• Регистрация
Редактор-сообщества-Экспонента
Редактор-сообщества-Экспонента+230.08
н/д
  • Написать
  • Подписаться

Курс по теории функций комплексного переменного

Небольшой теоретический курс по теории функций комплексного переменного.

1. Различные формы представления комплексных чисел. Арифметические операции с комплексными числами.

2. Элементарные функции комплексного переменного.

3. Дифференцирование функций комплексного переменного.

4. Интегралы в комплексной области.

5. Нули аналитической функции.

6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного.

7. Ряд Тейлора функций комплексного переменного.

8. Ряды Лорана.

9. Вычеты.

10. Вычисление интегралов по замкнутому контуру.

11. Вычисление несобственных интегралов.

12. Преобразование Лапласа. Решение задачи Коши операционным методом.

Наверх

Различные формы представления комплексных чисел. Арифметические операции с комплексными числами

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел x и y. 

Первое из них x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, x = Rez; 

второе число y называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Imz, y = Imz. 

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: 

image134.gif (1307 bytes)

Алгебраическая форма записи комплексного числа

image153.gif (1335 bytes)

Число 

image154.gif (940 bytes) image137.gif (997 bytes), где image136.gif (1024 bytes)

называется комплексно сопряженным числу 

image155.gif (940 bytes) image138.gif (1000 bytes)

Комплексное число z = x + iy естественно изображать в виде точки на плоскости с декартовыми координатами (x, y).

Если x и y - декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к полярным координатам (r, j) и воспользовавшись связью

x = rcosj, y = rsinj

получим тригонометрическую форму записи комплексного числа: 

z = r (cosj + isinj) . 

При этом число r называют модулем комплексного числа, |z| = r, а число j - аргументом комплексного числа, 

Arg z = arg z+2kp= j. 

При решении задач для вычисления аргумента удобно пользовааться схемой, приведенной ниже:

arg.gif (2025 bytes)

Справедливы соотношения:

image139.gif (1423 bytes)

Используя формулу Эйлера 

image140.gif (1044 bytes)

получим показательную форму записи комплексного числа:

image141.gif (934 bytes)

Арифметические операции c комплексными числами определяются следующим образом:

если 

то

Наверх

Элементарные функции комплексного переменного

Значение целой положительной степени комплексного аргумента, значение функции f(z) = z n , проще всего вычислять в тригонометрической форме.

Если z = x + iy = r (cosj + isinj ), то для любого целого положительного числа n имеет место формула:

w = f(z) = z n = r n (cos nj + isin nj ).

Если w = f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то 

u(x, y) = r ncos nj , u(x, y) = r nsin nj.

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число 

image148.gif (937 bytes) такое, что wn = z.

Для любого комплексного числа z существует n комплексных чисел w таких, что wn = z.

Значение корня, т.е. значение функции

image146.gif (986 bytes)

проще всего вычислять в тригнометрической форме.

Если z = x + iy = r (cosj + isinj), то для любого целого положительного числа n имеет место формула: 

image147.gif (1921 bytes)

Т.е. функция 

image146.gif (986 bytes) 

является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечает n различных значений корня.

Если w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то image149.gif (1846 bytes)

Если z = x + iy = r (cosj + isinj ), то значения функции f(z) = exp(z) вычисляются по формуле 

f(z) = ez = ex+iy = e xe iy = ex (cosy + isiny). 

Если w = f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), то

u(x,y) = ex cosy , v(x,y) = ex siny. 

 

Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются формулами:

image150.gif (1850 bytes) 

Гиперболические функции комплексного переменного определяются совершенно так же, как функции в действительной области:

image151.gif (1768 bytes) 

Логарифмом комплексного числа z называется такое число w, что

exp(w) = z.

Значения логарифмической функции f(z) = Ln(z) вычисляются по формуле

Ln(z) = ln(|z|) + iArg z = ln(|z|) + iarg z + 2kp i, k = 0,1,2,...

Величину ln(|z|) + iarg z называют главным значением логарифма.

Функция f(z) = Ln(z) является многозначной функцией _ каждому значению аргумента отвечает бесконечное множестворазличных значений логарифма.

 

Показательная (f(z) = az) и степенная (f(z) = za) функции комплексного переменного определяются с помощью логарифма - для любых комплексных чисел a и z справедливо:

f(z) = az = ezLna;

f(z) = za= eaLnz.

Значения обратных тригонометрических функций комплексного переменного вычисляются по формулам:

image152.gif (1617 bytes).

Наверх

Дифференцирование функций комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного определяется, как и производная в действительной области:

image5.gif (1196 bytes)

Здесь

z0, Dz _ комплексные и Df(z0) = f(z0+Dz) - f(z).

Используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости следующих правил дифференцирования.

1. Сумма и произведение дифференцируемых в точке функций, есть функция и справедливы равенства:

image7.gif (1523 bytes)

image8.gif (1473 bytes)

2. Частное дифференцируемых в точке функций, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю, есть дифференцируемая в этой точке функция, :

image9.gif (1445 bytes)

3. Сложная функция f(j (z)) дифференцируема в точке z0, если в этой точке дифференцируема функция j (z), а функция f(u) дифференцируема в точке u0,

где u0 = j (z0) и u = j (z). При этом в точке z0 имеет место формула:

image10.gif (1209 bytes)

Для элементарных функций комплексного переменного справедливы формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента. 

Например, рассмотрим функцию f(z) = z3.

По определению производной для любой точки z, принадлежащей комплексной области, записываем:

image17.gif (1960 bytes)

Предел существует для любой точки z, принадлежащей комплексной области и

(z3)' =3z2.

Аналогично можно получить:

(zn)' = nzn-1 (n - действительное число).

 

Если f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y), т.е. u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z), 

то справедливы следующие утверждения:

1. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей

u(x, y) = Re f(z), v(x, y) = Im f(z) 

и выполняется условие Коши-Римана:

image11.gif (1343 bytes)

2. Если u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы в точке (x0, y0) (имеют непрерывные частные производные в этой точке) и выполняется условие Коши-Римана, то функция f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y) дифференцируема в точке z0 = x0+ iy0.

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

image13.gif (1142 bytes) image14.gif (1146 bytes) image15.gif (1147 bytes) image16.gif (1144 bytes)

Наверх

Интегралы в комплексной области.

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

image104 (527 bytes)

где image105 (86 bytes) - точка, произвольно выбранная на дуге image111 (99 bytes) разбиения кривой,

image112 (101 bytes) - приращение аргумента функции на этом участке разбиения, 

image106 (240 bytes) - шаг разбиения, 

image113 (131 bytes) - длина хорды, соединяющей концы дуги image111 (99 bytes)

кривая l разбивается произвольным образом на n частей image111 (99 bytes), k=1,2...n. 

На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. 

В случае замкнутой кривой l = C

image107 (368 bytes)

интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С.

Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

image108 (655 bytes)

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z). 

 

2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z = z(t)) - применяется формула:

image109 (572 bytes) 

3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях - примененяеется формула:

image110 (791 bytes)

где F(z) - первообразная для f(z).

Наверх

Нули аналитической функции.

Пусть функция f (z) является аналитической в точке z0. Точка z0 называется нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. f (z0) = 0.

В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. z0) отсутствует свободный член: С0 = f(z0) = 0.

Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z0) до n-ой степени, т.е. разложение имеет вид: image173 (56 bytes) image174 (396 bytes) или image175 (527 bytes) то точка z0 называется нулем порядка nфункции f(z). 

Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем.

Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z0:

a). image176 (513 bytes)

b). представление функции в виде произведения:image177 (443 bytes)

Порядок нуля в точке z0 функции, полученной в результате перемножения аналитических функций 

f (z) = f1(z) f2(z) равен сумме порядков нуля (n1 + n2) в этой точке функций сомножителей 

( n1 - порядок нуля в точке z0 функции f1(z), n2 - порядок нуля в точке z0 функции f2(z) ).

Наверх

Изолированные особые точки функции комплексного переменного.

Точка z0, принадлежащая области комплексных чисел, называется изолированной особой точкой функции f(z), если image288 (119 bytes) такая, что f(z) является однозначной аналитической функцией в image289 (198 bytes) (в самой точке аналитичность f(z) нарушается).

Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется: 

  • устранимой особой точкой, если image290 (213 bytes) существует и конечен; 

  • полюсом, если image291 (247 bytes)

  • существенно особой точкой, если image290 (213 bytes) не существует. 

 

Для того чтобы особая точка функции f(z) была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z0 - устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z) имеет вид: image292 (544 bytes) (1)

для z0 - конечной точки, принадлежащей области комплексных чисел.

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.

Ряд Лорана функции f(z) в случае z0-полюс имеет вид:

image293 (554 bytes) (2)

если z0 принадлежит области комплексных чисел.

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка z0 является полюсом порядка n функции f(z), если в разложении (2) image294 (131 bytes), Ck = 0 при k < -n. 

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z) в случае z0 - существенно особой точки имеет вид: image295 (557 bytes) (3)

если z0 принадлежит области комплексных чисел.

Наверх

Ряд Тейлора функций комплексного переменного.

Теорема Тейлора (о разложении функции в степенной ряд).

Функция, аналитическая в области комплексных чисел D, в окрестности каждой точки z0 этой области представляется в виде степенного ряда:

image196 (529 bytes) (1)

радиус сходимости R которого не меньше, чем расстояние от точки z0 до границы области D. 

Такой степенной ряд называется рядом Тейлора.

Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле:

image197 (569 bytes) (2)

где image198 (66 bytes) - произвольный контур, принадлежащий области D и охватывающий точку z0 (в частности, image198 (66 bytes) - окружность image199 (152 bytes)), или по формуле:

image200 (384 bytes) (3)

Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z0 до ближайшей особой точки функции.

Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы:

image201 (362 bytes) image202 (311 bytes)

Основные разложения.

image203 (253 bytes) (z принадлежит области комплексных чисел); 

image204 (458 bytes) (z принадлежит области комплексных чисел); 

image205 (411 bytes) (z принадлежит области комплексных чисел);

image206 (377 bytes) (z принадлежит области комплексных чисел);

image207 (337 bytes) (z принадлежит области комплексных чисел);

image208 (529 bytes)

image209 (383 bytes)

Наверх

Ряды Лорана.

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце

r < | z - z0 | < R, image229 (169 bytes)

представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:

image230 (398 bytes) (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: image231 (617 bytes) (2)

где image232 (63 bytes) - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z0; в частности, 

image232 (63 bytes)- окружность image233 (258 bytes)

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями image234 (309 bytes) называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:

image235 (312 bytes) или image236 (302 bytes)

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:

image237 (393 bytes) где image238 (285 bytes)

r - радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z0 (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z0 = 0, image239 (101 bytes)).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

Наверх

Вычеты.

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z0 (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

image139 (299 bytes)

где image140 (66 bytes)- контур, принадлежащий окрестности точки z0 и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z0 при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки. 

Обозначается вычет image141 (560 bytes)

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z-z0) для z0, принадлежащей области комплексных чисел: image142 (237 bytes)

 

Если конечная особая точка z0 является устранимой особой точкой функции f(z), то image143 (221 bytes)

 

Если z0 - полюс порядка n функции f(z), z0 принадлежит области комплексных чисел, то 

image144 (779 bytes)

image145 (497 bytes)

Если z0 - простой полюс функции image146 (265 bytes)

где image147 (174 bytes) аналитические функции в точке z0 и image148 (394 bytes)

то image149 (425 bytes)

Наверх

Вычисление интегралов по замкнутому контуру.

Теорема (Основная теорема о вычетах). 

Если функция f(z - аналитична в image156 (75 bytes) за исключением конечного числа особых точек image157 (126 bytes), то справедливо равенство 

image158 (545 bytes)

где D - односвязная область в комплексной плоскости, image159 (91 bytes)- граница D, 

image160 (166 bytes)- вычет функции f(z) в точке zk.

Наверх

Вычисление несобственных интегралов

 image24 (354 bytes) ~ image25 (249 bytes) ~ image28 (805 bytes)

Утверждение. Пусть R(x, y) - рациональная функция двух действительных переменных. Тогда справедливы равенства image30 (1040 bytes)

Действительно, замена z = eix переводит отрезок image31 (133 bytes)в окружность |z| = 1, 

image32 (190 bytes)

При этом: image29 (604 bytes)

В результате имеем формулу, сопоставляющую интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутой кривой от функции комплексного переменного:

image30 (1040 bytes)

Замечание. Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, за исключением некоторых частных случаев, применяется замена tg(1/2)= t ("универсальная" подстановка) и интеграл приводится к интегралу от рациональной дроби.

Утверждение. Пусть функция image34 (315 bytes)

где Pn(x) и Qm(x) - многочлены степени n и m (n = const, m = const), удовлетворяет условиям:

1. (m - n) больше или равно 2.

2. Qm(x) не равна 0 при x, принадлежащим области действительных чисел.

Тогда справедливы равенства:

image49 (727 bytes)

image50 (729 bytes)

Здесь zk, k = 1,2,..., p - все особые точки функции R(z), расположенные выше оси Ох (Im zk> 0) в случае формулы (1) и ниже оси Ох (Im zk< 0) в случае формулы (1.2).

Замечание. Если R(z) - четная функция, то можно, используя формулы (1.1) и (1.2), вычислить интеграл вида image37 (252 bytes)

т.к. для четной функции имеет место равенство: image38 (458 bytes)

 

Утверждение. Пусть R(x) - рациональная функция, не имеющая особых точек на действительной оси, для которой точка z, равная бесконечности, - нуль порядка не ниже первого (т.е. (m - n) больше или равно 1). Тогда справедливы формулы:

image39 (131 bytes)

image51 (882 bytes)

image41 (136 bytes)

image52 (888 bytes)

image48 (135 bytes)

image53 (1071 bytes)

image54 (1057 bytes)

Наверх

Преобразование Лапласа. Решение задачи Коши операционным методом

Операционное исчисление - один из наиболее эффективных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения. 

Функцией-оригиналом называется функция f (x) для которой справедливо: 

f (x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек, f (x) = 0 при x<0, существуют такие постоянные M и a, что image113.gif (225 bytes)при всех неотрицательных x. 

Преобразованием Лапласа функции f (x) называется функция image114.gif (368 bytes)

Функция F (p) называется изображением функции f (x), а функция f (x) - оригиналом для F (p). 

Основные свойства преобразования Лапласа, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие: 

  • оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности; 

  • если F (p) и G (p) - изображения соответственно для f (x) и g (x), то изображением для af (x) + bg (x) является aF (p) + bG (p) - линейность преобразования Лапласа; 

  • изображением для производной f (n)(x) является функция pnF(p) - pn-1f (0) - pn-2f '(0) -...- pf (n-2)(0) - f (n-1)(0) - изображение производных; 

  • если F (p) изображения для f (x), то для любого a>0 изображением для f (x-a) является image115.gif (165 bytes) - теорема запаздывания. 

Рассмотри задачу Коши: 

image116.gif (684 bytes)

a1, a2, ..., an - постоянные. 

Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обрзначим Y (p) и F (p) изображения для y (x) и f (x). 

Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: image117.gif (827 bytes)

или, A (p)Y (p) + B (p) = F (p), где A (p) и B (p) - многочлены. 

Отсюда:

image118.gif (366 bytes)

и искомое решение задачи Коши y (x) является оригиналом для Y (p). 

 

Совершенно аналогично операционное исчисление применяется к решению задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотри задачу Коши: 

image119.gif (398 bytes)

A- постоянна матрица размерности n.n.

Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем. 

Обозначим image120.gif (188 bytes)изображения для image121.gif (179 bytes)- компонентами вектор-функций image120.gif (188 bytes)являются изображения соответствующих компонент вектор-функций image121.gif (179 bytes). Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим: 

image122.gif (346 bytes)

image123.gif (395 bytes),

где E - единичная матрица, image124.gif (176 bytes)- обратная матрица к матрицеimage125.gif (156 bytes). Тогда искомое решение задачи Коши image126.gif (112 bytes)является оригиналом для image127.gif (119 bytes).

Теги

    18.12.2019

    Комментарии