• Регистрация
smthrs
smthrs 0.00
н/д

О реализации построения Архимеда в задаче трисекции угла

УДК 514.112.3, 514.112.6

О РЕАЛИЗАЦИИ ПОСТРОЕНИЯ АРХИМЕДА В ЗАДАЧЕ ТРИСЕКЦИИ УГЛА МЕТОДОМ ДВУХ РАВНЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ С ОБЩИМ РАДИУСОМ МЕЖДУ НИМИ

Сергей Леонидович Михайлов

 пенсионер

г. Заречный Пензенской области Российская Федерация

smthrsol@internet.ru

 

Аннотация. Предлагается успешная реализация построения Архимеда в задаче трисекции произвольного угла посредством объединения двух равных окружностей, имеющих общий радиус между ними. Этот новый геометрический объект устраняет неразрешимое ранее препятствие – проблему отметок на линейке - и этим реализует построение Архимеда, ранее считавшееся невозможным.

Ключевые слова: трисекция произвольного угла, построение Архимеда, объединение двух равных окружностей.

Введение. Знаменитая издревле задача трисекции произвольного угла (разделение на три равные части) исключительно простыми циркулем и линейкой без делений или отметок на ней – традиционно относится к числу неразрешимых задач. Но в некоторых частных случаях или с привлечением дополнительных средств – она всё же разрешима. Автор обратился к идее, приписываемой самому Архимеду, однако классически - она успешна лишь при использовании линейки с отметками на ней и не иначе. Вместо этого – строится исключительно циркулем и линейкой без делений объединение двух равных произвольных окружностей с общим радиусом между ними. Именно это и позволяет успешно реализовать построение Архимеда для произвольных углов, но не свыше 135 градусов (реально – нежелательно свыше 120 из-за особенностей построения вручную). Большие углы могут быть произвольно разделены, а результаты – суммированы.

_____________________________

© Михайлов С.Л., 2022.

 

1.     Замечательная идея геометрического построения, предложенная скорее всего самим Архимедом, сводится к построению двух равнобедренных треугольников с общей стороной, которые сами составляют больший треугольник, в котором два несмежных угла равны углу, подлежащему трисекции и являющемуся для них – внешним. Причём соотношение в несмежных углах – 1:2 и решает задачу трисекции угла т.к. меньший угол и будет 1/3 от исходного - Рис.1.

[URL=https://www.turboimagehost.com/p/75830868/2022-03-27_14-47-41_2.png.html][IMG]https://s8d6.turboimg.net/t/75830868_2022-03-27_14-47-41_2.png[/IMG][/URL]

 

Рис.1. К идее построения Архимеда для решения задачи трисекции угла [1] (IV.A.11., Рис.32. с 255). Необходимо получить ΔDEA равнобедренным, как и ΔEAB в составе ΔABD. Тогда для внешнего ^BAC – угол ^BDA – искомый.

 

2.     Однако такое построение невозможно совершить исключительно циркулем и линейкой без делений, как и требует важнейшее условие, поставленное древними для этой, так и нерешённой до сих пор задачи, даже признанной с доказательством П. Ванцеля – неразрешимой вообще.

3.     Однако многие любители – упорно ищут решение задачи трисекции различными способами, порой и самыми экзотическими, и почти всегда без математического доказательства - чему есть множество данных в сети интернет.

4.     Автор сосредоточился именно на доказательных способах возможных решений этой задачи. Одним из подходов является развитие идеи Архимеда – Рис.1.

5.     При этом эффективным оказалось объединение двух равных окружностей некоторого произвольного радиуса R, имеющих общий R – радиус между собой Рис.2. Тогда можно работать с отрезками длиной R и строить различные треугольники с R – сторонами, что и решает неразрешимую проблему отметок на линейке. Это препятствие отныне успешно обходится построением второй равной окружности, поставляющей как отрезки, так и отметки, делающие их длиной R сразу же в одном этом элементе.

[URL=https://www.turboimagehost.com/p/75831260/2022-03-29_10-52-19_2.png.html][IMG]https://s8d5.turboimg.net/t/75831260_2022-03-29_10-52-19_2.png[/IMG][/URL]

 

_____________________________

© Михайлов С.Л., 2022.

Рис.2.К реализации построения Архимеда методом сдвоенных R окружностей.

Угол, подлежащий трисекции: ^BAC=45⁰=^GAE. Результат трисекции – угол ^GHE=15⁰. Рисунок не является эталонным для измерений по нему здесь. Треугольник ΔGHE - в результате – состоит из трёх равнобедренных треугольников: ΔGAE, ΔFAE, ΔAFH – именно так и реализовано построение Архимеда, ранее признававшееся невозможным.

 

6.     Так, если нам дан некоторый произвольный угол ^BAC = β, подлежащий трисекции и имеющий вершину A как центр окружности произвольного радиуса R – квантор ((R – A)), то продолжим луч AC за A на достаточное – 2R – расстояние – прямая CK.

7.     Отложим R отрезок на CK прямой от вершины A – точка F и построим вторую R окружность с центром в F – квантор ((R – F)). Таким образом получим сдвоенные окружности с общим R радиусом, необходимые далее.

8.     Теперь соединим точку B луча AB с центром F в ((R – F)) – отрезок BF и далее продолжим его до пересечения с окружностью ((R – F)) – точка D и прямая BD.

9.     Затем соединяем D с C – прямая DC. Проводим там дугу радиуса R из D и на эту величину сдвигаем исходный угол ^BAC на окружности ((R – A)) от прямой CK – лучи GA и EA соответственно. Таким образом исходный угол занял рабочее положение для дальнейшего.

10.  Соединяем точки G и E с центрами A и F и продолжаем эти отрезки до пересечения с ((R – F)) – точка H и угол ^GHE и ΔGHE состоящий из трёх равнобедренных треугольников: ΔGAE, ΔFAE, ΔAFH – именно так и реализуется искомое построение Архимеда для угла ^BAC=45⁰=^GAE (Рис.2.).

11. Работа этого алгоритма автором проверена для углов 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰, 120⁰.  

_____________________________

© Михайлов С.Л., 2022.

Список литературы

 

1.     М.Я. Выгодский " Справочник по элементарной математике" М., "Наука", 1974, 416с.

Работа выполнялась по собственной инициативе автором лично.

Выводы

1.     Гениальность Архимеда свела всю проблему задачи трисекции угла к проблеме отметок на линейке, используемой в построении (Рис.1.). Все остальные элементы и средства, ведущие к успешному результату – им были предложены ещё в те времена.

2.     Автором – в развитие его замысла – была введена в построение вторая равная окружность (Рис.2.), успешно решившая именно неразрешимую до сих пор проблему отметок на линейке. Вместо «линейки» - предлагается всегда существующий и потому – всегда доступный R – радиус во второй равной окружности.

3.     Это построение строго соответствует требованиям древних постановщиков и не использует никаких дополнительных средств – а только простой циркуль и линейку без делений. Её можно заменить здесь даже лазерным лучом, где делать отметки – невозможно.

4.     Построение второй окружности – никаким дополнительным средством не является, т.к. в постановке этой задачи количество окружностей или дуг – никак не ограничивается, как и способы работы как с циркулем, так и с линейкой без делений на ней.

5.     Кстати, даже построение биссектрисы – уже требует не двух, а трёх окружностей – или их дуг – для деления угла на две равные части.

6.     Ограничение метода для углов в 135⁰ (в ручном построении – лучше не более 120⁰) – несущественно. Любой больший угол – всегда можно представить суммой меньших, а частные результаты – успешно суммировать.

7.     Для решения задачи пяти- и более секции данный метод непосредственно применяться не может.

Файлы

  • 2022-03-29_10-52-19 (2).png
  • 2022-03-27_14-47-41 (2).png

Теги

    22.06.2022

    Комментарии

    • smthrs
      smthrs0.00
      22.06.2022 21:30

      Я сам - автор. Данная тема общепризнанно считается уделом дилетантов и неквалифицированных соискателей, упорно пробивающих свои ошибочные идеи, ибо знаменитая работа П.Ванцеля - поставила точку в задаче трисекции угла - навсегда. Однако - угол в 90 градусов - исключение - достаточно построить правильный треугольник и он сам - есть решение трисекции! Значит - и П.Ванцель - не совсем прав. Вышеизложенное - как я полагаю - из этой же серии. Благодарю заранее за все комментарии. Кстати, см также poisk - ru.ru Н.Лесковский "Размышления о доказательстве П. Ванцеля..." - искать в поисковике сайта

      Ближайшие события