Переходные процессы в электрических машинах. Лабораторный практикум

В сборнике приведены описания лабораторных работ по исследованию переходных процессов в асинхронных двигателях, в трансформаторах при включении на холостом ходу и при внезапном коротком замыкании, в двигателе постоянного тока при пуске.

Практикум содержит описание программного комплекса MATLAB & Simulink и четырёх лабораторных работ. В начале каждой лабораторной работы приведены дифференциальные уравнения для построения структурных схем в той форме записи, которая обеспечивает устойчивую работу модели.

Практикум ориентирован на студентов бакалавриата, обучающихся по направлению «Электроэнергетика и электротехника».

Выполнение работ позволяет студентам закрепить теоретические знания по курсу «Переходные процессы в электрических машинах», глубже понять сущность происходящих электромеханических переходных процессов и освоить современный математический программный комплекс, облегчающий моделирование динамических режимов электромеханических преобразователей.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В АСИНХРОННОМ ДВИГАТЕЛЕ

 

Цель работы — моделирование на ПК дифференциальных уравнений (ДУ) асинхронного двигателя (АД) с короткозамкнутым ротором и исследование его основных режимов работы.

 

Введение

Уравнения электрического равновесия, описывающие электромагнитные переходные процессы в АД с короткозамкнутым ротором, известны в различных формах записи. Выбор системы координат, вращающихся с частотой ω_k, зависит от рассматриваемой задачи: при несимметрии статора удобны координаты α,β статора, т.е. ω_k = 0; при несимметрии ротора ‑ координаты d,q ротора, т.е. ω_k = ω_r. Здесь ω_r = ω₁(1 − s) — электрическая угловая частота вращения ротора, ω₁ = 2πf₁, - электрическая угловая частота вращения поля статора, f₁ — частота сети и s – скольжение ротора. При симметричном питании целесообразно применять координаты u,v синхронных осей, т.е. ω_k = ω₁, так как в этих осях неподвижны векторы напряжений и токов в установившемся режиме, следовательно, быстрее достигается сходимость решения. Записать ДУ для АД и выполнить моделирование на ПК можно для любой из приведённых систем координат.

При общепринятых в теории электрических машин допущениях, ДУ асинхронного двигателя в системе координат u,v, вращающихся с произвольной скоростью ω_k имеют вид [4]:

где

—                  напряжения питания;

—                  потокосцепления обмоток статора и ротора;

L_s=L_?s+M = X_?s /ω₁ + X_M /ω₁ и L_r=L_?r+M = X_?r /ω₁ + X_M /ω₁ — индуктивности статора и ротора. R_s и X_?s — активное и индуктивное сопротив­ления рассеяния обмотки статора; R_r и Х_?r — активное и индуктивное сопротивления рассеяния обмотки ротора, приведенные к числу витков и фаз обмотки статора; М — взаимная индуктивность; , U_m и U_н — максимальное и номинальное фазовые напряжения; α₀ — начальная фаза включения напряжения; i_su, i_sv и i_ru, i_rv — токи в обмотке статора и приве­дённые токи в обмотке ротора.

Если ротор вращается с переменной угловой скоростью, то его движение описывается уравнением

 

где J — суммарный момент инерции ротора и нагрузочного механизма; р ‑ число пар полюсов; М_с — момент сопротивления; М_э — электромагнитный момент

где m — число фаз АД.

Для построения модели наиболее удобны уравнения, в которых искомыми переменными являются потокосцепления. В этом случае модель требует минимального числа решающих блоков и получается устойчивой. Чтобы исключить токи, выразим их через потокосцепления, используя соотношения

Системы уравнений (3.1) — (3.4) справедливы также для координат в осях α,β и d,q. При записи (3.1) — (3.6) в других координатных осях надо заменить индексы u,v соответственно на α,β или d,q. Уравнение связи, например, между токами в осях α,β и u,v имеет вид i_α = i_u cos(ω₁t) − i_v sin(ω₁t) и i_β = i_u sin(ω₁t) + i_vcos(ω₁t).

Система ДУ, преобразованная к виду, удобному для моделирования АД в координатах осей α,β (ω_k = 0), на основании (3.1) − (3.6)

где коэффициенты при переменных равны:

a₁ = R_sL_r /d; a₂ = R_sM /d; a₃ = R_rM /d; a₄ = R_rL_s /d; a₅ = p /J; a₆ = 3pM /(2d); d = L_sL_r − M².

Гармонические функции в (3.7), определяющие напряжения питания, равны U_sα = U_mcos(ω₁t) и U_sβ = U_msin(ω₁t).

В преобразованной системе токи в явном виде отсутствуют, однако при необходимости они могут быть определены из (3.6). Токи статора и ротора в осях α,β на основании (3.6) можно записать с помощью коэффициентов при переменных как

где a₇ = L_r /d, a₈ = M /d, a₉ = L_s /d.

Максимально возможное (ударное) значение фазового тока статора при пуске в режиме КЗ (в начальный момент пуска, когда ротор неподвижен, т.е. ω_r = 0, и можно пренебречь намагничивающим током) согласно схеме замещения АД

где   — токовый ударный коэффициент;

X_k = ω₁(L_?s+L_?r), Ом, R_k = R_s+R_r, Ом и , Ом ‑ соответственно индуктивное, активное и полное сопротивления КЗ; τ_k = L_k/R_k , с и L_k = X_k/ω₁ , Гн — постоянная времени и индуктивность КЗ; U_н и , В  — номинальное действующее и амплитудное фазные напряжения; I_skm ‑ установившийся максимальный ток КЗ, А.

Коэффициент кратности ударного тока определяется отношением ударного тока к амплитуде тока в установившемся режиме

где I_1н и I_1m — номинальный и амплитудный токи статора, А (при напряжении U_н).

Ударный электромагнитный момент при пуске АД, Н·м

где cosφ_k = R_k/Z_k; М_н = pP_2Η/(ω₁(1−s_н)) — номинальный момент, Н·м; Р_2н — полезная номинальная мощность, Вт; K_уд.М — коэффициент ударного момента.

Время пуска АД без нагрузки, с

гдеK_M = M_m/M_н — кратность максимального момента; M_m = M_эm — максимальный электромагнитный момент на статической характеристике при критическом скольжении s = s_кр; β = 2R_s /C₁R_r; C₁ = 1+L_?s /M.

В режиме КЗ по окончании переходного процесса определяются коэффициенты кратности пускового тока

и момента

где и М_п — установившиеся на квазистатической характеристике при s = 1 значения пускового тока статора и пускового момента.

В АД средней мощности ударные значения токов и моментов практически не зависят от момента сопротивления. С увеличением момента нагрузки возрастает лишь время пуска. Величины ударных токов и моментов в режиме КЗ зависят от индуктивных и активных сопротивлений, и чем они больше, тем меньше ударные ток и момент. Последний определяется токами переходного режима и вследствие этого отличается от начального пускового момента найденного по статической характеристике.

При набросе нагрузки пиковые значения моментов и токов зависят от величины изменения момента сопротивления, но не превышают значений ударных моментов и токов при пуске.

 

3.1. Составление структурной блок-схемы

Структурная схема модели АД в координатах α,β (u,ν) (рис. 3.1) составлена согласно системе ДУ (3.7) и (3.8). Она содержит 5 блоков интегрирования (Integrator (In)), 9 блоков суммирования (Sum), 6 блоков умножения (Product (Prod)), 14 блоков усиления (Gain (G)), 2 блока констант (Constant (Const)). В схему модели также входят блоки: генераторы синусоидальных колебаний (Sine wave (Sw)), генератор ступенчатого сигнала (Step) и блоки регистрации результатов расчета — осциллографы (Scope) и графопостроитель (XY Graf) с двумя входами, обеспечивающий построение графика зависимости одной моделируемой величины (один вход) от другой (второй вход). Мультиплексор (Mux) служит для объединения двух входных сигналов в один выходной, что позволяет воспроизвести на экра­не осциллографа (Scope) две функции.

Первые два уравнения (3.7) содержат гармонические функции напряжения питания U_sα = U_m cos[(ω₁ − ω_k) t + α₀] и U_sβ = U_m sin[(ω₁ − ω_k) t + α₀], которые для α₀ = 0 формируются с помощью двух генераторов синусоидальных колебаний (Sw1 и Sw2). Для моделирования напряжения U_sα необходимо задать следующие параметры блока Sw1: амплитуду напряжения U_m, частоту сети ω₁=2πf₁ и фазу напряжения α₀ = 0. Для моделирования напряжения U_sβ необходимо задать следующие параметры блока Sw2: амплитуду напряжения U_m, частоту сети ω₁ = 2πf₁ и фазу напряжения α₀ = π/2.

Для получения потокосцеплений Ψ_sα и Ψ_sβ, согласно первым двум уравнениям системы (3.7) используются две группы блоков, каждая из которых состоит из сумматора, двух усилителей и интегратора.

Третье и четвёртое уравнения системы (3.7) реализуются так же с помощью группы блоков: усилителей G5 ‑ G8,сумматоров Sum3 ‑ Sum4 и интеграторов In3 ‑ In4, на выходе последних формируются потокосцепления соответственно Ψ_rα, и Ψ_rβ.

Для моделирования частоты вращения ротора ω_r на основании пятого уравнения системы (3.7) в блок-схеме используются блоки: Step для формирования момента М_с, воспроизводящего режим нагрузки АД; сумматор Sum7, на вход которого поступают моменты М_э и М_с; усилитель G9 и интегратор In5. Осциллографы Scope1 и Scope2 используются для наблюдения на экране временных зависимостей М_э, М_с и ω_r .

Для получения электромагнитного момента, согласно шестому уравнению, используются два блока умножения: Prod5 и Prod6, формирующие произведения соответственно (Ψ_sα × Ψ_rβ) и (Ψ_sβ × Ψ_rα). Эти произведения поступают на входы сумматора Sum6, а затем сумма этих произведений вводится в усилитель G10, на выходе этого усилителя формируется М_э.

Для определения токов статора i_sα (i_su) и ротора i_rα (i_ru) по оси α (u) блок-схема дополнена усилителями G11 ‑ G14, а также сумматорами Sum8, Sum9, реализующими систему уравнений (3.8). Осциллографы Scope3 и Scope4 используются для регистрации этих токов.

При решении уравнений (3.7) и (3.8) в осях α,β, имеющимся в структурной блок-схеме блокам констант Const1 и Const2 задают значения параметров k = ω_k = 0. В этом случае на выходе сумматора Sum5 получают ω_r Блоки умножения Prod1 ‑ Prod 4 служат для получения на их выходах произведений Ψ_sα·ω_k, Ψ_sβ·ω_k, Ψ_rα·(ω_k − ω_r), и Ψ_rβ ·( ω_k + ω_r).

Для блоков генераторов Sw1 и Sw2 (синусоидальных колебаний) и Step (ступенчатого сигнала) задаются параметры, указанные в табл.3.4.

Если моделируется процесс в осях u,v, то параметрам блоков Const1 и Const2 устанавливают значения k = ω_k = 2πf₁; при этом на выходе сумматора Sum5 формируется разность (ω_k − ω_r). Кроме этого, необходимо установить для генераторов синусоидальных колебаний Sw1 и Sw2 значения частоты ω = ω₁ – ω_k = 0.

 

3.2. Расчет коэффициентов решающих блоков

В работе исследуется АД типа А42-6, имеющий следующие техниче­ские данные, являющиеся исходными данными для моделирования пере­ходного процесса: U_н = 220/380 В, Р_2н = 1,7 кВт; I_1н = 7,5/4,3 А; М_н = 17,46 Н·м; cosφ_н = 0,75; η_н = 79,5%; s_н = 0,07; s_кр = 0,2; К_I = 4,5; К_п = 1,4; К_М = 1,8; 2р = 6; f = 50 Гц; m = 3; J = 0,0148 кГ·м²; параметры схемы замещения: R_s = 3,57 Ом; R_r = 3,8 Ом; Х_м = 82,52 Ом; X_?s = 4,99 Ом; Х_?r = 8,28 Ом.

Расчеты выполняется для М_с = 0, М_с = М_н и М_с ~1,5 М_н, ω₁ = 314 1/с, ω_k = 0 и t = t_п (3.12).

На основании технических данных рассчитываются сначала параметры, указанные в табл. 3.1, где U_н = 220 В и I_1н = 4,3 А — фазные значения напряжения и тока, а затем ‑ согласно (3.7) и (3.8) коэффициенты решающих блоков а₁ ‑ а₉ (см. табл. 3.2).

Таблица 3.1

 

Таблица 3.2

а1 (3.7)	а2 (3.7)	а3 (3.7)	а4 (3.7)	а5 (3.7)	а6 (3.7)	а7 (3.8)	а8 (3.8)	а9 (3.8)

 

Методические указания

1. При исследовании пуска все блоки интегрирования имеют нулевые начальные условия (установленные по умолчанию).

2. Процесс пуска двигателя сопровождается значительными бросками тока и электромагнитного момента. Ударные токи и моменты наблюдаются в течение первого полупериода. По окончании процесса пуска без нагрузки (если рассматривать холостой ход как идеальный) электромагнитный момент становится равным нулю, а частота вращения ротора достигает синхронной. Соблюдение этих условий свидетельствует о правильности модели, созданной на персональном компьютере.

3. Координаты экстремумов тока или момента сначала определяют с помощью соответствующих кнопок блока Scope (Zoom, Zoom X-axis или Zoom Y-axis) а затем, нажав левую клавишу мыши, с помощью динамиче­ской рамки или отрезка указывают область графика зависимостей i_sα (i_su), М_э для увеличения изображения. В координатах α,β ток в фазе a статора трёхфазной машины равен мгновенному току в фазе а двухфазной машины. Время пуска t_п, за которое ротор из неподвижного состояния достигнет установившейся частоты вращения, определяется по графику зависимости ω_r(t).

4. При исследовании пуска асинхронного двигателя с моментом нагрузки М_с, последний задается с помощью параметров блока Step: Initial value = 0, Final value = M_c и Step time = 0.

5. Наброс нагрузки (НН) также осуществляется с помощью блока Step. Параметры блока Step: Initial value = 0, Final value = M_c и Step time = t, где ориентировочно можно принять время t = 2t_n. Как и пуск двигателя, НН сопровождается бросками токов и электромагнитного момента. При моделировании тока статора i_s и момента М_э, определяются их пиковые значения. Время переходного режима отсчитывается от момента наброса нагрузки до момента достижения ротором установившейся частоты вращения.

6. Для нахождения максимального электромагнитного момента М_э рекомендуется выполнить наброс момента М_с, изменяя параметр Final value = М_с блока Step, сначала с большим шагом его приращения, а затем, при подходе к максимальному моменту, всё с меньшим шагом. Определяются два момента, отличающиеся на величину наименьшего шага приращения. При меньшем значении момента двигатель работает устойчиво, а при большем ‑ частота вращения уменьшается до нуля. Первое, меньшее значение М_с и определяет величину М_э m. Перегрузочная способность АД определяется по отношению максимального момента к номинальному как K_м = М_э m/М_н.

7. В режиме КЗ ротор двигателя неподвижен. В этом режиме ω_r = 0 и параметр усилителя G9 обнуляется. По окончании переходного процесса определяются установившиеся значения тока статора I_1п и момента М_п, по которым рассчитываются коэффициенты кратности пускового тока K_I по (3.13) и кратности момента K_п по (3.14).

8. Выполнение лабораторной работы требует сравнения параметров, полученных в результате моделирования (модел.), с их расчётными и ката­ложными данными. Расчётные параметры предварительно определяются согласно табл. 3.3. Возможные отличия в сравнительных данных объяснятся тем, что в настоящей работе моделируется идеализированная машина, в которой не учитываются потери в стальном магнитопроводе, механические потери и высшие гармоники.

Таблица 3.3

Значения параметров функциональных блоков для схемы (рис. 3.1) в осях α,β приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

 

3.4. Программа и порядок выполнения работы

1. Подготовить табл. 3.1 ‑ 3.9 с внесёнными результатами расчётов указанных в них параметров для исследуемого асинхронного двигателя.

2. Нарисовать схему замещения АД и структурную блок-схему (рис. 3.1) с нанесёнными расчётными значениями коэффициентов решающих блоков.

3. Составить блок-схему (рис. 3.1) с помощью SIMULINK.

4. Для моделирования режима пуска в осях α, β, т.е. при ω_k = 0, значения параметров решающих блоков задать, используя табл. 3.2 и табл. 3.4.

5. Задать для режима пуска АД без нагрузки (XX) параметры блока Step: Initial value = 0, Final value = M_c = 0 и Step time = 0.

6. Для моделирования процесса пуска задать в диалоговом окне Simulation интервал моделирования (Simulation Time), указав начальное (Start time) и конечное (Stop time) значения времени: Start time = 0, Stop time = 0,5; в качестве метода интегрирования выбрать метод ode45-метод Рунге-Кутты 4-го и 5-го порядков.

7. Исследовать режим пуска АД без нагрузки (XX). Выполнить моделирование токов i_sα = f(t), i_rα = f(t), момента М_э = f(t) и частоты ω_r = f(t). Определить по данным моделирования значения: ударного тока статора i_sa уд; ударного момента М_э уд; максимальной частоты ω_rm. В установившемся процессе определить значения: максимального тока I_sαm; частоты ω_r; время пуска t_п, а также коэффициенты K_уд = i_sα уд/I_sαm  и K_уд.M = М_{э уд}/М_н. Данные моделирования вписать в табл. 3.5 и 3.6.

Таблица 3.5

Таблица 3.6

8. Сохранить графики i_sα=f(t), i_rα=f(t), M_э=f(t) и ω_r=f(t).

9. Выполнить моделирование переходной характеристики М_э=f(ω_r) (фазовый портрет) с помощью блока XY Graf задав параметры: Xmin = ‒10, Xmax = 350, Ymin = ‒10, Ymax = 60.

10. Сохранить график М_э = f(ω_r).

11. Исследовать режим пуска под нагрузкой для номинального режима (HP). Задать параметры блока Step: Initial value = 0, Final value = M_c = М_н и Step time = 0. Выполнить моделирование i_sα = f(t), i_rα = f(t), М_э = f(t) и ω_r = f(t). Определить по данным моделирования значения i_sα уд, М_э уд, ω_rm и в установившемся процессе для М_э = М_н − токи I_sαm = I_1m, , частоту ω_r = ω_rн, а также время пуска t_п, коэффициенты К_уд = i_sα уд /I_1m и К_уд м = М_э.уд /М_н. Выполнить пп. 8, 9 и 10. Данные моделирования внести в табл. 3.5 и 3.6.

12. Исследовать режим наброса нагрузки (НН). Задать параметры блока Step: сначала: Initial value = 0, Final value = M_c = 44,6 Н·м и Step time = 0,25 с; а затем Initial value = 0, Final value = M_c = М_н и Step time = t_п = 0,2 с. Выполнить моделирование и сохранить графики i_sα = f(t), М_э = f(t), ω_r = f(t) и М_с = f(t).

13. Выполнить п. 12, задав параметры блока Step: Initial value = 0, Final value = M_c и Step time = 0,25 с, где подобранный момент сопротивления М_с = М_эm = М_m — максимально возможный момент, при котором двигатель еще устойчиво работает. При выполнении этого пункта варьировать М_с в пределах М_н < М_с <44,6 Н·м. Определить по данным моделирования значения момента М_m, перегрузочной способности K_М = М_m/М_н и частоты ω_r = ω_r кр для М_с = М_m. Данные моделирования внести в табл. 3.7.

Таблица 3.7

Режим	Оси	Mm, Н·м		ωrкр, 1/с		KМ, о.е.
		(3.12)	(модел.)	ω1(1−sкр)	(модел.)	1,8	(модел.)
НН	α,β

14. Исследовать режим КЗ, в этом режиме ω_r = 0. Задать параметр (коэффициент усиления) блока G9 а₅ = 0. Выполнить моделирование и сохранить графики i_sα = f(t) и М_э = f(t). Определить по данным моделирования значения: i_sk уд = i_sα уд; K_уд = i_sk уд /I_skm; K_i = i_sk уд /I_1m; М_эk.уд; K_уд.М = М_эk.уд / М_н и установившиеся данные: I_skm = I_sαm; ; K_I = I_skm /I_1m = I_1п /I_1н; М_п = М_э; K_п = М_п /М_н. Данные моделирования внести в табл. 3.8 и 3.9.

Таблица 3.8

Режим	Оси	| Isk уд |, А		Kуд, о.е.		KI, о.е.		Мэкуд, Н·м.		Kуд/М, o.e.·
		(3.9)	модел.	(3.9)	модел.	(3.10)	модел.	(3.11)	модел.	(3.11)	модел.
КЗ	α,β

Таблица 3.9

Режим	Оси	Iskm, А		I1п, А		KI о.е.		Мп, Н·м		Кп, о.е.
		(3.9)	модел.	(3.13)	модел.		модел.	(3.14)	модел		модел.
КЗ	α,β					4,5				1,4

15. Исследовать режим XX в осях u,v при ω_k = ω₁ = 314 1/с. Задать параметр блока Const1 − коэффициент ω_k = 314 1/с для формирования Ψ_su и Ψ_sν, а в качестве параметра блока Const2 — также коэффициент ω_k = 314 1/с. Для блоков Sw1 и Sw2 (генераторы синусоидальных колебаний) значение частоты ω₁ = 0. Определить по результатам моделирования М_э уд, К_уд.М, ω_rm, ω_r и t_п. Данные моделирования внести в табл. 3.6.

16*. Осуществить реверс двигателя.

17*. Перевести машину в генераторный режим.

18*. Рассчитать активную и реактивую мощности асинхронной машины при работе в режимах двигателя и генератора.

Пункты 16*, 17*, 18* выполняются по указанию преподавателя.

 

3.5. Задание к коллоквиуму

1. Ознакомиться с описанием лабораторной работы, изучить программу и порядок её выполнения.

2. Выполнить 1-е и 2-е задания п. 3.4.

 

3.6. Требования к оформлению отчета

Отчет должен содержать: паспортные данные исследуемого двигателя; исследуемую систему ДУ; расчет коэффициентов решающих блоков; рисунок структурной блок-схемы; табл. 3.1—3.9 с внесёнными результатами расчёта и моделирования; графики исследуемых зависимостей токов и моментов от времени.

 

3.7. Контрольные вопросы

1. В чем заключается преобразование системы ДУ к виду, удобному для моделирования на ЭВМ?

2. Объясните назначение элементов структурной схемы (рис. 3.1).

3. Какие системы координат использовались для моделирования АД?

4. Каким образом определялось время пуска АД?

5. В каком режиме определялась перегрузочная способность АД?

6. Каким образом моделировался режим КЗ?

7. Каким образом моделировался пуск АД в режиме XX?

8. Каким образом осуществлялся НН в исследуемой модели?

9. Каким образом выполнялся режим номинальной работы в исследуемой модели?

10. Объяснить, почему в момент включения АД в сеть М_п = 0, а по статической характеристике М_п ≠ 0?

11. Как перейти от моделирования в системе координат α,β к системе координат u,v? В каких случаях для исследования переходного процесса в АД удобна система координат α,β, а в каких система – u,v?

12. В каком режиме определялись коэффициенты К_п и К_I?

13. В каком режиме определялись коэффициенты К_уд, К_уд.М и К_I?

14. Как рассчитать ударный момент М_эk уд?

15. Написать формулы для расчета моментов М_н и М_п.

16. Какую функцию выполняет блок Step в блок-схеме (рис. 3.1)?

17. По каким графикам и как определить критическое скольжение s_кр?

18. Какие функции выполняют блоки Integrator в блок-схеме (рис. 3.1)?

19. Как изменить направление вращения асинхронного двигателя в модели? Продемонстрируйте.

20. Как осуществить генераторный режим работы асинхронной машины в модели? Продемонстрируйте.

21. Как рассчитать активную и реактивную мощности асинхронной машины в модели? Продемонстрируйте.