Моделирование динамики ротора Стодолы - Грина в Simulink

В данной работе рассматривается динамически неуравновешенный ротор, который балансируется при помощи двухплоскостного автобалансировачного устройства. Особенностью работы является учитывание сил тяжести действующих на ротор, так как он рассматривается в горизонтальном положении.

Введение

Динамически несбалансированный ротор иногда называют ротором Стодолы - Грина. Модель данного ротора имеет статический эксцентриситет(правая картинка), который появляется, если центр масс ротора находится не на оси вращения, и моментный эксцентриситет(также его называют динамическим эксцентриситетом, левая картинка), появляющийся в случае не паралельности оси ротора и оси вращения. Из-за этого ротор без АБУ вращается с определённой амплитудой и углом наклона. Если же насадить на ротор обоймы АБУ, то можно сбалансировать движение ротора. Это достигается при помощи шариков в обоймах АБУ, которые после начала движения занимают постоянное положение, при котором система уже не будет иметь статического и моментного эксцентриситетов.

Теоретическая часть

В данном разделе будут представлены уравнения движения ротора Стодолы - Грина с двухплоскостным АБУ, в каждом из которых будут находиться по два шарика.

Пусть точка G является центром масс ротора c массой m₀, а точка С - его геометрическим центром. Тогда расстояние между этими двумя точками будет описывать статический эксцентриситет, который обозначим через s. Точки O₁ и O₂, через которые проходит ось вращения ротора, будут точками опор, имеющих коэффициенты жесткости и демпфирования c₁, c₂, d₁,d₂. А расстояние между этими точками и точкой C обозначим через l₁ и l₂, соответственно. Угол chi, который является углом между осью вращения и осью динамической симметрии, будет описывать моментный эксцентриситет ротора. Дополнительный угол gamma является углом между плоскостью моментного эксцентриситета и плоскостью, проходящей через ось вращения и центр масс ротора. J_p и J_t являются полярным и эквоториальным моментами инерции ротора, соответсвенно. Для АБУ нам важны следующие характеристики. Это радиус r_j , смещение относительно точки C - h_j и массы шариков mb_j. Здесь и далее индекс j будет отвечать за обойму АБУ. Также учтём коэффициенты диссипации, d₃ для ротора и d₄, d₅ для обоим АБУ.

Для описания механической системы введём следующие обобщённые координаты: X, Y - абсолютные координаты точки C в системе координат OXYZ; alpha, beta - углы между осью вращения и неподвижными плоскостями XZ,YZ, соответственно; theta - собственный угол вращения ротора и углы вращения psi_ij для шариков в АБУ.

После вычислений кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции Релея, а также учитывая, что ротор приводится в движение постоянным крутящим моментом M_z можем выписать уравнения Лагранжа второго рода:

где

Моделирование уравненй в Simulink

Так как уравнения Лагранжа выписаны в прямой форме, то можно легко выразить вторую производную через остальные слагаемые в уравнениях. Далее с помощью блоков Integrate и других математических блоков в Simulink можно описать систему дифференциальных уравнений. Для удобства использования переменных и их производных в различных уравнениях были использованы конструкции с Bus, а именно In Bus Element, Out Bus Element и два Bus Creator. Эти конструкции помогают значительно уменьшить количество линий в модели и возможных ошибок, при неверном соединении. Один из блоков Bus Creator служит для формирования шин с координатами X, Y, alpha, beta и их производными, вплоть до второго порядка. Другой, для шин с координатами углов отклонения шариков и их производными, также до второго порядка. Для каждого из уравнений были созданы отдельные подсистемы.

Разберём одно из построенных уравнений. Например, по theta.

При переносе всех слагаемых, кроме того, которое включает в себя вторую производную theta, получим следующие уравнение:

В модели в Simulink это уравнение имеет следующий вид:

Как можно видеть, все слагаемые подключаются к одному блоку суммирования, после чего они делятся на множитель, стоящий перед второй производной theta.

Подсистема Subsystem имеет следующий вид:

Subsystem1 имеет более сложный вид, из-за вхождения туда координат phi_ij:

Слева представлены слагаемые из первой обоймы АБУ, а справа из второй. Остальные уравнения имеют похожую структуру. 

Результаты

Далее приведены графики амплитуд колебаний и отдельных обобщённых координат для нескольких наборов параметров.

При следующем наборе ротор будет симметричным:

На следующих картинках приведены графики координат psi_ij(левая картинка) и theta(правая картинка).

Далее приведены графики амблитуд колебаний:

Слева , а справа.

Если же рассмотреть несимметричный ротор с изменёнными значениями l₁=1/3; l₂=2/3,

то получим следующее:

Рассположение картинок аналогично предыдущему тесту.

Из графиков можно сделать вывод, что не происходит полной балансировки. Это может происходить, так как в данной модели учитывались только члены первого порядка малости, а остальные были исключены из уравнений движений. Так же причиной отсутствия полной балансировки может служить то, что скорость ротора меньше второй критической частоты системы. 

Заключение
С помощью данной модели можно анализировать поведение ротора при различных наборах параметров механической системы. Это является важной частью анализа устойчивости движения. Также можно дополнить эту модель эксцентриситетами обойм АБУ и посмотреть, как будет вести себя модль, при такой постановке задачи.