МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ MATLAB

Рассмотрены приближенные методы решения модельных краевых задач математической физики, описывающих колебания механических объектов с движущимися границами. Изложена методика анализа установившегося резонанса и явления прохождения через резонанс. В среде MATLAB проведены исследования амплитуды колебаний на максимум в зависимости от времени при прохождении через резонанс. Издание предназначено для студентов высших технических учебных заведений. Может быть полезно научным работникам, инженерам и аспирантам, занимающимся вопросами прочности и надёжности элементов конструкций.

Математическое моделирование задач математической физики в среде программирования MATLAB: учеб. пособие / В.Н. Анисимов, И.В. Корпен, В.Л. Литвинов.– Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2019. – 49 с.: ил.

ВВЕДЕНИЕ

Системы, границы которых движутся, широко распространены в технике (канаты грузоподъемных установок[1], гибкие звенья передач [2] и т.д.). Наличие движущихся границ вызывает значительные затруднения при описании таких систем. Точные методы решения ограничены волновым уравнением и сравнительно простыми граничными условиями. Из приближенных методов наиболее эффективен метод Канторовича – Галеркина, описанный в работах [3 - 6].

Приближенный метод Канторовича – Галеркина рассмотрен применительно к решению задач, описывающих колебания одномерных объектов с условиями на движущихся границах и анализу резонансных свойств данных объектов. Этот метод позволяет учитывать действие на систему сил
сопротивления внешней среды, изгибную жесткость объекта, жесткость основания, вязкоупругие свойства колеблющегося объекта, а также слабую нестационарность граничных условий.

Математическая постановка задачи включает дифференциальное уравнение в частных производных относительно искомой функции смещения и неоднородные граничные условия. Метод Канторовича – Галеркина позволяет учесть и начальные условия, однако они не влияют на резонансные свойства линейных систем, поэтому в данном случае не рассматриваются.  Решение производится в безразмерных переменных с точностью до величин второго порядка малости относительно малых параметров, характеризующих скорость движения границы и вязкоупругость. При помощи метода Канторовича – Галеркина получено выражение для амплитуды колебаний, соответствующих n–ной динамической моде (форме колебаний). Исследовано явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс с применением численных методов.

Полный текст работы доступен ниже в разделе файлы.