Моделирование токовых характеристик автоэмиссионного нанотриода

В статье проводится анализ численного решения для напряженности электрического поля и величины тока эмиссии нанотриода. Использован метод конечных элементов на неравномерной сетке с реализацией алгоритмов в Matlab. Обсуждаются сопутствующие вопросы применения пакета прикладных программ Matlab PDE Toolbox, связанные со спецификой моделирования автоэмиссионных систем:

* вычислительная область сложной формы включает границу эмиттера с большой кривизной поверхности и малыми размерами, что приводит к значительному разбросу характерных размеров в одной геометрической конфигурации;

* экспоненциальная зависимость плотности тока от напряженности поля требует повышенной точности при учете граничных условий на эмиттере

1. Введение. В статье рассматривается задача моделирования вольт-амперных характеристик вакуумного нанотриода с острийным эмиттером, физическая и математическая модель которого описана в [1], и там же описана формальная постановка задачи. Ниже представлено решение сопутствующих вопросов в MATLAB PDE Toolbox, связанных со следующими особенностями моделирования автоэмиссионных систем [2]:

1. Вычислительная область сложной формы включает границу эмиттера с большой кривизной поверхности и малыми размерами, что приводит к значительному разбросу характерных размеров в одной геометрической конфигурации.

2. Экспоненциальная зависимость плотности тока от напряженности поля требует повышенной точности при учете граничных условий на эмиттере [3].

2. Метод решения. Решение задачи, из-за сложной геометрииячейки нанотриода, представленной на рис. 1, возможно получить только численно. Приближенное численное решение найдено в двумерной постановке (с учетом осевой симметрии ячейки моделирования) по методу конечных элементов в виде линейной комбинации линейных базисных функций в среде MATLAB.

Рис. 1. Геометрия структуры и силовые линии электрического поля,примыкающие к аноду.

Решение имеет быстро изменяющийся градиент в области эмиссии (на вершине катода), поэтому конечноэлементная сетка должна сгущаться в окрестности вершины эмиттера (рис. 2), чтобы скорость сходимости решения к точному существенно не снизилась и не произошло увеличения числа неизвестных — размерности конечноэлементной системы.

Рис. 2. Сетка в окрестности эмиттера: а) 30 узлов на эмиттере, б) 120 узлов на эмиттере.

При адаптивном построении сетки используется индикатор ошибки, включающий норму невязки уравнения и скачки градиента конечноэлементного решения, поскольку они связаны с одной из основных в данной задаче физических величин — напряженностью электрического поля. Этот индикатор реализован в функции pdejmps, которая возвращает значение для сопоставления с параметром точности вычислений (tol, задается пользователем) и, в свою очередь, вызывается в функции adaptmesh, предназначенной для адаптивного решения задачи в пакете прикладных программ PDE Toolbox.

Функция adaptmesh возвращает массив u c двумерным конечноэлементным решением краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа:

−∇(c∇u) + au = f,

здесь входные параметры — скалярные величины c, a, f задаются в соответствии с поставленной задачей (уравнение Лапласа): a = f = 0. В цилиндрических координатах c = εx, в декартовых c = ε, где ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, x — первая координата двумерного пространства. Чтобы решение, построенное методом конечных элементов, соответствовало указанным граничным условиям задачи, в функцию adaptmesh передаются массив dl, содержащий матрицу декомпозиционной геометрии с информацией о граничных участках вычислительной области, и массив b, включающий матрицу граничных условий.

В ходе работы обнаружено, что алгоритм триангуляции, реализованный в adaptmesh, строит сетку с недостаточной детализацией в области эмиссии: вершина эмиттера аппроксимируется ломанной и всего двумя узлами при tol = 10^-5, восемью при tol = 10^-6, и двадцать восемью при tol = 10^-7 (хотя в остальной части вычислительной области образуется экстремально большое количество узлов). Такая аппроксимация оказывается недостаточно точной для интегрирования плотности тока эмиссии в силу указанной во введении специфики эмиссионных систем.

Дополнительные узлы на эмиссионной границе предложено задавать в матрице декомпозиционной геометрии. На рис. 4 показана разность между значениями тока, вычисленного на соседних итерациях при увеличении количества дополнительных узлов области эмиссии (в результате выбрано 110 для острийного эмиттера). Сходимость численного решения — интегрального тока — при сгущении сетки наблюдается также при уменьшении параметра tol (рис. 3). Анализ данных показывает, что значения 10^-5 достаточно для адекватного построения численного решения.

Рис. 3. Сходимость численного решения на вложенных сетках

Рис. 4. Разность сеточных решений при добавлении дополнительных узлов и сгущении сетки на вершине эмиттера

3. Результаты. Результаты моделирования вольт-амперных характеристик представлены на рис. 5, на котором виден момент переключения с сеточного тока на анодный: это момент перехода пунктирной линии в сплошную.

Рис. 5. Вольт-амперные характеристики острийного нанотриода

4. Заключение. Проведен анализ численного решения для напряженности электрического поля и величины тока эмиссии автоэлектронного нанотриода. Показано, что встроенные средства создания адаптивной сетки MATLAB PDE Toolbox обладают недостаточной точностью в области с сильно изменяющимся градиентом решения — области эмиссии. Поэтому предложено на границе эмиссии задавать дополнительные сеточные узлы в матрице декомпозиционной геометрии.

Исследования проведены с использованием оборудования ресурсных центров Научного парка СПбГУ «Нанофотоника» и «Вычислительный центр».