bytes). Тогда  image83.gif (986 bytes)и тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле: image84.gif (1944 bytes). Элемент объема в цилиндрической системе координат есть  image85.gif (1039 bytes)

  

Тройной интеграл в сферических координатах. Введем в пространстве сферическую систему координат. Для этого рассмотрим произвольную точку  image80.gif (891 bytes)в декартовой системе координат. Спроектируем ее на плоскость image79.gif (933 bytes), получив точку  image86.gif (920 bytes). Положение точки image80.gif (891 bytes)в пространстве будем характеризовать ее расстоянием image87.gif (850 bytes)от начала координат image88.gif (986 bytes), углом image89.gif (874 bytes)между отрезком image90.gif (952 bytes)и положительной полуосью image91.gif (893 bytes) image92.gif (1080 bytes), углом image93.gif (869 bytes)между отрезком image94.gif (929 bytes)и положительной полуосью image95.gif (895 bytes) image96.gif (1054 bytes). Декартовы координаты точки image80.gif (891 bytes)выражаются через сферические по формулам: image97.gif (1447 bytes). В этом случае    image98.gif (1095 bytes). Тогда тройной интеграл в сферических координатах вычисляется по формуле: 

991.gif (1333 bytes)

992.gif (1847 bytes).

Элемент объема в сферической системе координат есть  image100.gif (1147 bytes).

 

 

Наверх

36. Поверхностный интеграл по площади поверхности.

Площадь гладкой поверхности. Рассмотрим кусок поверхности image2.gif (874 bytes) , заданной уравнением image101.gif (1070 bytes). Пусть выполняется условие image102.gif (1375 bytes), что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором image103.gif (1226 bytes). Разобьем поверхность image2.gif (874 bytes)сеткой гладких кривых на элементарные области image104.gif (1096 bytes)( разбиение image105.gif (868 bytes)). Пусть   image106.gif (971 bytes)- наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения image105.gif (868 bytes) существует image107.gif (1322 bytes), то он и называется площадью данной поверхности. Пусть   image2.gif (874 bytes) однозначно проектируется на плоскость image79.gif (933 bytes)и  image108.gif (871 bytes)- эта проекция. Элементу площади image109.gif (952 bytes)области image108.gif (871 bytes)на плоскости image79.gif (933 bytes) соответствует элемент площади поверхности image2.gif (874 bytes), равный image110.gif (1205 bytes), где image111.gif (862 bytes)- угол между нормалью к поверхности image2.gif (874 bytes)и осью image112.gif (895 bytes). Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  image113.gif (1267 bytes)по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением image114.gif (1032 bytes), то   image115.gif (1547 bytes)  и площадь поверхности вычисляется по формуле   image116.gif (1574 bytes), здесь image108.gif (871 bytes)- проекция поверхности image2.gif (874 bytes)на плоскость image79.gif (933 bytes). Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности. 

 

Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть некоторая функция image117.gif (1045 bytes)определена и ограничена на гладкой поверхности image2.gif (874 bytes). Выберем разбиение image105.gif (868 bytes)поверхности image2.gif (874 bytes)и точки image118.gif (1127 bytes)на каждой элементарной области image104.gif (1096 bytes)  и составим интегральную сумму image119.gif (1574 bytes). Если независимо от выбора разбиения image105.gif (868 bytes)и точек image120.gif (915 bytes)существует image121.gif (1343 bytes), то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности image2.gif (874 bytes)(1-го рода) от функции image117.gif (1045 bytes)и обозначается    image122.gif (1207 bytes)

 

Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности. Если поверхность задана уравнением  image114.gif (1032 bytes)и однозначно проектируется на плоскость image79.gif (933 bytes), то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле image123.gif (2119 bytes). Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.

 

 

Наверх

37. Криволинейный интеграл по длине дуги.

Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть image124.gif (860 bytes)- отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке image125.gif (869 bytes)и концом в точке image126.gif (872 bytes)и image114.gif (1032 bytes)- ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую image124.gif (860 bytes). Выберем на кривой произвольные точки image127.gif (1219 bytes), разбивая ее на элементарные отрезки (разбиение image128.gif (868 bytes)), длина каждого  image129.gif (1083 bytes). Обозначим image130.gif (1204 bytes). Пусть image131.gif (1065 bytes) - произвольная точка на элементарном отрезке image132.gif (973 bytes). Составим интегральную сумму image133.gif (1460 bytes). Если независимо от разбиения image128.gif (868 bytes)и выбора точек image120.gif (915 bytes)существует   image134.gif (1294 bytes) , то он называется криволинейным интегралом по длине кривой (1-го рода) и обозначается  image135.gif (1408 bytes). Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода   image136.gif (1162 bytes)   от функции трех переменных   image137.gif (1072 bytes)по отрезку image124.gif (860 bytes)пространственной кривой. 

 

Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой , то естьimage138.gif (1206 bytes). Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если image124.gif (860 bytes)- отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:

image139.gif (1249 bytes) image140.gif (1044 bytes), то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

image141.gif (2253 bytes). Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: image143.gif (1757 bytes).

 

 

Наверх

38. Скалярное поле.

Скалярное поле. Если каждой точке image144.gif (891 bytes)пространства ставится в соответствие скалярная величина image145.gif (978 bytes), то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также

 image146.gif (1021 bytes)или   image147.gif (954 bytes)   image148.gif (1115 bytes). Поле может быть плоским, если   image149.gif (1032 bytes), центральным (сферическим), если   image150.gif (1226 bytes), цилиндрическим, если image151.gif (1160 bytes).

 

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых  image152.gif (861 bytes) принимает постоянное значение. Их уравнение:  image153.gif (1131 bytes). В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение:   image154.gif (1097 bytes). В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые. 

 

Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть   image155.gif (859 bytes)- единичный вектор с координатами  image156.gif (1172 bytes),  image157.gif (1021 bytes)- скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле  image158.gif (1800 bytes). Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора  image155.gif (859 bytes) и вектора с координатами  image159.gif (1367 bytes), который называется градиентом функции  image160.gif (1021 bytes)и обозначается  image161.gif (971 bytes). Поскольку  image162.gif (1363 bytes), где  image89.gif (874 bytes)- угол между  image164.gif (971 bytes) и  image155.gif (859 bytes), то вектор image164.gif (971 bytes) указывает   направление скорейшего возрастания поля image165.gif (1021 bytes), а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента: 

image166.gif (1061 bytes)

image167.gif (1186 bytes)

image168.gif (1390 bytes)

image169.gif (1448 bytes)

image170.gif (1395 bytes)

 

 

Наверх

39. Векторное поле.

Векторное поле. Если каждой точке image144.gif (891 bytes)пространства ставится в соответствие вектор image171.gif (865 bytes), то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: image172.gif (1644 bytes). Скалярные функции image173.gif (983 bytes)однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если image174.gif (1031 bytes), сферическим, когда image175.gif (1039 bytes), image176.gif (1405 bytes), цилиндрическим, когда image175.gif (1039 bytes), image177.gif (1270 bytes)

 Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор image178.gif (971 bytes)является касательным вектором. Через каждую точку image144.gif (891 bytes)проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или image179.gif (1021 bytes), линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид:image180.gif (1636 bytes)

 

 

Наверх

40. Поток векторного поля.

Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности image2.gif (874 bytes), заданной уравнением image101.gif (1070 bytes). Пусть выполняется условие  image102.gif (1375 bytes), что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором image103.gif (1226 bytes). Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля  image181.gif (865 bytes) через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода) image182.gif (1130 bytes) , где -   image183.gif (1091 bytes)  единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи. 

 

Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции image184.gif (1587 bytes), где image185.gif (983 bytes) - компоненты векторного поля, image186.gif (1134 bytes) - направляющие косинусы вектора нормали.

 

 

Наверх

41. Формула Остроградского.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Рассмотрим кусочно-гладкую двухстороннюю замкнутую ориентированную поверхность  image2.gif (874 bytes). Поток векторного поля image187.gif (865 bytes)  через замкнутую поверхностьimage188.gif (1135 bytes) является важной характеристикой поля и позволяет судить о наличии источников и стоков поля. При непосредственном вычислении потока через замкнутую поверхность приходится разбивать ее на части, однозначно проектируемые на координатные плоскости. 

Формула Остроградского. Пусть замкнутая поверхность image2.gif (874 bytes)ограничивает некоторый объем  image189.gif (869 bytes). Тогда в декартовых координатах справедлива формула Остроградского: image190.gif (1855 bytes), где  image191.gif (983 bytes)- компоненты векторного поля. 

 

 

Дивергенция векторного поля. Дивергенцией  image192.gif (988 bytes) векторного поля  image178.gif (971 bytes)называется image193.gif (1318 bytes). Точка  image194.gif (891 bytes)находится внутри замкнутой поверхности image2.gif (874 bytes), ограничивающей объем   image189.gif (869 bytes), который при вычислении предела стягивается в эту точку. image192.gif (988 bytes) является скалярной величиной и служит мерой источников поля. Если в некоторой области поля  image195.gif (1035 bytes), то источников поля в этой области нет. Такое поле называют соленоидальным. Используя формулу Остроградского, нетрудно получить выражение для вычисления дивергенции в декартовых координатах: image196.gif (1601 bytes). Из свойств частных производных следуют свойства дивергенции векторного поля: 

image197.gif (1033 bytes)

image198.gif (1170 bytes)

image199.gif (1380 bytes)

image200.gif (1387 bytes)

 

 

Наверх

42. Криволинейный интеграл в векторном поле.

Криволинейный интеграл в векторном поле. Пусть заданы некоторое векторное поле image201.gif (1215 bytes) и кривая АВ (А - начальная точка, В - конечная). Криволинейный интеграл в векторном поле  image202.gif (1086 bytes)   есть скаляр, полученный следующим образом: 

Разобьем кривую точками А=А0, А1, А2-Аn=В на n частей, приближенно изображаемых векторамиimage203.gif (1033 bytes)  (разбиение image204.gif (868 bytes)). 

Обозначим  image205.gif (1221 bytes)

На границе или внутри каждой элементарной дуги Аi-1Ai выберем точку, которой соответствует радиус-вектор  image206.gif (893 bytes) и составим интегральную сумму   image207.gif (1376 bytes)

Если существует   image208.gif (1200 bytes)  и он не зависит от разбиения  image204.gif (868 bytes)и выбора точек, то этот предел называется криволинейным интегралом в векторном поле. В декартовой системе координат:image209.gif (1856 bytes), где image210.gif (983 bytes)- компоненты векторного поля.

Если кривая задана в параметрической форме:

image211.gif (1373 bytes), то вычисление криволинейного интеграла сводится к определенному интегралу: 

image212.gif (1717 bytes). Используя определение и формулу для вычисления нетрудно получить свойства криволинейного интеграла: 

image213.gif (1149 bytes)

image214.gif (1055 bytes)

image215.gif (1531 bytes)

image216.gif (1239 bytes)

Подчеркнем, что, в отличие от криволинейного интеграла по длине дуги, криволинейный интеграл в векторном поле меняет знак при изменении направления интегрирования. 

Если  image217.gif (1021 bytes) векторное поле, описывающее физическое силовое поле, то криволинейный интеграл выражает работу, которую совершает  image218.gif (856 bytes) сила при переносе материальной точки из пункта А в пункт В вдоль кривой АВ. 

 

Циркуляция векторного поля. Важной характеристикой векторного поля является циркуляция векторного поля, которая равна криволинейному интегралу по замкнутой кривой в области поля, или, как говорят, по замкнутому контуру:   image219.gif (1083 bytes). Циркуляция векторного поля является скалярной величиной и характеризует вихревые свойства поля. Если в некоторой области поля циркуляция равна нулю, то поле называют безвихревым.

 

 

Наверх

43. Формула Стокса.

Формула Стокса. Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности image220.gif (874 bytes), край которой образуется кусочно-гладкой кривой image221.gif (860 bytes). Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали     image222.gif (869 bytes) обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля   image217.gif (1021 bytes)  вдоль контура границы имеет место формула Стокса: image223.gif (2460 bytes), где   image185.gif (983 bytes)- компоненты векторного поля,  image186.gif (1134 bytes) - направляющие косинусы вектора нормали. 

  

Ротор векторного поля. Рассмотрим в пространстве замкнутый контур image221.gif (860 bytes) с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали image222.gif (869 bytes)  обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором    image224.gif (980 bytes)(или вихрем) векторного поля в точке  image225.gif (891 bytes)называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть    image226.gif (1171 bytes). Точка лежит  image225.gif (891 bytes)на плоскости внутри контура  image221.gif (860 bytes), который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   image227.gif (926 bytes), затем x0z,     image228.gif (938 bytes), затем x0y,   image229.gif (935 bytes). Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:    image230.gif (2173 bytes)

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя:image231.gif (1812 bytes). Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

 image232.gif (1024 bytes)

image233.gif (1160 bytes)

image234.gif (1356 bytes)

image235.gif (1457 bytes)

 

 

Наверх

44. Потенциальное поле.

Потенциальное поле. Если векторное поле  image236.gif (1310 bytes), то оно называется потенциальным, а скалярное поле image237.gif (1021 bytes), соответственно, его потенциалом. Самым известным примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого  image238.gif (1062 bytes), где image89.gif (874 bytes)- потенциал электрического поля. Минус в формуле связан с историческим выбором направления вектора напряженности от плюса к минусу, когда уже умели тереть шерсть об янтарь, но не знали, как это описывать математически. 

  

Условие потенциальности поля. Пусть задано скалярное поле  image237.gif (1021 bytes), причем данная функция дважды непрерывно дифференцируема. Напомним, что в этом случае смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Вычислим image239.gif (2328 bytes) . 

Нетрудно видеть, что при этих условиях получается тождественный ноль. То есть, если поле потенциальное, то его  image240.gif (1025 bytes)

 

 

Вычисление потенциала векторного поля. Если мы убедились, что поле  image217.gif (1021 bytes)является потенциальным, то есть его ротор равен нулю, то представляет интерес вычислить потенциал этого поля. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле:  image241.gif (1021 bytes), где точки А и В - начальная и конечная точки кривой. Поскольку  image242.gif (1599 bytes), то скалярное произведение векторов   image243.gif (865 bytes)  и    image244.gif (896 bytes)  является полным дифференциалом функции  image237.gif (1021 bytes): image245.gif (1522 bytes). Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что image246.gif (1416 bytes). Смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля по перемещению материальной точки из А в В не зависит от пути интегрирования, а только от конечной и начальной точек, точнее, от разности потенциалов в этих точках. Понятие разности потенциалов хорошо известно из физики. Для вычисления потенциала поля в произвольной точке В выберем начальную точку А, от которой начнем отсчет (в физике часто это - бесконечно удаленная точка). Тогда image247.gif (1292 bytes). Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его так, как нам удобно: сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая image248.gif (1300 bytes), получим: 

2491.gif (1368 bytes)

2492.gif (1942 bytes).

Здесь   image250.gif (983 bytes) - компоненты векторного поля    image217.gif (1021 bytes). Поскольку выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Теги

  • математический анализ
  • матан
    18.11.2019

    Комментарии

    • Ye_Gayev
      Ye_Gayev+4.24
      18.11.2019 20:57

      Простите, не понял: сие есть стандартный курс 

      Курс по математическому анализу

      или какое-то применение МАТЛАБа в курсе высшей математике?

      • Редактор-сообщества-Экспонента
        Редактор-сообщества-Экспонента+26.70
        18.11.2019 21:47

        В данном случае стандартный курс

      • Ye_Gayev
        Ye_Gayev+4.24
        18.11.2019 21:58

        Тогда зачем он здесь?

        В то же время, применение МАТЛАБа в изложении высшей математики, ПРАВИЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ -- в высшей мере актуально и нетривиально.