Основы электротехники 3 - Расчет режима цепи

Этим постом мы продолжаем серию публикаций, посвященных основам электротехники. В нем мы поговорим о расчёте режима электрической цепи. Начнем с того, что вообще значит расчёт цепи. Это определение тока на каждом её участке и потенциала в каждой её точке. Но участков и точек бесконечно много, поэтому вводят понятие узла и ветвей. Узел – это точка, где соединяются элементы. Ветвь – это участок между двумя узлами. Зачем это нужно? 

Начнем с узлов. Поскольку проводники у нас идеальные, сопротивление в них нет, это значит, что при перемещении заряда по проводнику он не совершает работы. Иначе говоря, потенциал всех точек проводника одинаковый. Если же несколько проводников соединяются вместе, как это и происходит в узле, то их потенциалы также выравниваются, то есть на схеме у нас столько разных потенциалов сколько узлов. 

Теперь ветви. На всей длине ветви ток одинаковый. Электронам просто некуда деваться из неё, поэтому и производная dq по dt остается постоянным. Значит в нашей цепи будет столько разных токов, сколько ветвей.

Из того, что электронам некуда деваться из ветви следует первое практическое правило расчета цепи, первое правило Кирхгофа. Согласно этому правилу, сумма токов узла равна нулю, то есть сколько тока в него втекает, столько же из него и вытекает. В самом деле если помнить, что ток – это движение электронов, правило становится очевидно – сколько электронов пришло, столько и ушло.

Всего правил Кирхгофа два, ко второму мы еще вернемся, но пока посмотрим, что нам дает первое. Весьма полезное и постоянно встречающиеся на практике действие с цепями это упрощение. Возьмём, к примеру, два резистора и соединим их выводы. Такое соединение называется параллельным. Для каждого из них справедлив закон Ома. Подключены они к одним и тем же узлам, а значит напряжение на них одинаковое. По правилу Кирхгофа, общий ток равен сумме отдельных токов.

Тогда можно записать, что суммарный ток равен напряжению, деленному на некоторое эквивалентное сопротивление Rx. Отсюда после несложных преобразований можно получить выражение  для параллельных резисторов. Что любопытно, в этом случае эквивалентное сопротивление всегда будет меньше меньшего. Впрочем, как мы с вами теперь понимаем это логично, для тока появляется обходной путь, а значит пройти ему проще.

Попробуем теперь смоделировать то, о чём мы сейчас говорили. Для этого воспользуемся библиотекой Simscape пакета MATLAB/Simulink, но сначала, конечно, скажем несколько слов о том, что это такое. Начинается всё с MATLAB. MATLAB – это с одной стороны математическое ядро всех остальных продуктов, а с другой – полноценный язык программирования. Работа в MATLABе – это привычный программистом исходный код. Simulink – это надстройка над MATLABом, визуальный язык программирования. В роли исходного кода выступают диаграммы, показывающие движение и преобразование потоков данных. Simscape – это надстройка над Simulink. Здесь уже составитель модели оперирует не данными, а объектами и их взаимодействиями. Simscape основан на тех уравнениях, которые мы с вами изучали в этой публикации и в предыдущих тоже, поэтому можно считать его виртуальным лабораторным стендом.

Соберём в нём ту схему, на примере которой мы рассуждали до этого, и измерим в ней токи какого-нибудь узла, например верхнего.

Как видим, первое правило Кирхгофа полностью выполняется, физику обмануть не удалось. С первым правилом Кирхгофа разобрались, теперь второе.

Второе правило Кирхгофа. Звучит оно так: алгебраическая сумма напряжений всех элементов, входящих в любой контур цепи равна нулю. Контур – это любой замкнутый путь на схеме, например вот такой:

Для понимания этого правила вспомним, что напряжение – это разность потенциалов и раскроем сумму. Нетрудно видеть, что из-за того, что контур замкнут, сумма всех этих разностей равна нулю. Иначе говоря заряд, прошедший по замкнутому контуру, не изменяет своего потенциала. Значит разность потенциалов, то есть напряжение, между концами контура равна нулю. Это и есть второе правило Кирхгофа. Из него почти напрямую следует упрощение цепи с последовательным элементами. 

Возьмем опять 2 резистора, но расположим их друг за другом. Это и называется последовательным соединением. Можно заметить, что это не что иное, как простая ветвь схемы, значит ток через оба резистора течет одинаковый. Теперь приложим к ней напряжение, для этого добавим источник ЭДС и замкнем цепь. По второму правилу Кирхгофа сумма напряжений на резисторах равна ЭДС источника. Выразим напряжение по закону Ома и вынесем за скобки ток. Теперь видно, что два наших резистора можно заменить на один эквивалентный, сопротивление которого равно сумме исходных.

Посмотрим теперь на модели. Как выполняется второе правило Кирхгофа? Для этого нам понадобится вольтметры. Итак, собираем схему.

Видим, что сумма напряжений вдоль произвольного контура равна нулю. Физику обмануть снова не удалось.

На правилах Кирхгофа основаны многие методы расчёта электрических цепей. Мы не будем говорить обо всех, их очень много. Разберём только один, пригодный для большинства практических задач – это метод контурных токов. Суть его довольно проста. Рассмотрим на примере нашей схемы.

Начнём с обозначения того, что мы будем искать. Зададим произвольным образом направление токов, а затем напряжение. Теперь выберем на схеме контуры, у нас их будет 3, выбирать можно произвольно, главное, чтобы были охвачены все элементы. Кстати, сразу же принимаем направление обхода каждого контура, и это тоже произвольно. 

А вот теперь основной элемент метода – собственно контурные токи. Это токи ветвей, входящих только в один контур. Суть метода в том, что вот эти самые контурные токи найти гораздо проще, чем реальные. Потом перейти от контурных уже к реальным. Соотношение между этими токами простое: если для ветвей, входящих только в один контур, реальный ток равен контурному; если же элемент входит в несколько контуров, тогда ток через него равен сумме контурных. Здесь важно не ошибиться в знаке. Если направление контурного тока совпадает с принятым направлением напряжения, то плюс, иначе – минус. Кстати, совершенно нормально, если какой-то ток получится отрицательным. Это всего лишь означает, что он течёт в противоположную сторону. Дальше для каждого контура запишем второе правило Кирхгофа. Получим систему уравнений.

Решив её, найдём контурные токи, а затем и реальные. Их можно умножить на сопротивление элементов и получить напряжение. Всё, цепь рассчитана. 

Метод контурных токов хорош ещё и тем, что легко формализуется, что позволяет автоматизировать расчёт. Вот пример в MATLAB, который его реализует. Здесь мы только выбираем контура, это единственный элемент творчества. Дальше расчет идет по заранее написанной программе. Обращаю ваше внимание на решение системы уравнений. Поскольку она записана в матричной форме, её решение занимает в MATLAB всего лишь одну строчку.

Вообще говоря, если бы мы расчёты вели не на модели, а на бумажке, то категорически необходимо сделать ещё один расчёт, поверочный. Но ведь мы никак не можем быть уверены, что нигде не сделали ошибку, например вычислительную. 

Для проверки есть простой, но абсолютно надежный метод баланса мощностей. Он основан на законе сохранения энергии. Всё очень просто. Сумма мощностей всех приёмников должна быть в точности равна сумме мощностей всех источников. Иначе у нас получится просто вечный двигатель. Для вычисления мощностей, перемножаем для каждого элемента ток на напряжение, получаем его мощность. При этом кстати важно следить за знаками. Дело в том, что мы выбирали контура и направление обхода совершенно произвольно, тогда ведь мы ещё ничего не знали о цепи, вот и выбирали в общем-то наугад. Фактические токи могут быть направлены противоположно тому, что мы выбрали. Это приводит к тому, что ток и напряжение на элементе могут быть направлены в разные стороны. Тогда при расчете баланса мощностей говорят, что у элемента отрицательная мощность.

Подведём итог. В этой публикации мы с вами посмотрели все основные методы расчёта электрической цепи:

• упрощения правильных последних элементов,
• правило Кирхгофа,
• метод контурных токов,
• поверочный расчет (метод баланса мощностей).

Вместе с теми законами, которые мы рассмотрели раньше, эти методы позволяют решать подавляющее большинство возникающих на практике задач по расчёту цепей. Причем любой сложности. Но возникает закономерный вопрос: зачем все эти методы нужны, если можно просто взять и смоделировать?

Ответ простой: для прикидки и оценки. Иначе говоря, чтобы понять похожи результаты моделирования на правду или нет. Смоделировать ведь можно неправильно, например вот такая модель.

Запускаем и убеждаемся, что источники дают меньше, чем берут потребители. Как говорится, заграница заинтересуется вашей разработкой. Получили вечный двигатель. Но, к сожалению, физику не обманешь. Ищем ошибку и выясняем, что при составлении модели неправильно подключили амперметр, просто перевернули. Нобелевской премии не сложилось.

Ценность моделирования в удобстве, скорости, точности расчетов, наглядности, возможности работать с моделью дальше, отсутствие рутинной работы, но, к сожалению, думать за нас модель не может. Поэтому нужно хотя бы в общим чертах уметь рассчитывать все самому.  На этом мы завершаем рассказ о методах расчёта цепей постоянного тока. На самом деле их конечно больше. У перечисленных способов есть более сложные варианты: закон Ома для полной цепи, правило Кирхгофа в матричной форме, но все они основываются на том, что мы сейчас с вами рассмотрели.

В следующей публикации мы расскажем о переменном токе и о новых элементах цепи: ёмкости и индуктивности.