• Регистрация
Sokolik
Sokolik0.00
н/д
  • Написать
  • Подписаться

Моделирование токовых характеристик автоэмиссионного нанотриода

В статье проводится анализ численного решения для напряженности электрического поля и величины тока эмиссии нанотриода. Использован метод конечных элементов на неравномерной сетке с реализацией алгоритмов в Matlab. Обсуждаются сопутствующие вопросы применения пакета прикладных программ Matlab PDE Toolbox, связанные со спецификой моделирования автоэмиссионных систем:

* вычислительная область сложной формы включает границу эмиттера с большой кривизной поверхности и малыми размерами, что приводит к значительному разбросу характерных размеров в одной геометрической конфигурации;

* экспоненциальная зависимость плотности тока от напряженности поля требует повышенной точности при учете граничных условий на эмиттере

1. Введение. В статье рассматривается задача моделирования вольт-амперных характеристик вакуумного нанотриода с острийным эмиттером, физическая и математическая модель которого описана в [1], и там же описана формальная постановка задачи. Ниже представлено решение сопутствующих вопросов в MATLAB PDE Toolbox, связанных со следующими особенностями моделирования автоэмиссионных систем [2]:

1. Вычислительная область сложной формы включает границу эмиттера с большой кривизной поверхности и малыми размерами, что приводит к значительному разбросу характерных размеров в одной геометрической конфигурации.

2. Экспоненциальная зависимость плотности тока от напряженности поля требует повышенной точности при учете граничных условий на эмиттере [3].

2. Метод решения. Решение задачи, из-за сложной геометрииячейки нанотриода, представленной на рис. 1, возможно получить только численно. Приближенное численное решение найдено в двумерной постановке (с учетом осевой симметрии ячейки моделирования) по методу конечных элементов в виде линейной комбинации линейных базисных функций в среде MATLAB.

Рис. 1. Геометрия структуры и силовые линии электрического поля, примыкающие к аноду

Рис. 1. Геометрия структуры и силовые линии электрического поля,примыкающие к аноду.

Решение имеет быстро изменяющийся градиент в области эмиссии (на вершине катода), поэтому конечноэлементная сетка должна сгущаться в окрестности вершины эмиттера (рис. 2), чтобы скорость сходимости решения к точному существенно не снизилась и не произошло увеличения числа неизвестных — размерности конечноэлементной системы.

Рис. 2. Сетка в окрестности эмиттера: а) 30 узлов на эмиттере, б) 120 узлов на эмиттере

Рис. 2. Сетка в окрестности эмиттера: а) 30 узлов на эмиттере, б) 120 узлов на эмиттере.

При адаптивном построении сетки используется индикатор ошибки, включающий норму невязки уравнения и скачки градиента конечноэлементного решения, поскольку они связаны с одной из основных в данной задаче физических величин — напряженностью электрического поля. Этот индикатор реализован в функции pdejmps, которая возвращает значение для сопоставления с параметром точности вычислений (tol, задается пользователем) и, в свою очередь, вызывается в функции adaptmesh, предназначенной для адаптивного решения задачи в пакете прикладных программ PDE Toolbox.

Функция adaptmesh возвращает массив u c двумерным конечноэлементным решением краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа:

−∇(c∇u) + au = f,

здесь входные параметры — скалярные величины c, a, f задаются в соответствии с поставленной задачей (уравнение Лапласа): a = f = 0. В цилиндрических координатах c = εx, в декартовых c = ε, где ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды, x — первая координата двумерного пространства. Чтобы решение, построенное методом конечных элементов, соответствовало указанным граничным условиям задачи, в функцию adaptmesh передаются массив dl, содержащий матрицу декомпозиционной геометрии с информацией о граничных участках вычислительной области, и массив b, включающий матрицу граничных условий.

В ходе работы обнаружено, что алгоритм триангуляции, реализованный в adaptmesh, строит сетку с недостаточной детализацией в области эмиссии: вершина эмиттера аппроксимируется ломанной и всего двумя узлами при tol = 10-5, восемью при tol = 10-6, и двадцать восемью при tol = 10-7 (хотя в остальной части вычислительной области образуется экстремально большое количество узлов). Такая аппроксимация оказывается недостаточно точной для интегрирования плотности тока эмиссии в силу указанной во введении специфики эмиссионных систем.

Дополнительные узлы на эмиссионной границе предложено задавать в матрице декомпозиционной геометрии. На рис. 4 показана разность между значениями тока, вычисленного на соседних итерациях при увеличении количества дополнительных узлов области эмиссии (в результате выбрано 110 для острийного эмиттера). Сходимость численного решения — интегрального тока — при сгущении сетки наблюдается также при уменьшении параметра tol (рис. 3). Анализ данных показывает, что значения 10-5 достаточно для адекватного построения численного решения.

Рис. 3. Сходимость численного решения на вложенных сетках

Рис. 3. Сходимость численного решения на вложенных сетках

Рис. 4. Разность сеточных решений при добавлении дополнительных узлов и сгущении сетки на вершине эмиттера

Рис. 4. Разность сеточных решений при добавлении дополнительных узлов и сгущении сетки на вершине эмиттера

3. Результаты. Результаты моделирования вольт-амперных характеристик представлены на рис. 5, на котором виден момент переключения с сеточного тока на анодный: это момент перехода пунктирной линии в сплошную.

Рис. 5. Вольт-амперные характеристики острийного нанотриода

Рис. 5. Вольт-амперные характеристики острийного нанотриода

4. Заключение. Проведен анализ численного решения для напряженности электрического поля и величины тока эмиссии автоэлектронного нанотриода. Показано, что встроенные средства создания адаптивной сетки MATLAB PDE Toolbox обладают недостаточной точностью в области с сильно изменяющимся градиентом решения — области эмиссии. Поэтому предложено на границе эмиссии задавать дополнительные сеточные узлы в матрице декомпозиционной геометрии.

Исследования проведены с использованием оборудования ресурсных центров Научного парка СПбГУ «Нанофотоника» и «Вычислительный центр».

Теги

    05.12.2019

    Комментарии