Моделирование физических процессов и явлений в PDETool MATLAB

Представлено методическое пособие для выполнения комплекса лабораторных работ по изучению дисциплины «Математическое моделирование систем и процессов».

В пособии рассмотрены начально-краевые задачи математической физики, приводится численное решение некоторых задач, описываемых данными уравнениями, в пакете PDETool MATLAB. Выполнение каждой работы подробно описано как с точки зрения математической постановки задачи, так и в отношении хода выполнения моделирования в среде PDETool. Для проверки правильности решения показаны результаты моделирования, выполненные для нулевого варианта. Для проверки усвоения материала после каждой задачи приведены контрольные вопросы.

Методическое пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, изучающих математическое моделирование систем и процессов или уравнения математической физики.

ВВЕДЕНИЕ

В очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения отражают внутренние механизмы процессов, которые могут протекать в бесчисленном разнообразии окружающих нас тел, имеющих различные форму, размеры и свойства. Поэтому любое уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Особенности же конкретного процесса устанавливают заданием (описанием) дополнительных условий, выделяющих конкретный процесс из всех остальных.

Прежде всего в задаче математической физики, или математического моделирования, выделяют область, в которой следует решить уравнение. Эта область отражает геометрические размеры и форму тела, в котором протекает исследуемый процесс.

Кроме того, на границе области выставляют некоторые граничные условия на искомую функцию, которые учитывают взаимодействие (связь) процесса в выделенном теле (системе) с аналогичным процессом в окружающих телах. В силу разнообразия форм связи этих процессов на границе области могут быть заданы различные граничные условия. Принятая классификация граничных условий обычно связана с порядком производных искомой функции, которые присутствуют в граничном условии и выражают различные условия связи.

Так, однородные граничные условия первого и второго рода соответствуют равенству нулю искомой функции или ее нормальной производной на границе области, а условия третьего рода задают связь между функцией и ее нормальной производной на границе. Встречаются задачи с "косой" производной, когда в граничном условии фигурирует производная по направлению, не совпадающему с направлением нормали к границе. Задачи, в которых учитывают граничные условия, называют краевыми задачами. Если на различных участках границы заданы граничные условия различных типов, то задачу называют смешанной краевой задачей.

Иногда, отвлекаясь от влияния на исследуемый процесс формы и размеров тел, задачу решают в безграничном пространстве. Для эволюционных процессов, протекающих во времени, такие задачи называют задачами Коши.

Как в краевых задачах, так и в задачах Коши для уравнений, содержащих временную переменную, необходимо задавать также начальные условия на искомую функцию и ее производные по времени. Начальные условия описывают состояние системы в момент времени, выбираемый за начало исследуемого процесса. При этом с помощью уравнения мы можем определять состояние системы и в более поздние моменты времени, т.е. изучать эволюцию системы из ее начального состояния.

В специальных случаях могут рассматриваться задачи без начальных условий, когда характер эволюции системы постулируется при постановке задачи. Типичным примером таких задач являются задачи об установившихся процессах колебательного типа.

Итак, формулировка задачи математической физики в общем случае включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего изучаемый процесс, а также граничных и начальных условий, выделяющих единственным образом конкретный процесс из бесчисленного множества аналогичных ему.

Эффективным и доступным средством решения задач математического моделирования является PDE Toolbox. Освоение этого инструмента, встроенного в систему MATLAB, является естественным первым шагом к более мощным вычислительных пакетам, в особенности к системе Femlab, также базирующейся на вычислительной среде MMATLABatlab и известной как оперативное средство решения сложных реальных задач.

PDE Toolbox сочетает в себе, с одной стороны, фирменный графический пользовательский интерфейс, встроенные эффективные алгоритмы построения областей, сеток, решений, и с другой, открытость программы, возможность пользовательского вмешательства на разных уровнях. Благодаря этому можно разрабатывать удобные специализированные системы или использовать в учебном процессе.

Полный текст пособия приведен в прикрепленном файле.

Выходные данные пособия:

Коломийцева, С. В. Моделирование физических процессов и явлений в PDETool MATLAB: методическое пособие / С. В. Коломийцева, Е. П. Суляндзига. – Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2017. –49 с. : ил.