Власенко О.М. Лабораторная работа. Моделирование линейных систем в MATLAB Simulink

Лабораторная работа предназначена для закрепления навыков работы в MATLAB для построения и исследования динамических свойств линейных систем управления. Рассматривается процесс моделирования линейной системы в программе MATLAB Simulink методами передаточной функции и прямого аналогового моделирования.

Цель работы: освоить методику моделирования линейной системы в программе MATLAB Simulink методами передаточной функции и прямого аналогового моделирования.

Задание:

1. По исходным данным составить структурную схему системы автоматического управления в MATLAB Simulink с использованием блоков TransferFcn и др. Для моделирования передаточных функций:

• выбрать закон регулирования, обеспечивающий астатизм в системе и наилучшее качество регулирования. Регулятор смоделировать с помощью блока PID, включив необходимые составляющие. Выбрать оптимальные настройки регулятора, обеспечивающие минимальное время регулирования при соблюдении ограничения на перерегулирования 20%;
• вывести логарифмические частотные характеристики системы, определить запасы устойчивости;
• провести оценку устойчивости системы по методу Гурвица и Найквиста;
• вывести переходной процесс. Оценить качество регулирования по прямым показателям.

2. Собрать схему рассматриваемой системы в MATLAB Simulink по методу аналогового моделирования. Настроить начальные значения. Вывести график переходного процесса в блоке Scope.

3. Вывести на один осциллограф выходы схем, построенных в пункте 1 и 2. Получить кривые переходных процессов. Сделать сравнительный вывод о методах моделирования.

Пример.

Пусть система описывается следующими уравнениями:

,

где T1 = 1.5, T2 = 11, T3 = 34, k1 = 1.5, k2 = 2.

1. Исследование системы в MATLAB Simulink с помощью блоков передаточной функции

Схема в MATLAB Simulink, собранная с помощью блока TransferFcn имеет вид (рис.1):

Так как в системе присутствует интегрирующее звено, целесообразно для регулирования выбрать ПД закон регулирования. Параметры подобраны в блоке PID с помощью функции Tune (рис.2). В случае необходимости для достижения требуемых показателей качества переходного процесса в систему можно добавить еще одну пропорциональную составляющую регулятора – блок Gain после блока PID. С помощью коэффициента в блоке Gain подбирается необходимое перерегулирование.

На рисунке 3 приведены логарифмические частотные характеристики системы, пересечение амплитудной характеристикой разомкнутой системы оси 0 дБ происходит при фазе больше -180°, поэтому замкнутая система устойчива, запасы устойчивости по фазе составляют 60°, по модулю - 40.3 дБ.

Для построения годографа Найквиста можно использовать функцию nyquist(sys) в командной строке или использовать процедуру линейного анализа в Simulink.

Для этого необходимо настроить вход и выход системы для линейного анализа с помощью команд контекстного меню (рис.4). Либо вместо блока Constant поставить блок In, вместо Scope - блок Out. Далее выбираем команду меню Analysis – Control Design – Linear Analysis. В окне линейного анализа выбираем тип графика New Nyquist.

По виду годографа Найквиста (рис.5) делаем вывод, что так как годограф разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0), то замкнутая система устойчива.

Для определения устойчивости по прямому критерию и критерию Гурвица используем командную строку:

>> w1=tf(1,[1.5 0]);

>> w2=tf(1.5,[11 1]);

>> w3=tf(2,[34 1]);

>> wp=tf([0.8 0.02],1);

>> wraz=w1*w2*w3*wp

wraz =

         2.4 s + 0.06

  --------------------------

  561 s^3 + 67.5 s^2 + 1.5 s



>> wzam=feedback(wraz,1)

wzam =

            2.4 s + 0.06

  ---------------------------------

  561 s^3 + 67.5 s^2 + 3.9 s + 0.06

Прямой критерий устойчивости:

>> pole(wzam)           %определим корни знаменателя замкнутой системы

ans =

  -0.0489 + 0.0486i

  -0.0489 - 0.0486i

  -0.0225 + 0.0000i

Все корни отрицательные, следовательно система устойчива.

Определим устойчивость по критерию Гурвица:

>> [num,den]=tfdata(wzam,'v');

>> den

den =

  561.0000   67.5000    3.9000    0.0600

% Ввод определителя Гурвица

>> A=[67.5 0.06;561 3.9];

>> if det(A)>0

disp('система устойчива')

else

disp('система неустойчива'),end

система устойчива

По графику переходной функции на рис.2 можно оценить качество регулирования: время регулирования составило 98.8 с, перерегулирования 9.11%.

2. Исследование системы в MATLAB Simulink с помощью метода прямого аналогового моделирования.

Метод заключается в выделении старшей производной выходной величины в дифференциальном уравнении и дальнейшем интегрировании ее требуемое количество раз в зависимости от порядка производной.

Например, для апериодического звена первого порядка: 

дифференциальное уравнение имеет вид:

.

Выделим старшую производную: 

Для решения уравнения – получения сигнала y на выходе – его необходимо проинтегрировать. Тогда на структурной схеме апериодическое звено (рис.6а) можно заменить следующей схемой, собранной из пропорциональных и интегрирующих звеньев (рис.6б). 

Для нашего примера, если использовать метод прямого аналогового моделирования с выделением старшей производной и последовательным интегрированием, получим следующую схему (рис.7):

Для сравнения результатов выведем схемы на один осциллограф (рис.8). Графики переходных процессов – кривые разгона приведены на рисунке 9.

Как видно на рис.9, графики кривых разгона близки, следовательно, методы моделирования дают сходные результаты. Однако метод прямого моделирования позволяет учесть начальные значения, которые устанавливаются в последнем блоке Integrator (на рис.6 обозначен y*(t)). Для схем на рисунке 8 установлено заданное значение y_з = 100, начальное значение y_н = 20.