• Регистрация
AnyaKim
AnyaKim+14.57
н/д
  • Написать
  • Подписаться

Оптимизация параметров PID с использованием генетического алгоритма: исследование систем с задержкой

Временные задержки - это компоненты, которые вызывают задержку реакции системы. Они возникают в физических, химических, биологических и экономических системах, а также в процессе измерения и вычислений. В этой работе мы реализуем генетический алгоритм (GA) для определения параметров ПИД-регулятора, чтобы компенсировать задержку в задержке первого порядка плюс временная задержка (FOLPD), и сравниваем результаты с результатами итеративного метода и правила Циглера-Николса.

1. ВВЕДЕНИЕ

В предыдущей работе [1] авторы реализовали и сравнили два метода настройки, итерационный метод и правило Циглера-Николса, чтобы компенсировать эффект задержки в стабильности систем, и показали, что итерационный метод имеет превосходную производительность в проанализированных случаях. FOLPD (задержка первого порядка плюс временная задержка). Но бывают случаи, когда мы не можем использовать эти два метода настройки, то есть динамические объекты, параметры которых постоянно меняются. В таких системах мы должны выполнять перенастройку в режиме реального времени, что не может быть применено методами настройки, потому что мы должны сначала отключить систему, чтобы установить ее параметры.

В этой работе мы расширяем нашу предыдущую работу [1], реализуя генетический алгоритм (GA) в определении параметров ПИД-регулятора для компенсации задержки первого порядка (FOLPD) и сравнивая результаты с результатами итеративного метода и правила Циглера-Николса.

Рисунок 1. Общая структура ПИД-регулятора, в котором установка имеет компонент задержки.

2. ЦЕЛЕВЫЕ ФУНКЦИИ ЗНАЧЕНИЯ ПРИГОДНОСТИ

Самый важный шаг в применении ГА - это выбор целевых функций, которые используются для оценки пригодности каждой хромосомы. В некоторых работах [3] [4] в качестве целевых функций используются показатели производительности. В [3] автор использует среднее квадратичной ошибки (MSE), интеграл времени, умноженный на абсолютную ошибку (ITAE), интеграл абсолютной величины ошибки (IAE) и интеграл квадратичной ошибки (ISE), а в [ 4] авторы используют ISE, IAE и ITAE. Здесь мы используем все четыре указанных выше индекса производительности и интеграл времени, умноженный на квадрат ошибки (ITSE), чтобы минимизировать сигнал ошибки E (s) и сравнивать их, чтобы найти наиболее подходящий. Показатели производительности определены следующим образом [2]:

Где e (t) - сигнал ошибки во временной области. ПИД-регулятор используется для минимизации сигналов об ошибках, или мы можем определить более строго в терминах критериев ошибки: для минимизации значения показателей производительности, упомянутых выше. И поскольку чем меньше значение показателей производительности соответствующих хромосом, тем лучше будут хромосомы, и наоборот, мы определяем пригодность хромосом как:

3. КОМПОНЕНТ ЗАДЕРЖКИ

Задержка в системах управления может быть определена как интервал времени между событием, которое начинается в одной точке, и его выходом в другой точке внутри систем [5]. Задержка также распознается как запаздывание транспортировки, мертвое время и запаздывание по времени. Поскольку задержка всегда снижает стабильность систем с минимальной фазой (систем, которые не имеют полюсов и нулей в правой половине s-плоскости), важно анализировать устойчивость систем с временной задержкой.

Мы можем видеть эффект задержки в системе, который вызывает сдвиг по времени на выходе системы из рисунка выше. Связь между f (t) и f (t-T) может быть записана как:

где u (t) - единичный шаг. Пусть τ = t-T,

полагаем f (t) = 0 для t <0,

Итак, получаем:

Чтобы выполнить процессы настройки с использованием GA, мы аппроксимируем задержку с помощью серии Direct Frequency Response (DFR). На самом деле в Matlab есть встроенная функция временной задержки, приближение ряда Паде, но мы решили использовать ряды DFR, потому что, во-первых, в [1] было показано, что этот ряд имеет наименьшую среднюю ошибку среди остальных семи серий, а второй в то время как функция блока задержки в Control Systems Toolbox (используемая для моделирования итеративного метода и правил настройки Циглера-Николса) использует ряд Паде, компонент задержки, моделируемый функцией tf.m (используемый для построения передаточной функции системы), все еще находится в комплексное представление в частотной области (см. уравнение 10), так что мы должны перевести его в представление полиномиального ряда.

Кроме того, для целей моделирования мы используем ряды DFR второго порядка, чтобы обойти ненужную сложность, потому что по мере того, как порядок рядов становится выше, не только усложняются вычисления, но также вводятся новые полюса и нули, которые делают систему намного более неуловимой. 

4. ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ.

Параметры ПИД-регулятора будут оптимизированы с помощью GA. Здесь мы используем Matlab Genetic Algorithm Toolbox [6] для его моделирования. Первым и наиболее важным шагом является кодирование проблемы в подходящие хромосомы GA и последующее построение популяции. Некоторые работы рекомендуют от 20 до 100 хромосом в одной популяции. Чем больше количество хромосом, тем больше шансов получить оптимальные результаты. Однако, поскольку мы должны учитывать время выполнения, мы используем 80 или 100 хромосом в каждом поколении.

Кодирование выполняется действительным числом, а не двоичным кодированием, потому что последнее отбрасывает значение параметров, если оно превышает его точность. Каждая хромосома состоит из трех параметров, Kd, ​​Kp, Ki, границы значений которых варьируются в зависимости от используемой задержки и целевых функций. После многих экспериментов мы обнаружили, что границы значений должны быть установлены в соответствии с итерационным методом и диапазоном значений правила Циглера-Николса, чтобы гарантировать сходимость (есть много случаев, когда сходимость не может быть достигнута, если мы устанавливаем границы значений параметров произвольно , хотя оптимальные результаты входят в эти границы).

Популяция в каждом поколении представлена ​​матрицей 80 x 4 или 100 x 4, в зависимости от количества хромосом в популяции, каждая строка представляет собой одну хромосому, содержащую значения Kd, Kp, Ki, а последний столбец добавлен для размещения значений приспособленности (F ) соответствующих хромосом.

Мы используем максимальное завершение поколения (maxGenTerm.m) для завершения программы, а не рассматриваем скорость изменения наилучших значений пригодности хромосом, потому что мы хотим контролировать время выполнения. Тем не менее, скорость изменения наилучших значений приспособленности хромосом также рассматривается путем запуска программ до тех пор, пока наилучшее значение приспособленности не перестанет расти, а затем мы устанавливаем эту точку как максимальное поколение. После нескольких экспериментов было показано, что после 300-го поколения видимых улучшений нет, поэтому мы установили 300 в качестве максимального поколения.

Matlab GA Toolbox [6] предоставляет три метода выбора: выбор турнира, выбор колеса рулетки и нормализация геометрического выбора. Выбор турнира требует больше времени на выполнение, в то время как выбор колеса рулетки позволяет выбирать более слабые хромосомы много раз, поэтому мы выбираем Нормализованный геометрический выбор, чтобы выбрать родителей.

После выбора родителей будет произведена операция кроссовера. Мы используем функцию арифметического пересечения (arithXover.m), потому что она специально используется для чисел с плавающей запятой и обеспечивает более одной точки пересечения. И мы устанавливаем четыре точки кроссовера, потому что наша хромосома состоит из трех аллелей, одна точка кроссовера не может вместить три аллеля за одну операцию.

Мутация выполняется путем установки вероятности мутации около 0,1 процента. В общем, операции мутации не следует выполнять слишком часто, потому что процесс поиска превратится в случайный поиск по мере увеличения вероятности мутации.

5. ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

Есть несколько переменных, используемых в качестве стандарта для измерения производительности системы. Как правило, для тестирования систем используется единичный шаговый вход, а выходные сигналы характеризуются некоторыми стандартными показателями производительности: временем установления, процентным перерегулированием, сигналом ошибки, временем нарастания, пиковым временем и запасом устойчивости. Все эти меры определены во временной области.

На рисунке 3 ниже показаны стандартные показатели производительности типичной системы, управляемой пошаговым входом. Процент перерегулирования определяется как точка, в которой отклик системы достигает пика, в данном случае 53%. Существует несколько критериев времени установления, например критерий 1%, критерий 2% и критерий 5%. Здесь мы используем время установления критерия 5%. И время нарастания, как правило, измеряется как время, необходимое системам для достижения от 0 до 100% конечного значения или от 10% до 90% конечного значения. Но для простоты измерения мы используем критерий 0–95%. Пиковое время - это точка, в которой максимальное значение достигнуто (выброс) на 3,2 секунды. А сигнал ошибки - это разница между величиной входного сигнала и конечной величиной отклика системы. В этой работе мы используем G (s) = 1 / s + 1, задержка находится в диапазоне от 0,01 до 1 секунды. А поскольку системы компенсируются ПИД-регулятором, сигналы ошибки всегда равны нулю. В дополнение к пяти стандартным показателям производительности системы, описанным выше, в итерационном методе и правиле Циглера-Николса, мы также вычисляем показатели производительности системы, описываемые уравнением (1). Это сделано потому, что мы хотим сравнить его с результатом GA, который оптимизируется с точки зрения показателей производительности. В идеале мы можем ожидать, что соответствующие показатели производительности GA должны всегда быть лучше, чем два правила настройки.

Для расчета показателей производительности мы аппроксимируем интеграл в уравнении (1) с добавлением (сигма) и временем выборки 0,01 секунды и устанавливаем верхний предел сигмы в 15 секунд для всех проанализированных случаев, независимо от того, насколько быстро он достигает значений сходимости.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И АНАЛИЗ

Рисунок 3. Стандартные показатели эффективности


(а). Сравнение процентного превышения (PO).    (b). Сравнение времени установления (ST).


(с). Сравнение времени нарастания (RT).                  (d). Сравнение пикового времени (PT).

(е). Сравнение запаса устойчивости (SM).


Таблица 1. Средние значения стандартных показателей эффективности.

6.1. Стандартные показатели эффективности.

Процент превышения

В то время как рисунок 3 (а) суммирует изменение значений процентного выброса по отношению к временной задержке, в таблице 1 приведены его средние значения. Правило Циглера-Николса дает наибольшее значение для всех временных задержек, следовательно, его среднее значение также является наибольшим, 38%. Здесь можно увидеть разницу между двумя методами настройки и методами GA: в то время как методы настройки имеют почти одинаковую схему, ее значение уменьшается с увеличением временной задержки, за исключением небольшого значения задержки, когда правило Циглера-Николса дает возрастающие значения, GA методы дают почти постоянное значение, около 10%, если временная задержка не слишком мала, за исключением случая, оптимизированного ITAE, где процентное значение перерегулирования колеблется и уменьшается по мере увеличения временной задержки. Таблица 1 показывает, что GA дает намного лучший процент перерегулирования, чем два других метода настройки, особенно при оптимизации по критерию IAE. Таким образом, можно сделать вывод, что GA можно использовать для оптимизации процентного превышения.

Время установления

Значение времени установления (критерий 5%) по всей временной задержке суммировано на рисунке 3 (b), где можно увидеть, что почти все методы, за исключением GA, оптимизированного IAE и ITAE, подпадают под почти одинаковые прямая с положительным наклоном. Это означает, что по мере увеличения задержки время установления будет время установления. Значение времени установления (критерий 5%) по всей временной задержке суммировано на рисунке 3 (b), где видно, что почти все методы, кроме GA, оптимизированные IAE и ITAE, попадают почти под одну прямую с положительным наклоном. Таким образом, можно сказать, что время установления не оптимизируется методами GA.

Время нарастания

Третья переменная - время нарастания, которое показано на рисунке 3 (c) с использованием логарифмической шкалы по оси y. Мы видим сильную закономерность, в которой все результаты, кроме итеративного метода, имеют почти одинаковое значение на протяжении всей задержки. И неудивительно, если мы получим почти одинаковое среднее значение для всех результатов, от 0,44 секунды до 0,59 секунды, за исключением итеративного метода, 0,912 секунды. Еще один интересный момент: в целом почти во всем диапазоне временного запаздывания кривые сохраняют свой ранжирование неизменным, с порядком от наибольшего значения: Iterative Method, ITAE, IAE, ITSE, ISE, MSE и правило Циглера-Николса.
Из среднего значения (таблица 1) лучший результат дает правило Циглера-Николса, 0,444 секунды, а худший - итерационный метод 0,912 секунды, и все методы GA дают почти одинаковое среднее значение. Но поскольку результаты GA не так уж сильно отличаются по сравнению с правилом Циглера-Николса, нельзя сделать вывод, что GA может оптимизировать время нарастания.

Час пик

Почти такая же картина, что и на графиках времени нарастания, показана на графиках пикового времени на рисунке 3 (d), за исключением итерационного метода, в большом диапазоне задержки, имеет тенденцию к расхождению, где все методы показывают почти одинаковые значения для всего времени. задержка. Но мы должны обратить внимание на GA, оптимизированные ITAE, потому что есть диапазон, значение которого больше, чем у других. За исключением итеративного метода, который составляет 3,43 секунды, все остальные методы дают время пика от 0,57 до 0,83 секунды. Наилучшие значения дают GA, оптимизированные MSE и ISE, 0,576 секунды. Как и время нарастания, в целом, почти во всем диапазоне временного запаздывания кривые сохраняют свое ранжирование неизменным, с порядком от наибольшего значения: Iterative Method, ITAE, IAE, Ziegler-Nichols, ITSE, MSE и ISE. А поскольку методы GA создают графики времени пика, которые лучше, чем итерационный метод, а не метод Циглера-Николса, время пика не может быть оптимизировано методами GA.

Запас стабильности

Последним стандартным показателем эффективности является запас устойчивости (рис. 3 (е)). Запас устойчивости - это максимальное усиление, которое может быть установлено до того, как отклик системы перейдет в синусоидальный цикл. В моделировании это делается путем простого увеличения значения Kc до тех пор, пока не произойдет синусоидальный цикл, а запас устойчивости соответствующей системы составляет Kc при синусоидальном цикле.

Это первый результат, демонстрирующий постоянство во всем диапазоне задержки, когда все кривые попадают почти под одну и ту же линию. Итак, это самые сильные шаблоны, и поскольку чем сильнее шаблон, тем меньше способность методов GA оптимизировать соответствующие показатели производительности, мы не можем использовать методы GA для оптимизации запаса стабильности. И наоборот, методы GA могут привести к менее стабильным системам.

Как и время нарастания и время пика, в целом, почти во всем диапазоне временной задержки кривые сохраняют свой ранжирование неизменным, с порядком от наибольшего значения: Итерационный метод, ITAE, Циглера-Николса, IAE, ITSE, ISE и MSE. Но в отличие от времени установления, времени нарастания и пикового времени, значения запаса устойчивости уменьшаются с увеличением временной задержки.

6.2. Показатели производительности

Здесь мы различаем термины стандартные показатели производительности и показатели производительности, где стандартные показатели производительности уже обсуждались выше, а показатели производительности: MSE, IAE, ISE, ITAE и ITSE. В таблице 2 ниже приведены показатели производительности по результатам моделирования. Как и ожидалось, средние значения показателей производительности GA всегда меньше, чем соответствующие им Циглера-Николса и Итерационного метода. Более того, правило Циглера-Николса дает меньшие средние значения показателей производительности, чем итерационный метод для всего диапазона значений временной задержки.

Хотя можно видеть, что MSE имеет наименьшие средние значения для всех трех методов, а IAE имеет наибольшие средние значения для методов Циглера-Николса и GA и занимает второе место в итеративном методе, это не означает, что нужно использовать MSE и Следует избегать использования IAE в качестве целевой функции в GA, потому что эти показатели производительности, как показано уравнениями (1), имеют разные определения и не могут быть сопоставлены. Более того, как показано в таблице 1, метод GA, оптимизированный MSE, не дает лучших результатов для всех проанализированных стандартных показателей производительности, только для пикового времени. Чтобы получить более полное представление о сравнении этих методов, мы построим график изменения значений каждого показателя производительности в зависимости от временной задержки ниже.

Рисунок 4. Показатели производительности


              (а). Сравнение значений MSE.                         (b). Сравнение значений IAE.


              (с). Сравнение значений ISE.                          (d). Сравнение значений ITAE.

(е). Сравнение значений ITSE

Все пять рисунков выше уверенно показывают, что метод GA дает наименьшие значения из всех проанализированных показателей производительности для всего диапазона выдержек времени. Таким образом, не только для средних значений, но и для всех измеренных значений, метод GA дает наименьшие соответствующие показатели производительности. Однако различия между методом GA и результатами двух методов настройки, за исключением целевой функции ITAE, где различия увеличиваются с увеличением временной задержки, недостаточно впечатляют, чтобы прийти к выводу, что метод GA намного лучше двух других методов в минимизации критериев ошибки. . Кроме того, мы должны учитывать проблему сходимости, возникающую при применении ГА, эксперименты по которым в данной работе не всегда приводят к желаемым решениям. Несмотря на то, что мы устанавливаем границы значений на основе предыдущих результатов двух методов настройки, это только увеличивает вероятность того, что моделирование приведет к результатам сходимости (из 45 случаев, в двух случаях не удалось достичь результатов сходимости).

7. ВЫВОДЫ

1. Генетический алгоритм, примененный в ПИД-регуляторе, улучшает переходную характеристику FOLPD по сравнению с двумя методами настройки. Об этом свидетельствует снижение среднего процента перерегулирования, превышающее 70% и 30% по отношению к правилу Циглера-Николса и итерационному методу, при сохранении времени нарастания и пикового значения практически неизменными и улучшении времени установления. Однако есть выгода в виде запаса устойчивости, который немного уменьшается по сравнению с двумя методами настройки.
2. Средние значения показателей производительности GA, как и ожидалось, всегда меньше, чем соответствующие им Циглера-Николса и Итерационного метода. Более того, правило Циглера-Николса дает меньшие средние значения показателей производительности, чем итерационный метод для всего диапазона значений временной задержки. Однако различия между методом GA и результатами двух методов настройки, за исключением целевой функции ITAE, где различия увеличиваются с увеличением временной задержки, недостаточно впечатляют, чтобы прийти к выводу, что метод GA намного лучше двух других методов в минимизации критериев ошибки. . 3. При применении ГА возникают проблемы конвергенции, которые в данной работе не всегда приводят к желаемым решениям в ходе экспериментов. Несмотря на то, что мы устанавливаем границы значений на основе предыдущих результатов двух методов настройки, это только увеличивает вероятность того, что моделирование приведет к сходимости результатов. Более того, установка границ значений на основе результатов методов настройки исключает возможность найти оптимальные результаты из других диапазонов значений.

Список использованной литературы:

1. Andri Mirzal, Shinichiro Yoshii, Masashi Furukawa, Approximation and Compensation of
Delay in Analog Control Systems, 精密工学会北海度支部学術講演会, Sapporo, Japan, 2006.
2. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, Modern Control Systems 10th Edition, Pearson Prentice Hall,
2005.
3. Ian Griffin, On-line PID Controller Tuning using Genetic Algorithms, Dublin City University,
2003.
4. T. O’Mahony & CJ. Downing (Cork Institute of Technology, Ireland), Klaudiusz Fatla
(Wroclaw University of Technology, Poland), Genetic Algorithms for PID Parameter
Optimization, Minimizing Error Criteria.
5. O’ Dwyer, A., The Estimation and Compensation of Processes with Time Delays, Ph.D. Thesis,
School of Electronic Engineering, Dublin City University, 1996.
6. C. R. Houck, J. Joines. and M.Kay. A Genetic Algorithm for Function Optimization: A Matlab
Implementation. ACM Transactions on Mathematical Software, 1996.

авторы: Andri Mirzal, Shinichiro Yoshii, Masashi Furukawa 

Публикация: Декабрь 2006

Перевод: Октябрь 2020

Файлы

  • PID_Parameters_Optimization_by_Using_Genetic_Algor.pdf

Комментарии