Решение краевых задач механики деформируемого твердого тела методом спектральных элементов

Приведен набор программ в MATLAB и примеры результатов расчетов, которые используются при проведении спецкурсов по методам конечных и спектральных элементов для студентов кафедры вычислительной механики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Работа посвящёна подходу к решению прикладных задач геомеханического моделирования развития зон локализации пластических деформаций (так называемых полос скольжения) в окрестности ствола скважины, пробуренной в нагруженном массиве с начальными деформациями, при создании искусственной депрессии (понижении давления) в ней.

Математическая модель рассматриваемого процесса описывается системой нелинейных уравнений в частных производных пороупругопластичности, обобщающая классическую модель Био для двухфазной насыщенной жидкостью пороупругой среды. Отличительной особенностью данной модели является двустороннее сопряжение между механическими процессами, происходящими в пористой упругопластической матрице и насыщающей вязкой жидкости, позволяющее учитывать как влияние изменения порового давления в жидкости (в результате депрессии в скважине) на напряженно-деформированное состояние пористого скелета горной породы, так и обратное влияние изменения формы порового пространства (в результате деформаций скелета) на поровое давление в жидкости и, как следствие закона Дарси, на скорость перетока жидкости внутри пористой горной породы. Для моделирования накопления упругопластистических деформаций в стенках скважины с последующим развитием зон их локализации (полос скольжения) используется теория течения с неассоциированным законом пластичности по модели Друкера-Прагера, позволяющая учитывать различие в значениях угла внутреннего трения и угла дилатансии для большинства типов горных пород, а также объемные пластические деформации. Кроме того, в рамках рассмотренной модели пороупругопластичности учитывается нелинейная зависимость параметров модели (модули упругости, модуль Био, проницаемость и другие) от пористости, которая в свою очередь зависит от объемной деформации скелета.

Для численного решения поставленной задачи используются вариационная постановка на основе метода Галеркина и изопараметрический метод спектральных элементов для дискретизации геометрической модели и уравнений по пространству на криволинейных неструктурированных сетках, позволяющих в том числе аппроксимировать криволинейную форму скважины с высоким порядком точности и разгрублением сетки (увеличением размера спектральных элементов) по мере удаления от скважины. При проведении расчетов модельных задач использовались порядки спектральных элементов до 15го. Отличительной особенностью разработанного алгоритма численного решения системы нелинейных уравнений пороупругопластичности является использование метода динамической релаксации (метод установления по времени), позволяющего на каждом шаге нагружения (шаге изменения давления в скважине) получать установившееся (стационарное) решение краевой задачи с использованием явной схемы по времени с ограничением на шаг по времени в соответствии с условием Куранта (шаг по времени пропорционален шагу по пространству, а не квадрату от него в классических методах установления). Данный оригинальный подход позволяет избежать необходимости формирования глобальной тангенциальной матрицы системы (так называемой касательной матрицы жесткости), как при использовании, например, метода Ньютона, что, с одной стороны, является зачастую трудоемким процессом, требующим нетривиальных аналитических выкладок в особенности для нелинейных определяющих соотношений, а, с другой стороны, приводит к существенному ограничению масштабируемости вычислительного процесса при распараллеливании алгоритма на массивно-параллельных высокопроизводительных системах.

В работе приводятся результаты численного решения задачи о развитии зон локализации упругопластической деформации в окрестности скважины, пробуренной в пористой горной породе, насыщенной жидкостью, в результате пошагового снижения давления в скважине по отношению к поровому давлению в породе на удалении от скважины. Рассмотрено изменение пористости и проницаемости в результате накопления пластических деформаций.