• Регистрация
Редактор-сообщества-Экспонента
Редактор-сообщества-Экспонента+26.70
н/д
  • Написать
  • Подписаться

Функции Statistics Toolbox

Математика и статистика 
17.09.2019

Информация в данной статье относится к релизам программы MATLAB ранее 2016 года, и поэтому может содержать устаревшую информацию в связи с изменением функционала инструментов. С более актуальной информацией вы можете ознакомиться в разделе документации MATLAB на русском языке.

Statistics Toolbox предлагает широкий спектр инструментов для статистических вычислений. Основные возможности включают: регрессионный анализ и диагностика с выбором переменной, нелинейное моделирование, моделирование вероятностей и оценка параметров, анализ чувствительности с использованием генератора случайных чисел, управление статистическими процессами и планирование эксперимента. Пакет включает 20 различных распределений вероятностей, включая T, F и Хи-квадрат.

Автор - Мищенко Зорислав Владимирович - кандидат технических наук, доцент Владимирского государственного университета.

Список функций Statistics Toolbox

Оценка параметров закона распределения по экспериментальным данным

  • betafit - Оценка параметров бета распределения
  • binofit - Оценка параметров биномиального распределения
  • nbinfit - Оценка параметров отрицательного биномиального распределения
  • expfit - Оценка параметров экспоненциального распределения
  • gamfit - Оценка параметров гамма распределения
  • normfit - Оценка параметров нормального распределения
  • poissfit - Оценка параметров распределения Пуассона
  • raylfit - Оценка параметров распределения Релея
  • unifit - Оценка параметров равномерного распределения
  • weibfit - Оценка параметров распределения Вейбулла
  • mle - Расчет функции максимального правдоподобия

Законы распределения случайных величин

  • betacdf - Бета распределение
  • binocdf - Биномиальное распределение
  • cdf - Параметризованная функция распределения
  • chi2cdf - Функция распределения хи-квадрат
  • expcdf - Экспоненциальное распределение
  • ecdf - Эмпирическая функция распределения (на основе оценки Каплана-Мейера)
  • fcdf - Распределение Фишера
  • gamcdf - Гамма распределение
  • geocdf - Геометрическое распределение
  • hygecdf - Гипергеометрическое распределение
  • logncdf - Логнормальное распределение
  • nbincdf - Отрицательное биномиальное распределение
  • ncfcdf - Смещенное распределение Фишера
  • nctcdf - Смещенное распределение Стьюдента
  • ncx2cdf - Cмещенное хи-квадрат распределение
  • normcdf - Нормальное распределение
  • poisscdf - Распределение Пуассона
  • raylcdf - Распределение Релея
  • tcdf - Распределение Стьюдента
  • unidcdf - Дискретное равномерное распределение
  • unifcdf - Непрерывное равномерное распределение
  • weibcdf - Распределение Вейбулла

Функции плотности распределения случайных величин

  • betapdf - Бета распределение
  • binopdf - Биномиальное распределение
  • chi2pdf - Функция распределения хи-квадрат
  • exppdf - Экспоненциальное распределение
  • fpdf - Распределение Фишера
  • gampdf - Гамма распределение
  • geopdf - Геометрическое распределение
  • hygepdf - Гипергеометрическое распределение
  • lognpdf - Логнормальное распределение
  • nbinpdf - Отрицательное биномиальное распределение
  • ncfpdf - Смещенное распределение Фишера
  • nctpdf - Смещенное распределение Стьюдента
  • ncx2pdf - Cмещенное хи-квадрат распределение
  • normpdf - Нормальное распределение
  • poisspdf - Распределение Пуассона
  • mvnpdf - Функция плотности вероятности многомерного нормального распределения
  • raylpdf - Распределение Релея
  • pdf - Параметризованная функция плотности распределения
  • tpdf - Распределение Стьюдента
  • unidpdf - Дискретное равномерное распределение
  • unifpdf - Непрерывное равномерное распределение
  • weibpdf - Распределение Вейбулла

Обратные функции распределения случайных величин

  • betainv - Бета распределение
  • binoinv - Биномиальное распределение
  • chi2inv - Функция распределения хи-квадрат
  • expinv - Экспоненциальное распределение
  • finv - Распределение Фишера
  • gaminv - Гамма распределение
  • geoinv - Геометрическое распределение
  • hygeinv - Гипергеометрическое распределение
  • icdf - Параметризованная обратная функция распределения
  • logninv - Логнормальное распределение
  • nbininv - Отрицательное биномиальное распределение
  • ncfinv - Смещенное распределение Фишера
  • nctinv - Смещенное распределение Стьюдента
  • ncx2inv - Cмещенное хи-квадрат распределение
  • norminv - Нормальное распределение
  • poissinv - Распределение Пуассона
  • raylinv - Распределение Релея
  • tinv - Распределение Стьюдента
  • unidinv - Дискретное равномерное распределение
  • unifinv - Непрерывное равномерное распределение
  • weibinv - Распределение Вейбулла

Генерация псевдослучайных чисел по заданному закону распределения

  • betarnd - Бета распределение
  • binornd - Биномиальное распределение
  • chi2rnd - Функция распределения хи-квадрат
  • exprnd - Экспоненциальное распределение
  • frnd - Распределение Фишера
  • gamrnd - Гамма распределение
  • geornd - Геометрическое распределение
  • hygernd - Гипергеометрическое распределение
  • iwishrnd - Обратная матрица случайных чисел распределения Уишарта
  • lognrnd - Логнормальное распределение
  • mvnrnd - Многомерное нормальное распределение
  • mvtrnd - Многомерное распределение Стьюдента
  • nbinrnd - Отрицательное биномиальное распределение
  • ncfrnd - Смещенное распределение Фишера
  • nctrnd - Смещенное распределение Стьюдента
  • ncx2rnd - Cмещенное хи-квадрат распределение
  • normrnd - Нормальное распределение
  • poissrnd - Распределение Пуассона
  • random - Параметризованная функция генерации псевдослучайных чисел
  • raylrnd - Распределение Релея
  • trnd - Распределение Стьюдента
  • unidrnd - Дискретное равномерное распределение
  • unifrnd - Непрерывное равномерное распределение
  • weibrnd - Распределение Вейбулла
  • wishrnd - Матрица случайных чисел распределения Уишарта

Оценка математического ожидания и дисперсии по заданному закону распределения и его параметрам

  • betastat - Бета распределение
  • binostat - Биномиальное распределение
  • chi2stat - Функция распределения хи-квадрат
  • expstat - Экспоненциальное распределение
  • fstat - Распределение Фишера
  • gamstat - Гамма распределение
  • geostat - Геометрическое распределение
  • hygestat - Гипергеометрическое распределение
  • lognstat - Логнормальное распределение
  • nbinstat - Отрицательное биномиальное распределение
  • ncfstat - Смещенное распределение Фишера
  • nctstat - Смещенное распределение Стьюдента
  • ncx2stat - Смещенное хи-квадрат распределение
  • normstat - Нормальное распределение
  • poisstat - Распределение Пуассона
  • raylstat - Распределение Релея
  • tstat - Распределение Стьюдента
  • unidstat - Дискретное равномерное распределение
  • unifstat - Непрерывное равномерное распределение
  • weibstat - Распределение Вейбулла

Расчет логарифма функции максимального правдоподобия

  • betalike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия бета распределения
  • gamlike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия гамма распределения
  • normlike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия нормального распределения
  • weiblike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия распределения Вейбулла
  • nbinlike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия отрицательного биномиального распределения

Функции описательной статистики

  • bootstrp - Бутстреп оценки. Оценка статистик для данных с дополненным объемом выборки посредством математического моделирования
  • corrcoef - Оценка коэффициента корреляции (функция MATLAB)
  • cov - Оценка матрицы ковариаций (функция MATLAB)
  • crosstab - Кросстабуляция для нескольких векторов с положительными целыми элементами
  • geomean - Среднее геометрическое
  • grpstats - Сводные статистики по группам
  • harmmean - Среднее гармоническое
  • iqr - Разность между 75% и 25% квантилями или между 3-й и 1-ой квартилями
  • kurtosis - Оценка коэффициента эксцесса (в отечественной литературе коэффициент эксцесса определяется как b2=kurtosis-3)
  • mad - Среднее абсолютное отклонение от среднего значения
  • mean - Среднее арифметическое (функция MATLAB)
  • median - Медиана (функция MATLAB)
  • moment - Оценка центрального момента. Порядок момента задается как аргумент функции
  • nanmax - Максимальное значение в выборке. Нечисловые значения в выборке игнорируются
  • nanmean - Среднее арифметическое выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются
  • nanmedian - Медиана выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются
  • nanmin - Минимальное значение в выборке. Нечисловые значения в выборке игнорируются
  • nanstd - Оценка среднего квадратического отклонения выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются
  • nansum - Сумма элементов выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются
  • prctile - Выборочная процентная точка (процентиль)
  • range - Размах выборки
  • skewness - Оценка коэффициента асимметрии
  • std - Оценка среднего квадратического отклонения (функция MATLAB)
  • tabulate - Определение частот целых положительных элементов вектора случайных значений
  • trimmean - Оценка среднего арифметического значения, находимая с игнорированием заданного процента минимальных и максимальных элементов в выборки
  • var - Оценка дисперсии

Функции статистических графиков

  • boxplot - График "Ящик с усами". График 0%, 25%, 50%, 75%, 100% процентилей выборки
  • cdfplot - График кумулятивной кривой по эмпирическим данным
  • fsurfht - Контурный график заданной функции. Операция построения графика выполняется интерактивно.
  • gline - Операция прорисовки прямой линии в текущем графике
  • gname - Нанесение меток на график
  • gplotmatrix - Матрица графиков рассеяния группированных по общей переменной
  • gscatter - График рассеяния двух переменных группированных по значениям третьей переменной
  • lsline - График рассеяния двух переменных с линией регрессии по методу наименьших квадратов
  • normplot - Нормальный вероятностный график
  • qqplot - График "квантиль-квантиль" для двух выборок
  • refcurve - Построение полиномиальной кривой на текущий график
  • refline - Построение прямой на текущий график
  • surfht - Контурный график по матрице данных
  • weibplot - Вероятностный график Вейбулла

Функции статистического контроля качества

  • capable - Расчет индексов воспроизводимости процесса Cp, Сpk
  • capaplot - График воспроизводимости процесса
  • ewmaplot - Контрольная карта экспоненциально взвешенного среднего
  • histfit - Гистограмма по негруппированным экспериментальным данным с наложенной на нее кривой функции плотности распределения нормального закона
  • normspec - График функции плотности нормального закона с наложенными границами допусков контролируемого параметра
  • schart - Контрольная карта среднего квадратического отклонения
  • xbarplot - Контрольная карта среднего арифметического

Функции линейного регрессионного анализа

  • kruskalwalli - Непараметрический однофакторный дисперсионный анализ Краскала-Уоллиса
  • anova1 - Однофакторный дисперсионный анализ
  • anova2 - Двухфакторный дисперсионный анализ
  • anovan - Многофакторный дисперсионный анализ
  • aoctool - Однофакторный анализ ковариационных моделей. Выходными параметрами функции являются: 
    - Интерактивный график исходных данных линейных математических моделей
    - Таблица однофакторного дисперсионного анализа ·
    - Таблица с оценками параметров математических моделей
  • dummyvar  - Условное кодирование переменных. Функция возвращает матрицу единиц и нулей содержащую число колонок равное сумме чисел возможных значений в столбцах исходной матрицы. Единицы и нули характеризуют отсутствие или наличие определенного значения в каждой колонки исходной матрицы.
  • friedman - Тест Фридмана (непараметрический двухфакторный дисперсионный анализ Фридмана)
  • glmfit - Определение параметров обобщенной линейной модели
  • glmval - Прогнозирование с использованием обобщенной линейной модели
  • kruskalwallis - Тест Краскала-Уоллиса (непараметрический однофакторный дисперсионный анализ)
  • leverage - Оценка степени влияния отдельных наблюдений в исходном многомерном множестве данных на значения параметров линии регрессии.
  • lscov - Линейная регрессия (метод наименьших квадратов) при заданной матрице ковариаций (встроенная функция MATLAB)
  • manova1 - Однофакторный многомерный дисперсионный анализ
  • manovacluster - Дендрограмма, показывающая группировку исходных данных в кластеры по средним значениям. В качестве исходных данных используются выходные данные однофакторного многомерного дисперсионного анализа (manova1)
  • multcompare - Множественной сравнение оценок средних, параметров линии регрессии и т.д. В качестве входных параметров используются выходные параметры функций anova1, anova2, anovan, aoctool, friedman, kruskalwallis.
  • polyconf - Определение доверительных интервалов для линии регрессии
  • polyfit - Полиномиальная регрессия (встроенная функция MATLAB)
  • polyval - Прогноз с использованием полиномиальной регрессии (встроенная функция MATLAB)
  • rcoplot - График остатков
  • regress - Множественная линейная регрессия
  • regstats - Функция диагностирования линейной множественной модели. Графический интерфейс.
  • ridge - Линейная регрессия с применением гребневых оценок (ридж-регрессия)
  • rstool - Интерактивный подбор и визуализация поверхности отклика
  • robustfit - Робастная оценка параметров регрессионной модели
  • stepwise - Пошаговая регрессия (графический интерфейс пользователя)

Функции нелинейного регрессионного анализа

  • lsqnonneg - Функция реализует метод наименьших квадратов и возвращает только неотрицательные значения параметров модели (встроенная функция MATLAB)
  • nlinfit - Нелинейный метод наименьших квадратов (метод Гаусса-Ньютона)
  • nnls - Решение системы линейных уравнений методом наименьших квадратов для неотрицательных значений аргумента
  • nlintool - График прогнозируемых значений
  • nlparci - Вектор доверительных интервалов для параметров модели
  • nlpredci - Прогнозируемые значения и их доверительные интервалы

Функции планирования эксперимента

  • bbdesign - Планы Бокса-Бенкена
  • candexch - D-оптимальный план (на основе алгоритма перестановки строк для формирования множества возможных значений)
  • candgen - Генерирует множество возможных сочетаний факторов соответствующих D-оптимальному плану
  • ccdesign - Центральный композиционный план
  • cordexch - Функция для определения точного D-оптимального плана эксперимента на основе алгорима обмена координатами
  • daugment - Определение матрица плана дополняющую матрицу заданного плана до D-оптимального
  • dcovary - Функция для построения D-оптимального блочного плана
  • ff2n - Определение плана полного факторного эксперимента для факторов имеющих 2 уровня
  • fracfact - Функция для формирования двухуровнего дробного факторного плана
  • fullfact - Функция формирования плана полного факторного эксперимента для числа уровней факторов задаваемых пользователем
  • hadamard - Матрица Адамара. Матрица Адамара соответствует плану дробного факторного эксперимента для факторов, каждый из которых задан на отрезке [-1 1]. И служит для построения линейной регрессионной модели. (Встроенная функция MATLAB)
  • lhsdesign - План на основе латинских квадратов
  • lhsnorm - Латинские квадраты для многомерной нормальной выборки
  • rowexch - Функция для определения точного D-оптимального плана на основе алгоритма обмена строк

Функции кластерного анализа

  • cluster - Деление иерархического дерева кластеров (группировка выходных данных функции linkage) на отдельные кластеры
  • clusterdata - Группировка матрицы исходных данных в кластеры
  • cophenet - Расчет коэффициента качества разбиения исходных данных на кластеры (этот коэффициент можно рассматривать как аналог коэффициента корреляции, чем его значение ближе к 1, тем лучше выполнено разбиение на кластеры)
  • dendrogram - Дендрограмма кластеров
  • inconsistent - Расчет коэффициентов несовместимости для каждой связи в иерархическом дереве кластеров и может использоваться как оценка качества разбиения на кластеры
  • kmeans - Кластеризация на основе внутригрупповых средних
  • linkage - Формирование иерархического дерева бинарных кластеров
  • pdist - Расчет парных расстояний между объектами (векторами) в исходном множестве данных
  • silhouette - График силуэта кластеров
  • squareform - Преобразование вектора выходных данных функции pdist в симметричную квадратную матрицу

Функции снижения размерности задачи

  • factoran - Факторный анализ
  • pcacov - Функция служит для реализации метода главных компонент по заданной в качестве входного параметра матрице ковариаций
  • pcares - Функция служит для определения остатка после удаления заданного количества главных компонент
  • princomp - Функция служит для реализации метода главных компонент по заданной в качестве входного параметра матрице исходных значений

Функции анализа многомерных случайных величин

  • barttest - Тест Бартлета
  • canoncorr - Канонический корреляционный анализ
  • cmdscale - Классическое многомерное шкалирование
  • classify - Линейный дискриминантый анализ
  • mahal - Функция определяет расстояния Махаланобиса между строками двух матриц, являющихся входными параметрами.
  • manova1 - Однофакторный многомерный дисперсионный анализ
  • procrustes - Ортогональное вращение, позволяющее поставить в прямое соответствие одно множество точек другому

Функции нелинейного регрессионного анализа на основе графа возможных решений

  • treedisp - Отображает граф возможных решений
  • treefit - Построение графа возможных решений на основе исходных данных
  • treeprune - Исключение незначимых решений в графе возможных решений
  • treetest - Оценка погрешности узлов графа возможных решений
  • treeval - Оценка параметров регрессионной модели с использованием графа возможных решений

Статистическая проверка гипотез

  • ranksum - Ранговый тест Вилкоксона для проверки однородности двух генеральных совокупностей
  • signrank - Знаковый тест Вилкоксона для проверки гипотезы о равенстве медиан двух выборок
  • signtest - Знаковый тест для проверки гипотезы о равенстве медиан двух выборок
  • ttest - t-test для одной выборки. Проверка гипотезы о равенстве (или неравенстве) математического ожидания выборки заданному значению при условии, что величина дисперсии неизвестна. Закон распределения выборки нормальный.
  • ttest2 - t-test для двух выборок. Проверка гипотезы о равенстве (или неравенстве) математических ожиданий двух выборок при условии, что величины дисперсий выборок неизвестны и равны. Закон распределения выборки нормальный.
  • ztest - Z-тест. Проверка гипотезы о равенстве (или неравенстве) математического ожидания выборки заданному значению при условии, что известна величина дисперсии. Закон распределения выборки нормальный.

Проверка статистических гипотез о согласии распределения экспериментальным данным

  • jbtest - Тест на соответствие выборки нормальному распределению с неопределенными параметрами нормального распределения. Этот тест является асимптотическим и не может быть использован на малых выборках. Для проверки гипотезы о соответствии выборки нормальному распределению на малых выборках необходимо использовать функцию lillietest.
  • kstest - Тест Колмогорова-Смирнова на соответствие выборки заданному распределению
  • kstest2 - Тест Колмогорова-Смирнова на соответствие распределений двух выборок
  • lillietest - Тест на соответствие выборки нормального распределения рассчитываются исходя из значений элементов в выборке.

Проверка непараметрических гипотез

  • friedman - Тест Фридмана (непараметрический двухфакторный дисперсионный анализ Фридмана)
  • kruskalwallis - Тест Краскала-Уоллиса (непараметрический однофакторный дисперсионный анализ)
  • ksdensity - Подгонка функции плотности вероятности по экспериментальным данным
  • ranksum - Ранговый тест Вилкоксона для проверки однородности двух генеральных совокупностей
  • signrank - Знаковый тест Вилкоксона для проверки гипотезы о равенстве медиан двух выборок
  • signtest - Знаковый тест для проверки гипотезы о равенстве медиан двух выборок

Запись и чтение данных из файлов

  • caseread - Функция для чтения данных из текстового файла. Возвращает матрицу символов из текстового файла
  • casewrite - Функция для записи строковой матрицу в текстовый файл
  • tblread - Функция для чтения табличных данных из текстового файла
  • tblwrite - Функция для записи табличных данных из текстового файла
  • tdfread - Функция для чтения табличных данных разделенных знаком табуляции в строке из текстового файла

Таблица демонстрационных примеров

  • aoctool - Интерактивное средство ковариационного анализа
  • disttool - Интерактивное средство для исследования функций распределения случайных величин
  • glmdemo - Пример использования обобщенной линейной модели
  • randtool - Интерактивное средство для генерации псевдослучайных чисел
  • polytool - Интерактивное определение параметров полиномиальной модели
  • rsmdemo - Интерактивное моделирование химическое реакции и нелинейный регрессионный анализ
  • robustdemo - Интерактивное средство для сравнения методов МНК и робастной регрессии

Таблица вспомогательных функций

  • combnk - Вычисляет количество комбинаций которыми можно выбрать k объектов из n
  • grp2idx - Преобразование группирующей переменной в индексы массива
  • hougen - Функция прогнозирования для модели Хогена
  • tiedrank - Расчет ранга выборки с учетом ее объема
  • zscore - Выполняет нормализацию матрицы по колонкам. Приводит значения по колонкам матрицы к нормальным с 0 математическим ожиданием и единичной дисперсией.

 

 

 

 

Наверх

betafit - Оценка параметров бета распределения

Расчет точечных и интервальных оценок параметров бета распределения

 

Синтаксис

phat = betafit(x)

[phat,pci] = betafit(x,alpha)

Описание

phat = betafit(x) функция служит для расчета вектора точечных оценок phat параметров бета распределения a и b по исходной выборке значений x. Значения оценок параметров определяются методом максимального правдоподобия. Выборка x задается как вектор. Значения x должны находиться в интервале [0 1].

 

[phat,pci] = betafit(x,alpha) функция служит для расчета точечных phat и интервальных pci оценок параметров бета распределения a и b по исходной выборке значений x. Интервальные оценки pci параметров a и b задаются в виде матрицы размерностью 2-2. Первый столбец матрицы pci содержит нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала параметра a, второй столбец - нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала b. Необязательный параметр alpha определяет уровень значимости. По умолчанию alpha=0,05, что соответствует 95% доверительному интервалу.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров бета распределения

Расчет точечных оценок параметров бета распределения

>> A=4;

>> B=3;

>> x = betarnd(A,B,100,1);

>> phat = betafit(x)

phat =

    4.2571    2.8700

>>a= phat(1)

a =

    4.2571

>>b= phat(2)

b =

    2.8700

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров бета распределения для уровня значимости 0,05.

 

>> A=4;

>> B=3;

>> x = betarnd(A,B,100,1);

>> [p,ci] = betafit(x)

p =

    4.2571    2.8700

ci =

    3.1878    2.1911

    5.3264    3.5489

>>a= p(1)

a =

    4.2571

>>b= p(2)

b =

    2.8700

>> a_low=ci(1,1)

a_low =

    3.1878

>> a_high=ci(2,1)

a_low =

    5.3264

>> b_low=ci(1,2)

b_low =

    2.1911

>> b_high=ci(2,2)

b_high =

    3.5489

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров бета распределения для уровня значимости 0,01.

>> A=4;

>> B=3;

>> x = betarnd(A,B,100,1);

>> alfa=0.01;

>> [p,ci] = betafit(x,alfa)

p =

    4.2571    2.8700

ci =

    2.8518    1.9778

    5.6624    3.7622

 

 

Наверх

binofit - Оценка точечных и интервальных оценок параметров биномиального распределения

Синтаксис

phat = binofit(x,n)

[phat,pci] = binofit(x,n)

[phat,pci] = binofit(x,n,alpha)

Описание

phat = binofit(x,n) функция служит для расчета точечной оценки phat вероятности появления некоторого события в одном опыте при n независимых повторных испытаниях, где x число появлений событий в указанной серии испытаний. Скалярное значение x или n увеличивается до размерности второго входного аргумента. Расчет вероятности появления события производится методом максимального правдоподобия.

 

[phat,pci] = binofit(x,n) функция служит для расчета точечной phat и интервальной pci оценки вероятности появления некоторого события в одном опыте при биномиальном распределении. Интервальная оценка представляет собой 95% доверительный интервал.

[phat,pci] = binofit(x,n,alpha) функция возвращает точечную оценку и 100(1-alpha)% доверительный интервал вероятности появления некоторого события в одном опыте при биномиальном распределении.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметра биномиального распределения

Расчет точечной оценки вероятности появления некоторого события в одном опыте

при биномиальном распределении для заданной пары значений x и p.

 

>> p=0.6;

>> n=100;

>> x = binornd(n,p)

x =

62

>>phat = binofit(x,n)

phat =

    0.6200

  

Расчет точечной оценки phat для вектора числа появлений событий в серии испытаний.

>> x=[1 10 5 20 30 50];

>> n=100;

>>phat = binofit(x,n)

phat =

  Columns 1 through 5 

    0.0100    0.1000    0.0500    0.2000    0.3000

  Column 6 

    0.5000

  

Расчет точечной phat и интервальной pci оценки вероятности появления некоторого события 

в одном опыте для заданной пары значений x, n и доверительной вероятности 0,95.

 

>> x=10;

>> n=100;

>>[phat,pci] = binofit(x,n)

phat =

    0.1000

pci =

    0.0490    0.1762

  

Расчет точечных и интервальных оценок вероятности появления некоторого события 

в одном опыте для векторов значений x, n и доверительной вероятности 0,95.

>> x=[1 10 5 20 30 50];

>> n=[10 100 50 200 300 500];

>> [phat,pci] = binofit(x,n)

phat =

  Columns 1 through 5 

    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000

  Column 6 

    0.1000

pci =

  Columns 1 through 5 

    0.0025    0.0490    0.0333    0.0622    0.0685

  Columns 6 through 10 

    0.0751    0.4450    0.1762    0.2181    0.1502

  Columns 11 through 12 

    0.1397    0.1297

  

Примечание: в векторе pci первые шесть значений являются нижними границами доверительного интервала 

для соответствующей точечной оценки phat, следующие шесть - верхними границами доверительного 

интервала. Расчет точечных и интервальных оценок вероятности появления некоторого события в одном 

опыте для уровня значимости 0,001 и пары значений x, n.

 

>> x=[1 10 5 20 30 50];

>> n=[5 100 30 100 200 300];

>> alfa=0.001;

>> [phat,pci] = binofit(x,n,alfa)

phat =

  Columns 1 through 5 

    0.2000    0.1000    0.1667    0.2000    0.1500

  Column 6 

    0.1667

pci =

  Columns 1 through 5 

    0.0001    0.0279    0.0224    0.0894    0.0786

  Columns 6 through 10 

    0.1032    0.8978    0.2338    0.4713    0.3564

  Columns 11 through 12 

    0.2483    0.2472

  

Уровень значимости alfa может быть задан как вектор. Размерность alfa должна быть равна 

количеству элементов остальных входных аргументов. Доверительный интервал рассчитывается 

для сочетания соответствующих значений векторов x, n, alfa.

>> x=[1 10 5 20 30 50];

>> n=[5 100 30 100 200 300];

>> alfa=[0.001 0.005 0.01 0.02 0.03 0.05];

>> [phat,pci] = binofit(x,n,alfa)

>> [phat,pci] = binofit(x,n,alfa)

phat =

  Columns 1 through 5 

    0.2000    0.1000    0.1667    0.2000    0.1500

  Column 6 

    0.1667

pci =

  Columns 1 through 5 

    0.0001    0.0346    0.0378    0.1156    0.0993

  Columns 6 through 10 

    0.1263    0.8978    0.2120    0.4040    0.3092

  Columns 11 through 12 

    0.2134    0.2138

 

 

Наверх

NBINFIT - Расчет точечных и интервальных оценок параметров отрицательного биномиального распределения

Синтаксис

parmhat = nbinfit(x)

[parmhat,parmci] = nbinfit(x,alpha)

[...] = nbinfit(...,options)

 

Описание

parmhat = nbinfit(x) функция служит для расчета вектора точечных оценок parmhat параметров отрицательного биномиального распределения по методу максимального правдоподобия для заданной выборки x. Выборка x должна быть вектором.

[parmhat,parmci] = nbinfit(x,alpha) функция служит для расчета точечных parmhat и parmci оценок параметров отрицательного биномиального распределения по исходной выборке значений x методом максимального правдоподобия. Доверительный интервал parmci рассчитывается для заданного уровня значимости alpha. Доверительная вероятность определяется как 100*(1-alpha). По умолчанию, в случае отсутствия параметра alpha, уровень значимости равен 0,05.

 

[...] = nbinfit(...,options) в этом варианте синтаксиса, кроме указанных в предыдущем случае параметров, задается способ оптимизации при расчете оценок параметров по методу максимального правдоподобия. Установка параметров оптимизации в nbinfit выполняется с помощью структуры options. Формирование структуры options выполняется с помощью функции optimset. В процессе работы nbinfit полученная структура данных options передается как входной аргумент функции fminsearch, выполняющей минимизацию значения отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия отрицательного биномиального распределения. Предусмотрены следующие способы оптимизации:

Параметр оптимизации

Значение параметра

Описание

Display

'off' | 'iter' | 'final' | 'notify'

Определяет вид выходной информации. Значение 'off' подавляет вывод результата; 'iter' отображает результаты каждой итерации; 'final' определяет вывод окончательных результатов расчета; 'notify' отображает результаты расчета в случае отсутствия сходимости.

MaxFunEvals

Положительное целое число

Максимальное допустимое число вызовов функции

MaxIter

Положительное целое число

Максимальное допустимое число итераций

TolFun

Положительное вещественное число

Предельное значение точности при вычислении функции

TolX

Положительное вещественное число

Предельное значение точности при использовании аргумента

Приведенные в таблице параметры являются общими для функций оптимизации ядра Matlab и Optimization Toolbox. Функции оптимизации Optimization Toolbox содержат ряд дополнительных настроек. Информацию о них можно получить в справочной системе в разделе описания функции optimset.По умолчанию предусмотрена установка параметра 'Display' со значением 'notify', т.е. optimset('Display','notify').

Примечание: дисперсия отрицательного биномиального распределения должна быть больше математического ожидания. Поэтому, если точечная оценка дисперсии больше среднего арифметического по выборке x, nbinfit нельзя использовать при расчете точечных и интервальных оценок параметров отрицательного биномиального распределения. В этом случае вместо nbinfit используется nbinfit.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров отрицательного биномиального распределения

Расчет точечных оценок параметров отрицательного биномиального распределения

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> x = nbinrnd(R,P,100,1);

>> parmhat = nbinfit(x)

parmhat =

    7.3336    0.4180

>>r= parmhat(1)

r =

    7.3336

>>p= parmhat(2)

p =

    0.4180

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров отрицательного биномиального распределения 

для уровня значимости 0,05.

>> R=10;

>> P=0.5;

>> x = nbinrnd(R,P,100,1);

>> [parmhat,parmci] = nbinfit(x)

parmhat =

    7.3336    0.4180

parmci =

    3.5922    0.2880

   11.0749    0.5481

   

Расчет точечных и интервальных оценок параметров отрицательного биномиального распределения 

для уровня значимости 0,01.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> alfa=0.01;

>> x = nbinrnd(R,P,100,1);

>> [parmhat,parmci] = nbinfit(x, alfa)

parmhat =

    7.3336    0.4180

parmci =

    2.4166    0.2471

   12.2505    0.5890

   

Расчет точечных и интервальных оценок параметров отрицательного биномиального распределения 

для уровня значимости 0,01. При расчете установлены следующие параметры оптимизации: 

1. вывод результатов каждой итерации, 2. максимальное количество итераций не более 20.

>> R=10;

>> P=0.5;

>> alfa=0.01;

>> x = nbinrnd(R,P,100,1);

>> options = optimset('Display','iter','MaxIter',20);

>> [parmhat,parmci] = nbinfit(x, alfa, options)

Iteration   Func-count     min f(x)         Procedure

     1            2         -1349.86         initial

     2            4         -1349.86         contract inside

     3            6         -1349.86         contract inside

     4            8         -1349.86         contract inside

     5           10         -1349.86         contract inside

     6           12         -1349.86         contract inside

     7           14         -1349.86         contract inside

     8           16         -1349.86         contract inside

     9           18         -1349.86         contract inside

    10           20         -1349.86         contract inside

    11           22         -1349.86         contract inside

    12           24         -1349.86         contract inside

    13           26         -1349.86         contract inside

    14           28         -1349.86         contract inside

 

Optimization terminated successfully:

 the current x satisfies the termination criteria using OPTIONS.TolX of 1.000000e-004 

 and F(X) satisfies the convergence criteria using OPTIONS.TolFun of 1.000000e-004 

parmhat =

    8.4533    0.4551

parmci =

    2.8032    0.2856

   14.1033    0.6247

 

 

Наверх

EXPFIT - Расчет точечных и интервальных оценок параметров экспоненциального распределения

Синтаксис

muhat = expfit(x)

[muhat,muci] = expfit(x)

[muhat,muci] = expfit(x,alpha)

 

Описание

muhat = expfit(x) функция служит для расчета точечной оценки muhat параметра  экспоненциального распределения по исходной выборке значений x. Значения оценок параметров определяются методом максимального правдоподобия.

[muhat,muci] = expfit(x) позволяет рассчитать точечную muhat и интервальную muci оценок параметра экспоненциального распределения по исходной выборке значений x для доверительной вероятности равной 95%.

 

[muhat,muci] = expfit(x,alpha) служит для расчета точечной muhat и интервальной muci оценок параметра экспоненциального распределения по исходной выборке значений x для заданного уровня значимости alfa. Доверительная вероятность определяется как (1-alfa).

Выборка x может быть задана как вектор или матрица. Во втором случае, точечная оценка muhat и интервальная оценка muci рассчитывается для каждого столбца матрицы x.

 

Значение уровня значимости alfa может быть задано как скаляр для всех выборок в матрице х, или отдельно для каждого столбца х. Во втором случае размерность вектора alfa должна быть равна числу столбцов в матрице х.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров экспоненциального распределения

Расчет точечной оценки параметра  для вектора выборки x.

>> mu=2

mu =

     2

>> x=exprnd(mu,100,1);

>> muhat = expfit(x)

muhat =

    1.4444

  

Расчет точечных оценок параметра  для столбцов матрицы выборки х.

 

>> mu=2;

>> x=exprnd(mu,100,2);

>> muhat = expfit(x)

muhat =

    1.9423    2.4986

  

Расчет точечной и интервальной оценки параметра  для вектора выборки наблюдений x. 

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

>> mu=2

mu =

     2

>> x=exprnd(mu,100,1);

>> [muhat,muci] = expfit(x)

muhat =

    2.0643

muci =

    1.6796

    2.4880

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметра  для столбцов матрицы выборки х. 

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

 

>> mu=2;

>> x=exprnd(mu,100,2);

>> [muhat,muci] = expfit(x)

muhat =

    2.2296    1.8457

muci =

    1.8141    1.5017

    2.6874    2.2246

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметра  для столбцов матрицы выборки х и уровне значимости 0,01.

>> mu=2;

>> alfa=0.01;

>> x=exprnd(mu,100,2);

>> [muhat,muci] = expfit(x,alfa)

muhat =

    2.2047    1.8899

muci =

    1.6782    1.4386

    2.8139    2.4121

  

Доверительная вероятность может быть задана отдельно для каждой выборки в матрице x.

 

>> mu=2;

>> alfa=[0.05 0.001];

>> x=exprnd(mu,10000,2);

>> [muhat,muci] = expfit(x,alfa)

muhat =

    2.3413    2.0181

muci =

    1.9049    1.4193

    2.8219    2.7488

 

 

Наверх

GAMFIT - Расчет точечных и интервальных оценок параметров Гамма распределения

Синтаксис

phat = gamfit(x)

[phat,pci] = gamfit(x)

[phat,pci] = gamfit(x,alpha)

 

Описание

phat = gamfit(x) функция служит для расчета вектора точечных оценок phat параметров Гамма распределения a и b по исходной выборке значений x. Значения оценок параметров определяются методом максимального правдоподобия. Выборка x задается как вектор.

[phat,pci] = gamfit(x) функция служит для расчета точечных phat и интервальных pci оценок параметров Гамма распределения a и b по исходной выборке значений x. Интервальные оценки pci параметров a и b задаются в виде матрицы размерностью 2-2. Первый столбец матрицы pci содержит нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала параметра a, второй столбец - нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала b. Интервальная оценка параметров Гамма распределения соответствует 95% доверительной вероятности.

 

[phat,pci] = gamfit(x,alpha) в отличие от второго варианта синтаксиса в качестве второго входного параметра задается уровень значимости alpha. Доверительная вероятность для интервальной оценки параметров a, b определяется как (1- alpha).

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров Гамма распределения

Расчет точечных оценок параметров Гамма распределения

>> A=4;

>> B=3;

>> x = gamrnd(A,B,100,1);

>> phat = gamfit(x)

phat =

    3.4797    3.3897

>>a= phat(1)

a =

    3.4797

>>b= phat(2)

b =

    3.3897

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров Гамма распределения для уровня значимости 0,05.

 

>> A=5;

>> B=2;

>> x = gamrnd(A,B,100,1);

>> [phat,pci] = gamfit(x)

phat =

    5.0306    1.9073

pci =

    3.4819    1.3436

    6.5792    2.4711

>>a= phat (1)

a =

    5.0306

>> b= phat (2)

b =

    1.9073

>> a_low= pci (1,1)

a_low =

    3.4819

>> a_high= pci (2,1)

a_high =

    6.5792

>> b_low= pci (1,2)

b_low =

    1.3436

>> b_high= pci (2,2)

b_high =

    2.4711

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров Гамма распределения для уровня значимости 0,01.

>> A=5;

>> B=2;

>> alfa=0.01;

>> x = gamrnd(A,B,100,1);

>> [phat,pci] = gamfit(x, alfa)

phat =

    5.9167    1.8883

pci =

    3.6012    1.0733

    8.2322    2.7034

 

 

Наверх

NORNFIT - Расчет точечных и интервальных оценок параметров нормального закона

Синтаксис

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)

 

Описание

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) позволяет рассчитать точечные и интервальные оценки параметров нормального закона: для математического ожидания - muhat, muci; для среднего квадратического отклонения - sigmahat, sigmaci. Исходная выборка Х может быть задана в виде вектора или матрицы. Если Х является вектором, то первый элемент векторов интервальных оценок muci и sigmaci соответствует нижней границе доверительного интервала, второй - верхней границе. Если X является матрицей, то каждый столбец рассматривается как отдельная выборка. Точечные оценки muhat и sigmahat являются векторами с числом элементов равным количеству столбцов в матрице Х. Интервальные оценки muci и sigmaci представляются как матрицы с размерностью 2xn, где n - число столбцов в матрице Х. Первая строка матриц muci и sigmaci является нижней границей доверительного интервала, вторая - верхней. Доверительный интервал параметров нормального закона соответствует уровню значимости равному 0,05.

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) в отличии от первого варианта синтаксиса, необязательный параметр alpha задает уровень значимости для доверительных интервалов математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Доверительная вероятность интервальных оценок параметров нормального закона определяется как 100(1-alpha)%.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров нормального закона

Расчет точечных оценок параметров нормального закона

 

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> X=normrnd(MU,SIGMA,100,1);

>> [muhat,sigmahat] = normfit(X)

muhat =

    0.0479

sigmahat =

    0.8685

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров нормального закона для уровня значимости 0,05.

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> X=normrnd(MU,SIGMA,100,1);

>> [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

muhat =

    0.0479

sigmahat =

    0.8685

muci =

   -0.1244

    0.2203

sigmaci =

    0.7626

    1.0089

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров нормального закона для уровня значимости 0,01.

 

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> alfa=0.01;

>> X=normrnd(MU,SIGMA,100,1);

>> [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alfa)

muhat =

    0.0479

sigmahat =

    0.8685

muci =

   -0.1802

    0.2760

sigmaci =

    0.7330

    1.0596

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров нормального закона для двух выборок, 

заданных в виде матрицы Х с размерностью 100x2. Уровень значимости доверительных интервалов 

параметров нормального закона для обеих выборок равен 0,05.

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> X=normrnd(MU,SIGMA,100,2);

>> [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alfa)

muhat =

   -0.0099   -0.1476

sigmahat =

    0.9977    0.9659

muci =

   -0.2719   -0.4013

    0.2522    0.1061

sigmaci =

    0.8421    0.8152

    1.2173    1.1784

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров нормального закона для двух выборок, 

заданных в виде матрицы Х с размерностью 100x2. Уровень значимости доверительных интервалов 

параметров нормального закона для выборок равен соответственно 0,05 и 0,001.

 

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> alfa=[0.05 0.001];

>> X=normrnd(MU,SIGMA,100,2);

>> [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alfa)

muhat =

   -0.0677    0.0572

sigmahat =

    0.9777    0.8690

muci =

   -0.2617   -0.1153

   -0.3993   -0.2375

sigmaci =

    1.2652    1.1244

    1.1358    1.0095

 

 

Наверх

POISSFIT - Расчет точечных и интервальных оценок параметров закона Пуассона

Синтаксис

lambdahat = poissfit(X)

[lambdahat,lambdaci] = poissfit(X)

[lambdahat,lambdaci] = poissfit(X,alpha)

 

Описание

lambdahat = poissfit(X) функция служит для расчета точечной оценки lambdahat параметра  распределения Пуассона по исходной выборке значений Х. Значения оценок параметров определяются методом максимального правдоподобия.

[lambdahat,lambdaci] = poissfit(X) позволяет рассчитать точечную lambdahat и интервальную lambdaci оценки параметра распределения Пуассона по исходной выборке значений Х для доверительной вероятности равной 95%.

 

[lambdahat,lambdaci] = poissfit(X,alpha) служит для расчета точечной lambdahat и интервальной lambdaci оценок параметра  распределения Пуассона по исходной выборке значений X для заданного уровня значимости alfa. Доверительная вероятность определяется как 100(1-alpha)%.

Точечная оценка параметра  по методу максимального правдоподобия определяется как среднее арифметическое значений Xi:

Выборка Х может быть задана как вектор или матрица. Во втором случае, точечная оценка lambdahat и интервальная оценка lambdaci рассчитывается для каждого столбца матрицы Х.

 

Значение уровня значимости alfa может быть задано как скаляр для всех выборок в матрице Х, или отдельно для каждого столбца Х. Во втором случае размерность вектора alfa должна быть равна числу столбцов в матрице Х lambdaci.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров распределения Пуассона

>> LAMBDA=1

LAMBDA =

     1

>> X=poissrnd(LAMBDA,100,1);

>> lambdahat = poissfit(X)

lambdahat =

    0.9500

Расчет точечных оценок параметра  для столбцов матрицы выборки Х.

>> LAMBDA=1

LAMBDA =

     1

>> X=poissrnd(LAMBDA,100,2);

>> lambdahat = poissfit(X)

lambdahat =

    1.2100    1.0100

  

Расчет точечной и интервальной оценки параметра  для вектора выборки наблюдений Х. 

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

>> LAMBDA=1;

>> X=poissrnd(LAMBDA,100,1);

>> [lambdahat,lambdaci]  = poissfit(X)

lambdahat =

    1.0900

lambdaci =

    0.8854

    1.2946

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметра  для столбцов матрицы выборки X. 

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

 

>> LAMBDA=1;

>> X=poissrnd(LAMBDA,100,2);

>> [lambdahat,lambdaci]  = poissfit(X)

lambdahat =

    0.8600    0.9600

lambdaci =

    0.6879    0.7776

    1.0621    1.1723

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметра  для столбцов матрицы выборки X и уровне значимости 0,01.

>> LAMBDA=1;

>> alpha=0.01;

>> X=poissrnd(LAMBDA,100,2);

>> [lambdahat,lambdaci]  = poissfit(X, alpha)

lambdahat =

    1.0600    0.9800

lambdaci =

    0.7948    0.7438

    1.3252    1.2650

  

Доверительная вероятность может быть задана отдельно для каждой выборки в матрице X.

 

>> LAMBDA=1;

>> alpha=[0.05 0.05];

>> X=poissrnd(LAMBDA,100,2);

>> [lambdahat,lambdaci]  = poissfit(X, alpha)

lambdahat =

    0.9500    0.9800

lambdaci =

    0.7686    0.7956

    1.1613    1.1943

 

 

Наверх

RAYLFIT - Расчет точечных и интервальных оценок параметров закона Релея

Синтаксис

phat = raylfit(data)

[phat, pci] = raylfit(data)

[phat, pci] = raylfit(data,alpha)

 

Описание

phat = raylfit(data) функция служит для расчета точечной оценки phat параметра распределения Релея по исходной выборке значений data. Значения оценок параметров определяются методом максимального правдоподобия.

[phat, pci] = raylfit(data) позволяет рассчитать точечную phat и интервальную pci оценки параметра распределения Релея по исходной выборке значений data для доверительной вероятности равной 95%.

 

[phat, pci] = raylfit(data,alpha) служит для расчета точечной phat и интервальной pci оценок параметра распределения Релея по исходной выборке значений data для заданного уровня значимости alfa. Доверительная вероятность определяется как 100(1-alpha)%.

Примеры использования функции расчета точечных и интервальных оценок параметров распределения Релея

Расчет точечной оценки параметра B для вектора выборки data.

>> B=1

B =

      1

>> data=raylrnd(B,100,1);

>> phat = poissfit(data)

phat =

    1.2113

  

Расчет точечных оценок параметра B для столбцов матрицы выборки data.

 

>> B=1;

>> data=raylrnd(B,100,3);

>> phat = poissfit(data)

phat =

   1.2342    1.3225    1.3409

   

Расчет точечной и интервальной оценки параметра B для вектора выборки наблюдений data. 

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

>> B=1;

>> data=raylrnd(B,100,1);

>> [phat, pci] = poissfit(data)

phat =

    1.3938

pci =

    1.1624

    1.6252

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметра B для столбцов матрицы выборки data. 

Доверительный интервал соответствует 95% вероятности.

 

>> B=1;

>> data=raylrnd(B,100,3);

>> [phat, pci] = poissfit(data)

phat =

    1.2884    1.1835    1.1054

pci =

    1.0659    0.9703    0.8994

    1.5109    1.3967    1.3115

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметра B для столбцов матрицы выборки data и уровне значимости 0,01.

>> B=1;

>> alpha=0.01;

>> data=raylrnd(B,100,3);

>> [phat, pci] = poissfit(data, alpha)

phat =

    1.3030    1.2477    1.3001

pci =

    1.0090    0.9600    1.0064

    1.5971    1.5355    1.5938

  

Доверительная вероятность может быть задана отдельно для каждого столбца в матрице data.

 

>> B=1;

>> alpha=[0.01 0.05 0.001];

>> data=raylrnd(B,100,3);

>> [phat, pci] = poissfit(data, alpha)

phat =

    1.3030    1.2477    1.3001

pci =

    1.0090    1.0288    0.9249

    1.5971    1.4667    1.6753

 

 

Наверх

mle - Расчет точечных и интервальных оценок параметров распределения заданного распределения

Синтаксис

phat = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)

 

Описание

phat = mle('dist',data) возвращает значения точечных оценок параметров закона распределения. Вид распределения задается строковой переменной 'dist' в соответствии со следующей таблицей. Выборка наблюдений определяется векторной переменной data.

Вид распределения

Переменная 'dist'

Бета

'beta', 'Beta'

Бернулли

'Bernoulli', 'bernoulli'

Биномиальное

'bino', 'binomial'

Экспоненциальное

'exp', 'Exponential'

Гамма

'gam', 'Gamma' 

Геометрическое

'geo', 'Geometric' 

Нормальное

'norm', 'Normal' 

Пуассона

'poiss', 'Poisson'

Релея

'rayl', 'Rayleigh', 'rayleigh'

Дискретное равномерное

'unid', 'Discrete Uniform' 

Непрерывное равномерное

'unif', 'Uniform' 

Вейбулла

'weib', 'Weibull' 

[phat,pci] = mle('dist',data) служит для расчета точечных phat и интервальных pci оценок параметров закона распределения, заданного переменной 'dist', по исходной выборке data. Доверительный интервал рассчитывается для 0,05 уровня значимости.

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha) служит для расчета точечных phat и интервальных pci оценок параметров закона распределения, заданного переменной 'dist', по исходной выборке data и уровня значимости alpha. Доверительная вероятность рассчитывается по формуле 100(1-alpha)%.

 

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1) функция предназначена для расчета точечной phat и интервальной pci оценок вероятности появления события в одном опыте для биномиального распределения, где p1 - количество повторных независимых испытаний. В этом случае переменная 'dist' всегда равна 'bino' или 'binomial'. Входные параметры data и alpha выполняют те же функции, что и в предыдущем варианте синтаксиса.

Расчет точечных и интервальных оценок параметров закона распределения выполняется по методу максимального правдоподобия.

 

Функция mle является аналогом параметрических функций: генерации псевдослучайных чисел - random, расчета квантилей распределений - icdf и т.д.

Примеры использования функции mle

Расчет точечных оценок параметров нормального распределения

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> data=normrnd(MU, SIGMA,100,1);

>> phat = mle('Normal',data)

phat =

    0.0479    0.8641

>> mu= phat(1)

mu =

    0.0479

>> sigma = phat(2)

sigma =

    0.8641

  

Расчет точечных и интервальных оценок параметров нормального распределения при уровне значимости равном 0,01

 

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> alfa=0.01;

>> data=normrnd(MU, SIGMA,100,1);

>>[phat,pci] = mle('Normal',data, alfa)

phat =

   -0.1270    0.9400

pci =

   -0.3776    0.7338

    0.1236    1.1461

  

Расчет точечной и интервальной оценок вероятности появления события в одном опыте для биномиального распределения 

при уровне значимости равном 0,01.

>> data=10;

>> p1=100;

>> alfa=0.01;

>> [phat,pci] = mle('binomial',data,alfa,p1)

phat =

    0.1000

pci =

    0.0382

    0.2020

 

 

Наверх

betacdf - Функция распределения вероятностей бета распределения

Синтаксис:

F = betacdf(x,a,b)

Описание:

betacdf(x,a,b) предназначена для расчета значений функции распределения вероятностей бета распределения для параметров распределения a, b и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц x, a и b должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры a и b должны быть положительными. Значение случайной величины x должно находиться в интервале [0 1].

Функция распределения вероятностей бета распределения имеет вид

,

где  - Бета функция.

Выходной параметр F представляет собой значение вероятности попадания случайной величины t в интервал [0 x].

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; a=1; b=2.

>> x=0.5

x =

    0.5000

>> a=1

a =

     1

>> b=2

b =

     2

>> F = betaсdf(x,a,b)

F =

    0.7500

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0, 9]; и скалярных параметров a=1; b=2.

>> x=0:0.3:1

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> a=1

a =

     1

>> b=2

b =

     2

>> F = betapdf(x,a,b)

F =

         0    0.5100    0.8400    0.9900

График функции распределения вероятностей с параметрами a=1; b=2 и a=1; b=5.

>> a=1; b=2;

>> x=0:0.01:1;

> F1 = betacdf(x,a,b);

>> b=5;

>> F2 = betacdf(x,a,b);

>> plot(x,F1,x,F2,'.')

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение пределов интегрирования.

>> xmin=0.1;

>> xmax=0.2;

Параметры бета распределения.

>> a=1;

>> b=4;

Расчет вероятности P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> betacdf(xmax,a,b) - betacdf(xmin,a,b)

ans =

    0.2465

 

 

Наверх

binocdf - Функция распределения вероятностей биномиального закона

Синтаксис:

F = binocdf(x,n,p)

Описание:

binocdf(x,n,p) служит для расчета значения функции распределения вероятностей биномиального закона для значений случайной величины x и параметров n, p. Размерность векторов или матриц x, n и p должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов.

Значение параметра n должно быть положительным целым. Значение параметра p должно находиться в интервале [0 1]. Значение случайной величины x должно быть целым, положительным и .

Функция распределения вероятностей биномиального закона имеет вид

,

где  - число сочетаний, которым можно выбрать i объектов из n, ,

 - вероятность появления события в отдельном опыте,

- вероятность отсутствия события в отдельном опыте.

Выходной параметр F представляет собой вероятность появления некоторого события от нуля до x раз при n независимых испытаниях.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=5; n=10; p=0.7.

>> x=5

x =

     5

>> n=10

n =

    10

>> p=0.7

p =

    0.7000

>> F = binopdf(x,n,p)

F =

    0.1029

Использование векторного аргумента x=[1 2 3 4 5]; и скалярных параметров n=10; p=0.7.

>> x=1:5

x =

     1     2     3     4     5

>> n=10

n =

    10

>> p=0.7

p =

    0.7000

>> F = binocdf(x,n,p)

F =

    0.0001    0.0016    0.0106    0.0473    0.1503

Вид функции распределения вероятностей с параметрами n=10; p=0.2.

>> n=10; p=0.2;

>> x=1:1:9;

>> F = binocdf(x,n,p);

>> plot(x,F,'+')

Определить вероятность выигрыша более чем в 100 матчах из 162 играх, если вероятность выиграть игру 50%.

Вероятность выиграть 100 и менее игр из 162 составляет:

>> P=binocdf(100,162,0.5)

P =

    0.9990

Вероятность выиграть более чем в 100 матчах определяется как обратное событие к предыдущему

>> 1-P

ans =

    0.0010

 

 

Наверх

chi2cdf - Функция распределения вероятностей хи-квадрат

Синтаксис:

F = chi2cdf(x,v)

Описание:

chi2cdf(x,v) вычисляет значение функции распределения вероятностей  для параметра распределения v и значения случайной величины x. Размерность матриц x и v должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера другого входного аргумента. Число степеней свободы v должно быть целым положительным числом.

Функция распределения вероятностей  имеет вид

,

где  - Гамма-функция,  - число степеней свободы.

Результат расчета F – вероятность попадания случайной величины t в интервал [0 x].

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.1; v=10.

>> v=10

v =

   10

>> x=0.1

x =

    0.1000

>> F = chi2cdf(x,v)

F =

  2.4980e-009

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0, 9]; и скалярного параметра v=10.

>> x=[0 0.3 0.6 0.9]

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> v=10

v =

    10

>> F = chi2cdf(x,v)

F =

  1.0e-003 *

         0    0.0006    0.0158    0.1059

>> [x' F']

ans =

              0             0

    0.3000    0.0000

    0.6000    0.0000

    0.9000    0.0001

График функции распределения вероятностей хи-квадрат с параметрами v=[5 10 15].

>> x=0:1:20;

>> v=5;

>> F1 = chi2cdf(x,v);

>> v=10;

>> F2 = chi2cdf(x,v);

>> v=15;

>> F3 = chi2cdf(x,v);

>> plot(x,F1,x,F2,'.',x,F3,'+')

>> grid on

 

 

Наверх

expcdf- Функция распределения вероятностей экспоненциального закона

Синтаксис:

F = expcdf(X,MU)

Описание:

expcdf(X,MU) cлужит для расчета значения функции распределения вероятностей экспоненциального закона для параметра распределения  (MU) и значения случайной величины X. Размерность векторов или матриц X и MU должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера другого входного аргумента. Параметр  должен быть положительным числом.

Функция распределения вероятностей экспоненциального закона имеет вид

.

Результат расчета представляет собой значение вероятности F попадания случайной величины в интервал [0 X].

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; a=1; b=2.

>> X=0.5

X =

    0.5000

>> MU=1

MU =

     1

>> F = expcdf(X,MU)

F =

    0.3935

Использование векторного аргумента X=[0 0.3 0.6 0.9] и скалярного параметра MU=5.

>> X=[0 0.3 0.6 0.9]

X =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> MU=5

MU =

     5

>> F = expcdf(X,MU)

F =

         0    0.0582    0.1131    0.1647

График функции распределения вероятностей экспоненциального закона для параметра MU=[2 5 8].

>> X=0:1:20;

>> MU=2;

>> F1 = expcdf(X,MU);

>> MU=5;

>> F2 = expcdf(X,MU);

>> MU=8;

>> F3 = expcdf(X,MU);

>> plot(X,F1,X,F2,'.',X,F3,'+')

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение пределов интервала.

>> xmin=0.1;

>> xmax=0.2;

Параметры распределения.

>> MU=1;

Расчет вероятности P попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> expcdf(xmax,MU)-expcdf(xmin,MU)

ans =

    0.0861

 

 

Наверх

ecdf- Эмпирическая функция распределения на основе оценки Каплана-Мейера

Синтаксис:

[f,x] = ecdf(y)

[f,x,flo,fup] = ecdf(y)

[...] = ecdf(y,'param1',value1,'param2',value2,...)

Описание:

[f,x] = ecdf(y) - расчет значений эмпирической функции распределения на основе оценки Каплана-Мейера, где y – вектор исходных данных, f – вектор значений эмпирической функции распределения рассчитанной для упорядоченного ряда исходных данных х.

[[f,x,flo,fup] = ecdf(y) - кроме значений f и х позволяет определить нижнюю flo и верхнюю fup границы доверительных интервалов для значений эмпирической функции распределения. Расчет значений границ доверительных интервалов проводится по формуле Гринвуда.

[...] = ecdf(y,'param1',value1,'param2',value2,...) - дополнительные параметры 'param1', value1, 'param2', value2, ... задаются в виде строки и соответствующего ей вектора значений. Дополнительные параметры позволяют задать вид цензурированности наблюдений, частоту значений, уровень значимости и тип выходного результата. Возможные значения строковой переменной 'param' и функции вектора value приведены в следующей таблице:

Значение 'param'

Функции value

'censoring'

Вектор булевых значений с размерностью х. Если элемент вектора value равен 1, то результат наблюдения считается цензурированным справа, для value=0 - нецензурированным элементом. По умолчанию все наблюдения являются нецензурированными.

'frequency'

Вектор с размерностью х содержащий положительные целые значения. J-й элемент вектора показывает частоту появления j-го элемента вектора х. По умолчанию частота значений вектора х равна 1.

'alpha' 

Значение уровня значимости, служащей для расчета доверительной вероятности по формуле 100*(1-alpha)%. Величина alpha должна находиться в интервале [0 1]. По умолчанию alpha=0,05.

'function'

Тип выходного результата f. Возможные значения: 'cdf' – кумулятивная функция (по умолчанию), 'survivor' – функция выживаемости, 'cumulative hazard' – кумулятивная случайная функция.

Примеры:

Пример построения теоретической и эмпирической функции распределения с границами доверительных интервалов для выборки из 50 элементов, распределенных по экспоненциальному закону.

Генерация двух выборок y, d на 50 элементов распределенных по экспоненциальному закону с параметрами распределения равными 10 и 20 соответственно.

>> y = exprnd(10,50,1);

>> d = exprnd(20,50,1);

Исследуемая выборка t определяется как вектор минимальных значений при поэлементном сравнении элементов векторов y и d.

>> t = min(y,d);

Определение условий цензурирования значений исследуемой выборки t.

>> censored = (y>d);

Расчет значений эмпирической функции распределения и границ доверительных интервалов.

>> [f,x,flo,fup] = ecdf(t,'censoring',censored);

Ступенчатые графики эмпирической функции распределения и границ доверительных интервалов.

>> stairs(x,f);

>> hold on;

>> stairs(x,flo,'r:');

>> stairs(x,fup,'r:');

Расчет значений теоретической функции распределения экспоненциального закона с параметром распределения равным 10 и построение общего графика для названных функций.

>> xx = 0:.1:max(t);

>> yy = 1-exp(-xx/10);

>> plot(xx,yy,'g-')

>> grid on

>> hold off;

 

 

Наверх

fcdf- Функция распределения вероятностей закона Фишера

Синтаксис:

F = fcdf(X,V1,V2)

Описание:

fcdf(X,V1,V2) служит для расчета значения функции распределения вероятностей закона Фишера для параметров распределения V1, V2 и значения случайной величины X. Размерность векторов или матриц X, V1 и V2 должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры V1 и V2 должны быть положительными целыми числами.

Функция распределения Фишера имеет вид

.

Результат расчета представляет собой значение вероятности F попадания случайной величины в интервал [0 X].

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=0.5; V1=1; V2=2.

>> X=0.5

X =

    0.5000

>> V1=1

V1 =

     1

>> V2=2

V2 =

     2

>> F = fcdf(X,V1,V2)

F =

    0.4472

Использование векторного аргумента X=[0 1 2 3]; и скалярных параметров V1=1; V2=2.

>> X=[0 1 2 3]

X =

     0     1     2     3

>> V1=1

V1 =

     1

>> V2=2

V2 =

     2

>> F = fcdf(X,V1,V2)

F =

         0    0.5774    0.7071    0.7746

График функции распределения Фишера для параметров V1=[1 2 3]; V2=2.

>> X=0:1:10;

>> V1=5;

>> V2=20;

>> F1 = fcdf(X,V1,V2);

>> V1=10;

>> F2 = fcdf(X,V1,V2);

>> V1=25;

>> F3 = fcdf(X,V1,V2);

>> plot(X,F1,X,F2,'.',X,F3,'+')

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение пределов.

>> xmin=1;

>> xmax=3;

Параметры распределения.

>> V1=2;

>> V2=5;

Расчет вероятности P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> fcdf(xmax,V1,V2)- fcdf(xmin,V1,V2)

ans =

    0.2919

 

 

Наверх

logncdf - Функция распределения вероятностей логнормального закона

Синтаксис:

F = logncdf(x,mu,sigma)

Описание:

logncdf(x,mu,sigma) служит для расчета значения функции распределения вероятностей логнормального закона для параметров распределения mu (математического ожидания), sigma (среднего квадратического отклонения) и значения случайной величины х. Размерность векторов или матриц x, mu, sigma должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов.

Функция распределения вероятностей логнормального закона имеет вид

.

Примеры использования функции распределения вероятностей логнормального закона:

Использование скалярных аргументов x=0.5; mu=1; sigma=2.

>> x=0.5

x =

    0.5000

>> mu=1

mu =

     1

>> sigma=2

sigma =

     2

>> F = logncdf(x,mu,sigma)

F =

    0.1986

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0,9]; и скалярных параметров mu=1; sigma=2.

>> x=[0 0.3 0.6 0.9]

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> mu=1

mu =

     1

>> sigma=2

sigma =

     2

>> F = logncdf(x,mu,sigma)

F =

         0    0.1352    0.2250    0.2902

Рассмотрим вид функции распределения вероятностей логнормального закона в зависимости от значения mu при постоянном sigma=1.

>> x=0.05:0.01:10;

>> sigma=1;

>> mu=0;

>> f1 = logncdf(x,mu,sigma);

>> mu=1;

>> f2 = lognсdf(x,mu,sigma);

>> mu=2;

>> f3 = logncdf(x,mu,sigma);

>> plot(x,f1,'r',x,f2,'b',x,f3,'g')

>> grid on

Рассмотрим вид функции распределения вероятностей логнормального закона в зависимости от значения sigma при постоянном mu=0.

>> x=0.05:0.01:4;

>> mu=0;

>> sigma=1;

>> f1 = logncdf(x,mu,sigma);

>> sigma=2;

>> f2 = logncdf(x,mu,sigma);

>> sigma=3;

>> f3 = logncdf(x,mu,sigma);

>> plot(x,f1,'r',x,f2,'g',x,f3,'b')

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение пределов интегрирования.

>> xmin=1;

>> xmax=3;

Параметры распределения.

>> mu=0;

>> sigma=1;

Расчет вероятности P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> logncdf(xmax,mu,sigma) - logncdf(xmin,mu,sigma)

ans =

0.3640

 

 

Наверх

nbincdf - Функция распределения вероятностей отрицательного биномиального закона

Синтаксис:

F = nbincdf(X,R,P)

Описание:

nbincdf(X,R,P) возвращает значение функции распределения вероятностей отрицательного биномиального закона для случайной величины Х, параметра R и вероятности появления события в одном опыте P. Размерность векторов или матриц X, R, P должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Функция распределения вероятностей отрицательного биномиального закона имеет вид

,

где  - число сочетаний, которым можно выбрать i объектов из R+i-1, , q – вероятность обратного события, q=1-P.

Простейшим случаем применения функции распределения вероятностей отрицательного биномиального закона является расчет вероятности появления некоторого события при независимых испытаниях с постоянной вероятностью появления события в одном опыте Р. Число дополнительных испытаний, которое должно быть проведено, чтобы получить заданное число R успешных попыток имеет отрицательное биномиальное распределение. Более общая трактовка отрицательного биномиального распределения позволяет задавать параметр R как положительное вещественное число. Для вещественного R коэффициент биномиального распределения рассчитывается как , где  - Гамма-функция.

Примеры использования функции распределения вероятностей отрицательного биномиального закона:

Использование скалярных аргументов X=2, R=10, P=0.5

>> X=2

X =

     2

>>  R=10

R =

    10

>> P=0.5

P =

    0.5000

>> F = nbincdf(X,R,P)

F =

    0.0193

Расчет таблицы функции распределения для случайной величины X=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] и аргументов R=10, P=0.5

>> X=0:1:20;

>> R=10;

>> P=0.5;

>> F = nbincdf(X,R,P);

>> [X' F']

ans =

         0    0.0010

    1.0000    0.0059

    2.0000    0.0193

    3.0000    0.0461

    4.0000    0.0898

    5.0000    0.1509

    6.0000    0.2272

    7.0000    0.3145

    8.0000    0.4073

    9.0000    0.5000

   10.0000    0.5881

   11.0000    0.6682

   12.0000    0.7383

   13.0000    0.7976

   14.0000    0.8463

   15.0000    0.8852

   16.0000    0.9157

   17.0000    0.9390

   18.0000    0.9564

   19.0000    0.9693

   20.0000    0.9786

Графическое представление функции распределения

>> plot(X,f,'+')

 

Наверх

ncfcdf- Функция распределения вероятностей смещенного закона Фишера

Синтаксис:

F = ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA)

Описание:

ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA)позволяет рассчитать значения функции распределения вероятностей смещенного закона Фишера для значений случайной величины Х, степеней свободы NU1, NU2 и положительного параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц X, NU1, NU2, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов.

Функция распределения вероятностей определяется по формуле

,

где I(x|a,b) – неполная бета функция с параметрами a и b.

Примеры использования функции распределения вероятностей смещенного закона Фишера:

Использование скалярных аргументов X=0.1; NU1=5; NU2=8; DELTA=1.

>> X=0.1

X =

0.1000

>> NU1=5

NU1 =

5

>> NU2=8

NU2 =

8

>> DELTA=1

DELTA =

1

>> F = ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA)

F =

0.0068

Использование векторной случайной величины X=0:0.1:1 и скалярных аргументов NU1=5; NU2=8; DELTA=1.

>> X=0:0.1:1;

>> NU1=5;

>> NU2=8;

>> DELTA=1;

>> F = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> [X' F']

ans =

0 0

0.1000 0.1555

0.2000 0.3243

0.3000 0.4448

0.4000 0.5172

0.5000 0.5518

0.6000 0.5595

0.7000 0.5490

0.8000 0.5269

0.9000 0.4980

1.0000 0.4656

Исследование влияния коэффициента смещения DELTA=[0 1 2] на вид функции распределения вероятностей смещенного закона Фишера.

>> X=0:0.1:5;

>> NU1=5;

>> NU2=8;

>> DELTA=0;

>> f1 = ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> DELTA=1;

>> f2 = ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> DELTA=2;

>> f3 = ncfcdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

>> grid on

 

 

Наверх

nctcdf - Функция распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента (смещенного t распределения)

Синтаксис:

F = nctcdf(X,NU,DELTA)

Описание:

nctcdf(X,NU,DELTA) позволяет рассчитать величину функции распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента для значений случайной величины Х, степени свободы NU и параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц X, NU, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Примеры использования функции распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента:

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервал . Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение границ интервала.

>> xmin=0;

>> xmax=2;

Параметры распределения.

>> NU =1;

>> DELTA =4;

Расчет вероятности P попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> nctcdf(xmax,NU,DELTA)- nctcdf(xmin,NU,DELTA)

ans =

0.0736

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы от  до 0; 1; 2; 3.

>> X=[0 1 2 3];

>> NU =10;

>> DELTA =0;

>> F=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> [X' F']

ans =

0 0.5000

1.0000 0.8296

2.0000 0.9633

3.0000 0.9933

Исследование влияния параметра смещения DELTA на вид функции распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента при числе степеней свободы NU=5.

>> X=-5:0.1:5;

>> NU =5;

>> DELTA =0;

>> F1=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> DELTA =1;

>> F2=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> DELTA =2;

>> F3=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> plot(X,F1, X,F2,'.', X,F3,':')

>> grid on

Исследование влияния числа степеней свободы NU и параметра смещения DELTA на вид функции распределения.

>> [NU X] = meshgrid([1:1:20], [-5:0.1:5]);

>> DELTA=0;

>> F=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> subplot(2,2,1)

>> surf(NU,X,F)

>> DELTA=1;

>> F=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> subplot(2,2,2)

>> surf(NU,X,F)

>> DELTA=2;

>> F=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> subplot(2,2,3)

>> surf(NU,X,F)

>> DELTA=4;

>> F=nctcdf(X,NU,DELTA);

>> subplot(2,2,4)

>> surf(NU,X,F)

 

 

Наверх

ncx2cdf - Функция вероятностей смещенного распределения хи-квадрат

Синтаксис:

F = ncx2cdf(X,V,DELTA)

Описание:

ncx2cdf(X,V,DELTA) служит для расчета значений функции вероятностей смещенного распределения хи-квадрат для значений случайной величины Х, степени свободы V и параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц X, V, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов.

В некоторых литературных источниках это распределение называется обобщенным законом Релея, законом Релея-Райса, распределением Райса.

Примеры использования функции вероятностей смещенного распределения хи-квадрат:

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервал . Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение границ интервала.

>> xmin=1;

>> xmax=2;

Параметры распределения.

>> V =10;

>> DELTA =2;

Расчет вероятности P попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> ncx2cdf(xmax,V,DELTA) - ncx2cdf(xmin,V,DELTA)

ans =

0.0015

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы от  до 0; 1; 2; 3.

>> X=[0 1 2 3];

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> F= ncx2cdf(X,V,DELTA);

>> [X' F']

ans =

0 0

1.0000 0.0001

2.0000 0.0024

3.0000 0.0127

Исследование влияния числа степеней свободы V и параметра смещения DELTA на вид функции распределения вероятностей хи-квадрат.

>> X=0:0.1:20;

>> V =5;

>> DELTA =0;

>> F1=ncx2cdf (X,V,DELTA);

>> DELTA =1;

>> F2=ncx2cdf (X,V,DELTA);

>> DELTA =2;

>> F3= ncx2cdf (X,V,DELTA);

>> subplot(2,2,1)

>> plot(X,F1, X,F2,'.', X,F3,':')

>> grid on

Вид поверхности функции распределения вероятностей хи-квадрат в зависимости от параметров V, DELTA.

>> [V X] = meshgrid([1:1:20], [0:0.5:20]);

>> DELTA=0;

>> F=ncx2cdf (X,V,DELTA);

>> subplot(2,2,2)

>> surf(V,X,F)

>> DELTA=2;

>> F=ncx2cdf (X,V,DELTA);

>> subplot(2,2,3)

>> surf(V,X,F)

>> DELTA=5;

>> F=ncx2cdf (X,V,DELTA);

>> subplot(2,2,4)

>> surf(V,X,F)

 

 

Наверх

normcdf - Функция распределения вероятностей нормального закона

Синтаксис:

F = normcdf(X,MU,SIGMA)

Описание:

normcdf(X,MU,SIGMA) служит для расчета значений функции распределения вероятностей нормального закона для значений случайной величины Х, математического ожидания MU и среднего квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или матриц X, MU, SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения SIGMA должно быть положительным.

Функция распределения вероятностей нормального закона имеет вид

.

Величина F представляет собой вероятность падания случайной величины в интервал .

Стандартное нормальное распределение имеет параметры распределения равные MU=0 и SIGMA=1.

Примеры использования функции распределения вероятностей нормального закона:

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х, распределенной по закону стандартизованного нормального распределения, в интервал .

Определение границ интервала.

>> xmin=1;

>> xmax=2;

Параметры распределения.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

Расчет вероятности P попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> normcdf(xmax,MU,SIGMA) - normcdf(xmin,MU,SIGMA)

ans =

0.1359

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы , .

>> X=[1 2 3];

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> F= 2* (normcdf(X,MU,SIGMA) - normcdf(0,MU,SIGMA));

>> [X' F']

ans =

1.0000 0.6827

2.0000 0.9545

3.0000 0.9973

Исследование влияния параметров MU, SIGMA на вид функции распределения вероятностей нормального закона.

>> X=-5:0.1:5;

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> F1= normcdf(X,MU,SIGMA);

>> SIGMA =2;

>> F2= normcdf(X,MU,SIGMA);

>> SIGMA =3;

>> F3= normcdf(X,MU,SIGMA);

>> subplot(2,2,1)

>> plot(X,F1, X,F2,'.', X,F3,':')

>> grid on

Вид поверхности функции распределения вероятностей нормального закона в зависимости от параметров MU, SIGMA.

>> [X SIGMA] = meshgrid([-5:0.1:5], [1:2/20:3]);

>> MU =0;

>> F= normcdf(X,MU,SIGMA);

>> subplot(2,2,2)

>> surf(X,SIGMA,F)

>> MU =2;

>> F= normcdf(X,MU,SIGMA);

>> subplot(2,2,3)

>> surf(X,SIGMA,F)

>> MU =4;

>> F= normcdf(X,MU,SIGMA);

>> subplot(2,2,4)

>> surf(X,SIGMA,F)

 

 

Наверх

poisscdf - Функция распределения вероятностей закона Пуассона

Синтаксис:

F = poisscdf(X,LAMBDA)

Описание:

poisscdf(X,LAMBDA) позволяет рассчитать значение функции распределения вероятностей закона Пуассона для случайной величины Х и параметра LAMBDA. Размерность векторов или матриц X, LAMBDA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение параметра LAMBDA должно быть положительным.

Функция распределения вероятностей Пуассона имеет вид

.

Примеры использования функции распределения вероятностей:

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервал [2 3].

Определение границ интервала.

>> xmin=2;

>> xmax=3;

Параметр распределения.

>> LAMBDA =5;

Расчет вероятности попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> poisscdf(xmax,LAMBDA) - poisscdf(xmin,LAMBDA)

ans =

       0.1404

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы от  до 0; 1; 2; 3.

>> X=[0 1 2 3];

>> LAMBDA =5;

>> F= poisscdf(X,LAMBDA);

>> [X' F']

ans =

               0  0.0067

       2.0000  0.1247

       1.0000  0.0404

       3.0000  0.2650

Рассмотрим решение задачи. Технологический процесс производства жестких магнитных носителей останавливается при наличии 4 и более сбойных секторов. Определить какова вероятность остановки процесса, если среднее число бракованных секторов равно 2.

Вероятность остановки процесса определяется как вероятность обратного события P, состоящего в том, что число бракованных секторов превысит критическое значение X=4 при среднем числе отказов LAMBDA=2.

>> X=4;

>> LAMBDA =2;

>> P= 1 - poisscdf(X, LAMBDA)

P =

0.0527

Исследование влияния параметра LAMBDA на вид функции распределения вероятностей закона Пуассона.

>> X=0:1:20;

>> LAMBDA =2;

>> F1= poisscdf(X,LAMBDA);

>> LAMBDA =5;

>> F2= poisscdf(X,LAMBDA);

>> LAMBDA =10;

>> F3 = poisscdf(X,LAMBDA);

>> plot(X,F1,'g', X,F2,'r', X,F3,'b')

>> grid on

 

 

Наверх

raylcdf - Функция распределения вероятностей закона Релея

Синтаксис:

F = raylcdf(X,B)

Описание:

raylcdf(X,B) служит для расчета значений функции распределения вероятностей закона Релея для случайной величины Х и параметра B. Размерность векторов или матриц X, B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Функция распределения вероятностей закона Релея имеет вид

.

Примеры использования функции распределения вероятностей закона Релея:

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервал [2 5].

Определение границ интервала.

>> xmin=2;

>> xmax=5;

Параметр распределения.

>> B = 5;

Расчет вероятности попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> raylcdf(xmax,B)- raylcdf(xmin,B)

ans =

       0.3166

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы от 0 до 5; 6; 7; 8, при В=10.

>> X=[5 6 7 8];

>> B = 10;

>> F= raylcdf (X,B);

>> [X' F']

ans =

       5.0000  0.1175

       6.0000  0.1647

       7.0000  0.2173

       8.0000  0.2739

Исследование влияния параметра LAMBDA на вид функции распределения вероятностей закона Релея.

>> X=0:1:20;

>> B =2;

>> F1= raylcdf (X,B);

>> B =5;

>> F2= raylcdf (X,B);

>> B =10;

>> F3 = raylcdf (X,B);

>> plot(X,F1,'g', X,F2,'r', X,F3,'b')

>> grid on

 

 

Наверх

tcdf - Функция распределения вероятностей закона Стьюдента

Синтаксис:

F = tcdf(X,V)

Описание:

tcdf(X,V) служит для расчета значений функции распределения вероятностей закона Стьюдента для значений случайной величины Х и степени свободы V. Размерность векторов или матриц X, V должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение числа степеней свободы V должно быть положительным целым числом.

Вид функции распределения вероятностей закона Стьюдента

.

Результатом расчета по приведенной формуле является вероятность попадания случайной величины в интервал (-∞ Х] для заданной величины числа степеней свободы.

Примеры использования функции распределения вероятностей:

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервал [2 3].

Определение границ интервала.

>> xmin=2;

>> xmax=3;

Параметр распределения.

>> V =5;

Расчет вероятности попадания Х в интервал [xmin xmax].

>> tcdf(xmax,V) - tcdf(xmin,V)

ans =

       0.0359

Расчет вероятности попадания значения случайной величины Х в интервалы от  до 0; 1; 2; 3.

>> X=[0 1 2 3];

>> V =5;

>> F= tcdf (X,V);

>> [X' F']

ans =

               0  0.5000

       1.0000  0.8184

       2.0000  0.9490

       3.0000  0.9850

Рассмотрим решение задачи. В 10 пробах пива обнаружено среднее содержание этилового спирта 5,5% на единицу объема со средним квадратическим отклонением 0,5%. Какова вероятность, что действительное содержание этилового спирта менее 5%.

Стандартизованное значение случайной величины – объемной доли спирта составляет

>> t = (5.0 - 5.5) / 0.5;

Вероятность попадания случайной величины в интервал от 0,5% до 5,5% составляет

>> probability = tcdf(t,10 - 1)

0.1717

 

 

Наверх

betapdf- Функции плотности вероятности бета распределения

Синтаксис:

f = betapdf(x,a,b)

Описание:

f = betapdf(x,a,b) предназначена для расчета значения функции плотности вероятности бета распределения для параметров распределения a, b и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц x, a и b должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры a и b должны быть положительными. Значение случайной величины x должно находиться в интервале [0 1].

Функция плотности вероятности бета распределения имеет вид

,

где  - Бета функция.

Выходной параметр f представляет собой значение функции плотности вероятности бета распределения для сочетания значений случайной величины x и параметров a, b. В частном случае при a=1 и b=1 бета распределение вырождается в равномерное.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; a=1; b=2.

>> x=0.5

x =

    0.5000

>> a=1

a =

     1

>> b=2

b =

     2

>> f = betapdf(x,a,b)

f =

     1

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0, 9]; и скалярных параметров a=1; b=2.

>> x=0:0.3:1

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> a=1

a =

     1

>> b=2

b =

     2

>> f = betapdf(x,a,b)

f =

         0    1.4000    0.8000   0.2000

Использование матричных аргумента x, параметра a и скалярного параметра b.

Определение матрицы x.

>> x=0:0.1:1

x =

  Columns 1 through 6 

         0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000

  Columns 7 through 11 

    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

         0         0         0         0         0

    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000

    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000

    0.3000    0.3000    0.3000    0.3000    0.3000

    0.4000    0.4000    0.4000    0.4000    0.4000

    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000

    0.6000    0.6000    0.6000    0.6000    0.6000

    0.7000    0.7000    0.7000    0.7000    0.7000

    0.8000    0.8000    0.8000    0.8000    0.8000

    0.9000    0.9000    0.9000    0.9000    0.9000

    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

Определение матрицы a.

>> a=ones(1,11)'

a =

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

>> a=[a*2 a*4 a*6 a*8 a*10]

a =

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

Задание скаляра b.

>> b=5

b =

     5

Расчет матрицы функции плотности вероятности бета распределения f.

>> f = betapdf(x,a,b)

f =

            0            0            0            0            0

    1.9683    0.1837    0.0083    0.0003    0.0000

    2.4576    0.9175    0.1652    0.0208    0.0021

    2.1609    1.8152    0.7351    0.2079    0.0473

    1.5552    2.3224    1.6722    0.8409    0.3401

    0.9375    2.1875    2.4609    1.9336    1.2219

    0.4608    1.5483    2.5082    2.8379    2.5825

    0.1701    0.7779    1.7153    2.6416    3.2719

    0.0384    0.2294    0.6606    1.3288    2.1496

    0.0027    0.0204    0.0744    0.1894    0.3878

            0            0            0            0            0

Рассмотрим изменение вида функции плотности вероятности бета распределения в зависимости от значения параметров a и b.

Сформируем матрицу x.

>> x=0:0.01:1;

>> x=[x' x' x' x' x'];

Определение матрицы a. Значения параметра a изменяется в последовательности 2, 4, 6, 8, 10.

>> a=ones(1,101)';

>> a=[a*2 a*4 a*6 a*8 a*10];

Функция плотности вероятности бета распределения для заданной последовательности a и значения параметра b=2.

>> b=2;

>> f = betapdf(x,a,b);

>> plot(x,f)

>> grid on

Вид функции плотности вероятности бета распределения для заданной последовательности a и значения параметра b=8

>> b=8;

>> f = betapdf(x,a,b);

>> plot(x,f)

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Вероятность попадания определяется по формуле .

Определение пределов интегрирования.

>> xmin=0.1;

>> xmax=0.2;

Параметры бета распределения.

>> a=1;

>> b=4;

Расчет вероятности P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> P=quad('betapdf',xmin,xmax,1.e-6,0,a,b)

P =

0.2465

 

 

 

 

 

Наверх

binopdf - Функции плотности вероятности биномиального распределения

Синтаксис:

f = binopdf(x,n,p)

Описание:

f = binopdf(x,n,p) служит для расчета значения функции плотности вероятности биномиального распределения для значения случайной величины x и параметров n, p. Размерность векторов или матриц x, n и p должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов.

Значение параметра n должно быть положительным целым. Значение параметра p должно находиться в интервале [0 1]. Значение случайной величины x должно быть целым, положительным и .

Функция плотности вероятности биномиального распределения имеет вид

,

где  - число сочетаний, которым можно выбрать x объектов из n, ,

- вероятность появления события в отдельном опыте,

 - вероятность отсутствия события в отдельном опыте.

Выходной параметр f представляет собой значение вероятности появления некоторого события x раз при n независимых испытаниях.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=5; n=10; p=0.7.

>> x=5

x =

     5

>> n=10

n =

    10

>> p=0.7

p =

    0.7000

>> f = binopdf(x,n,p)

f =

    0.1029

Использование векторного аргумента x=[1 2 3 4 5]; и скалярных параметров n=10; p=0.7.

>> x=1:5

x =

     1     2     3     4     5

>> n=10

n =

    10

>> p=0.7

p =

    0.7000

>> f = binopdf(x,n,p)

f =

    0.0001    0.0014    0.0090    0.0368    0.1029

Использование матричных аргумента x, параметра p и скалярного параметра n.

Определение матрицы x.

>> x=1:5

x =

     1     2     3     4     5

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

     1     1     1     1     1

     2     2     2     2     2

     3     3     3     3     3

     4     4     4     4     4

     5     5     5     5     5

Определение матрицы вероятностей появления события p в одном опыте.

>> p=ones(1,5)

p =

     1     1     1     1     1

>> p=p'

p =

     1

     1

     1

     1

     1

>> p=[p*0.1 p*0.3 p*0.5 p*0.7 p*0.9]

p =

    0.1000    0.3000    0.5000    0.7000    0.9000

    0.1000    0.3000    0.5000    0.7000    0.9000

    0.1000    0.3000    0.5000    0.7000    0.9000

    0.1000    0.3000    0.5000    0.7000    0.9000

    0.1000    0.3000    0.5000    0.7000    0.9000

Задание скаляра n.

>> n=10

n =

    10

Расчет матрицы значений функции плотности вероятности биномиального распределения f.

>> f = binopdf(x,n,p)

f =

    0.3874    0.1211    0.0098    0.0001    0.0000

    0.1937    0.2335    0.0439    0.0014    0.0000

    0.0574    0.2668    0.1172    0.0090    0.0000

    0.0112    0.2001    0.2051    0.0368    0.0001

    0.0015    0.1029    0.2461    0.1029    0.0015

Рассмотрим изменение вида функции плотности вероятности биномиального распределения для заданной последовательности p и значения параметра n=50.

Сформируем матрицу x.

>> x=1:30;

>> x=[x' x' x' x' x'];

Сформируем матрицу p. Значения параметра p будут меняться в последовательности 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.

>> p=ones(1,30)';

>> p=[p*0.2 p*0.3 p*0.4 p*0.5 p*0.6];

Рассмотрим вид функции плотности вероятности биномиального распределения для заданной последовательности p и значения параметра n=50.

>> n=50;

>> f = binopdf(x,n,p);

>> plot(x,f)

>> grid on

Рассмотрим решение с помощью Statistics Toolbox классической задачи из курса теории вероятностей. 

Выполняется контроль качества 200 изделий по одному параметру в день. Известно, что 2% изделий бракованные. Какова вероятность не обнаружить ни одного дефекта при контроле.

Вероятность обнаружения заданного количества дефектов определяется по формуле

,

где n=200;

p=0,02;

q=1-p=0,98;

x=0.

Подставим указанные значения в функцию binopdf

>> f=binopdf(0,200,0.02)

f =

    0.0176

Каково наиболее вероятное значение i обнаруженных дефектов?

f = binopdf([0:200],200,0.02);

[x,i] = max(y);

i

i =

     5

 

 

Наверх

chi2pdf - Функция плотности вероятности распределения хи-квадрат

Синтаксис:

f = chi2pdf(x,v)

Описание:

f = chi2pdf(x,v) вычисляет значение функции плотности вероятности распределения  для параметра распределения v и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц x и v должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера другого входного аргумента. Размерность f соответствует максимальной размерности x или v. v – число степеней свободы, целое положительное число.

Функция плотности вероятности распределения  имеет вид

,

где  - Гамма-функция.

Выходной параметр f представляет собой значение плотности вероятности распределения  соответствующее числу степеней свободы v и значению случайной величины x.

Если x является стандартизованной случайной величиной распределенной по нормальному закону, то случайная величина  распределена по закону  с числом степеней свободы v=1. Сумма квадратов n стандартизованных случайных величин распределенных по нормальному закону x1, x2, …, xn имеет распределение  с числом степеней свободы v=n.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.1; v=10.

>> v=10

v =

   10

>> x=0.1

x =

    0.1000

>> f = chi2pdf(x,v)

f =

  1.2386e-007

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0, 9]; и скалярного параметра v=10.

>> x=[0 0.3 0.6 0.9]

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> v=10

v =

    10

>> f = chi2pdf(x,v)

f =

  1.0e-003 *

         0    0.0091    0.1250    0.5447

Использование матричного аргумента x и скалярного параметра v.

Определение матрицы x.

>> x=0:0.1:1

x =

  Columns 1 through 5 

         0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000

  Columns 6 through 10 

    0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000

  Column 11 

    1.0000

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

            0            0            0            0            0

    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000

    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000

    0.3000    0.3000    0.3000    0.3000    0.3000

    0.4000    0.4000    0.4000    0.4000    0.4000

    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000

    0.6000    0.6000    0.6000    0.6000    0.6000

    0.7000    0.7000    0.7000    0.7000    0.7000

    0.8000    0.8000    0.8000    0.8000    0.8000

    0.9000    0.9000    0.9000    0.9000    0.9000

    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

Определение числа степеней свободы v=5.

>> v=5

v =

     5

Расчет матрицы функции плотности вероятности распределения хи-квадрат.

>> f = chi2pdf(x,v)

f =

            0            0            0            0            0

    0.0040    0.0040    0.0040    0.0040    0.0040

    0.0108    0.0108    0.0108    0.0108    0.0108

    0.0188    0.0188    0.0188    0.0188    0.0188

    0.0275    0.0275    0.0275    0.0275    0.0275

    0.0366    0.0366    0.0366    0.0366    0.0366

    0.0458    0.0458    0.0458    0.0458    0.0458

    0.0549    0.0549    0.0549    0.0549    0.0549

    0.0638    0.0638    0.0638    0.0638    0.0638

    0.0724    0.0724    0.0724    0.0724    0.0724

    0.0807    0.0807    0.0807    0.0807    0.0807

Рассмотрим как изменяется вид функции плотности вероятности распределения хи-квадрат в зависимости от изменения значения числа степеней свободы v.

Сформируем матрицу x.

x=0:0.01:10;

x=[x' x' x' x' x'];

Сформируем матрицу v. Значения параметра v будут меняться в последовательности 2, 4, 6, 8, 10.

v=ones(1,1001)';

v=[v*2 v*4 v*6 v*8 v*10];

Рассмотрим вид функции плотности вероятности распределения хи-квадрат для заданной последовательности v.

f = chi2pdf(x,v)

plot(x,f)

grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Расчет ведется по формуле .

Определим пределы интегрирования.

>> xmin=0.1;

>> xmax=2;

Зададим число степеней свободы распределения хи-квадрат.

>> v=5;

Рассчитаем вероятность P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> P=quad('chi2pdf',xmin,xmax,1.e-6,0,v)

P =

    0.1507

 

 

Наверх

exppdf - Функция плотности вероятности экспоненциального распределения

Синтаксис:

f = exppdf(x,mu)

Описание:

f = exppdf(x,mu) служит для расчета значения функции плотности вероятности экспоненциального распределения для параметра распределения  (mu) и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц x и v должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера другого входного аргумента. Параметр  (mu) должен быть положительным числом.

Функция плотности вероятности экспоненциального распределения имеет вид

.

Экспоненциальное распределение можно рассматривать как гамма распределение с первым параметром равным единице.

Экспоненциальное распределение используется при моделировании времени ожидания некоторого события, когда вероятность его появления не зависит от времени ожидания прошедшего до текущего момента. Например, вероятность разрушения спирали лампы накаливания в следующий момент времени не зависит от времени ее эксплуатации.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=5; mu=2.

>> mu=2

mu =

     2

>> x=5

x =

     5

>> f = exppdf(x,mu)

f =

    0.0410

Использование векторного аргумента x=[0 3 6 9]; и скалярного параметра mu=2.

>> mu=2

mu =

     2

>> x=[0 3 6 9]

x =

     0     3     6     9

>> f = exppdf(x,mu)

f =

    0.5000    0.1116    0.0249    0.0056

Использование матричного аргумента x и скалярного параметра mu.

Определение матрицы x.

>> x=0:1:10

x =

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

     0     0     0     0     0

     1     1     1     1     1

     2     2     2     2     2

     3     3     3     3     3

     4     4     4     4     4

     5     5     5     5     5

     6     6     6     6     6

     7     7     7     7     7

     8     8     8     8     8

     9     9     9     9     9

    10    10    10    10    10

Определение числа степеней свободы mu=5.

>> mu=5

mu =

5

Расчет матрицы функции плотности вероятности экспоненциального распределения.

>> f = exppdf(x,mu)

f =

    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000

    0.1637    0.1637    0.1637    0.1637    0.1637

    0.1341    0.1341    0.1341    0.1341    0.1341

    0.1098    0.1098    0.1098    0.1098    0.1098

    0.0899    0.0899    0.0899    0.0899    0.0899

    0.0736    0.0736    0.0736    0.0736    0.0736

    0.0602    0.0602    0.0602    0.0602    0.0602

    0.0493    0.0493    0.0493    0.0493    0.0493

    0.0404    0.0404    0.0404    0.0404    0.0404

    0.0331    0.0331    0.0331    0.0331    0.0331

    0.0271    0.0271    0.0271    0.0271    0.0271

Рассмотрим как меняется вид функции плотности вероятности экспоненциального распределения в зависимости от изменения параметра mu.

Сформируем матрицу x

>> x=0:0.1:10;

>> x=[x' x' x' x' x'];

Сформируем матрицу mu. Значения параметра mu будут меняться в последовательности 2, 4, 6, 8, 10.

>> mu=ones(1,101)';

>> mu=[mu*2 mu*4 mu*6 mu*8 mu*10];

Рассмотрим вид функции плотности вероятности экспоненциального распределения для заданной последовательности значений mu.

>> f = exppdf(x,mu);

>> plot(x,f)

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Расчет выполняется по формуле .

Определим пределы интегрирования.

>> xmin=1;

>> xmax=2;

Зададим значение параметра mu экспоненциального распределения.

>> mu=5;

Расчет вероятности P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> P=quad('exppdf',xmin,xmax,1.e-6,0,mu)

P =

    0.1484

 

 

Наверх

fpdf - Функция плотности вероятности распределения Фишера

Синтаксис:

f = fpdf(x,v1,v2)

Описание:

f = fpdf(x,v1,v2) служит для расчета значения функции плотности вероятности распределения Фишера для параметров распределения v1, v2 и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц x, v1 и v2 должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры v1 и v2 должны быть положительными целыми. Значение случайной величины x должно находиться в интервале .

Функция плотности вероятности распределения Фишера имеет вид

.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; v1=1; v2=2.

>> x=0.5

x =

0.5000

>> v1=1

v1 =

1

>> v2=2

v2 =

2

>> f = fpdf(x,v1,v2)

f =

0.3578

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0, 9]; и скалярных параметров v1=1; v2=2.

>> v1=1

v1 =

     1

>> v2=2

v2 =

     2

>> x=[0 3 6 9]

x =

     0     3     6     9

>> f = fpdf(x,v1,v2)

f =

         0    0.0516    0.0180    0.0091

Использование матричных аргумента x, параметра v1 и скалярного параметра v2.

Определение матрицы x.

>> x=0:1:10

x =

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

     0     0     0     0     0

     1     1     1     1     1

     2     2     2     2     2

     3     3     3     3     3

     4     4     4     4     4

     5     5     5     5     5

     6     6     6     6     6

     7     7     7     7     7

     8     8     8     8     8

     9     9     9     9     9

    10    10    10    10    10

Определение матрицы v1.

>> v1=ones(1,11)'

v1 =

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

>> v1=[v1*2 v1*4 v1*6 v1*8 v1*10]

v1 =

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

Задание скаляра v2.

>> v2=5

v2 =

     5

Расчет матрицы функции плотности вероятности распределения Фишера f.

>> f = fpdf(x,v1,v2)

f =

             0             0             0             0             0

    0.3080    0.3976    0.4451    0.4749    0.4955

    0.1278    0.1520    0.1624    0.1682    0.1719

    0.0633    0.0682    0.0693    0.0697    0.0698

    0.0353    0.0351    0.0344    0.0339    0.0335

    0.0214    0.0200    0.0191    0.0185    0.0181

    0.0138    0.0123    0.0115    0.0111    0.0108

    0.0093    0.0080    0.0074    0.0070    0.0068

    0.0066    0.0055    0.0050    0.0047    0.0045

    0.0048    0.0039    0.0035    0.0033    0.0032

    0.0036    0.0028    0.0025    0.0024    0.0023

Рассмотрим изменение вида функции плотности вероятности распределения Фишера в зависимости от значений чисел степеней свободы v1 и v2.

Сформируем матрицу x.

>> x=0:0.1:10;

>> x=[x' x' x' x' x'];

Сформируем матрицу v1. Значения параметра v1 будут меняться в последовательности 2, 4, 6, 8, 10.

>> v1=ones(1,101)';

>> v1=[v1*2 v1*4 v1*6 v1*8 v1*10];

Рассмотрим вид функции плотности вероятности распределения Фишера для заданной последовательности v1 и значения параметра v2=5.

>> v2=5;

>> f = fpdf(x,v1,v2);

>> plot(x,f)

>> grid on

Вид функции плотности вероятности распределения Фишера для заданной последовательности v1 и значения параметра v2=2.

>> v2=2;

>> f = fpdf(x,v1,v2);

>> plot(x,f)

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. Расчет ведется по формуле .

Определим пределы интегрирования.

>> xmin=0.1;

>> xmax=2;

Зададим параметры распределения Фишера.

>> v1=2;

>> v2=4;

Рассчитаем вероятность P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> P=quad('fpdf',xmin,xmax,1.e-6,0,v1,v2)

P =

    0.6570

 

 

Наверх

gampdf - Функция плотности вероятности гамма распределения

Синтаксис:

f = gampdf(x,a,b)

Описание:

f = gampdf(x, a, b) служит для расчета значения функции плотности вероятности гамма распределения для параметров распределения a, b и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц x, a и b должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры a и b должны быть положительными. Значение случайной величины x должно находиться в интервале .

Функция плотности вероятности гамма распределения имеет вид

,

где  - Гамма – функция.

Гамма распределение используется в теории надежности для вероятностного описания времени безотказной работы устройств и технических объектов. Гамма распределение, в отличии от экспоненциального распределения, более адекватно описывает надежность работы объекта в следующий момент времени, зависящий от текущего момента на оси времени. Следует отметить, что экспоненциальное и  распределения являются частными случаями гамма распределения.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; a=1; b=2.

>> x=0.5

x =

    0.5000

>> a=1

a =

     1

>> b=2

b =

     2

>> f = gampdf(x,a,b)

f =

    0.3894

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0, 9]; и скалярных параметров a=1; b=2.

>> x=0:0.3:1

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> a=1

a =

     1

>> b=2

b =

     2

>> f = gampdf(x,a,b)

f =

    0.5000    0.4304    0.3704    0.3188

Использование матричных аргумента x, параметра a и скалярного параметра b.

Определение матрицы x.

>> x=0:0.1:1

x =

  Columns 1 through 6 

         0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000

  Columns 7 through 11 

    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

              0             0             0              0             0

    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000

    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000    0.2000

    0.3000    0.3000    0.3000    0.3000    0.3000

    0.4000    0.4000    0.4000    0.4000    0.4000

    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000

    0.6000    0.6000    0.6000    0.6000    0.6000

    0.7000    0.7000    0.7000    0.7000    0.7000

    0.8000    0.8000    0.8000    0.8000    0.8000

    0.9000    0.9000    0.9000    0.9000    0.9000

    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

Определение матрицы a.

>> a=ones(1,11)'

a =

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

>> a=[a*2 a*4 a*6 a*8 a*10]

a =

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

Задание скаляра b.

>> b=5

b =

5

Расчет матрицы функции плотности вероятности гамма распределения f.

>> f = gampdf(x,a,b)

f =

              0             0             0             0              0

    0.0039    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0077    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0113    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0148    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0181    0.0000    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0213    0.0001    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0243    0.0001    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0273    0.0001    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0301    0.0002    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0327    0.0002    0.0000    0.0000    0.0000

Рассмотрим изменение вида функции плотности вероятности гамма распределения в зависимости от значения параметров a и b.

Сформируем матрицу x.

>> x=0:0.01:10;

>> x=[x' x' x' x' x'];

Сформируем матрицу a. Значения параметра a будут меняться в последовательности 2, 4, 6, 8, 10.

>> a=ones(1,1001)';

>> a=[a*2 a*4 a*6 a*8 a*10];

Рассмотрим вид функции плотности вероятности гамма распределения для заданной последовательности a и значения параметра b=2.

>> b=2;

>> f = gampdf(x,a,b);

>> plot(x,f)

>> grid on

Вид функции плотности вероятности гамма распределения для заданной последовательности a и значения параметра b=8.

>> b=8;

>> x=0:0.01:50;

>> x=[x' x' x' x' x'];

>> a=ones(1,5001)';

>> a=[a*2 a*4 a*6 a*8 a*10];

>> f = gampdf(x,a,b);

>> plot(x,f)

>> grid on

Расчет вероятности попадания случайной величины x в интервал [xmin xmax]. % Расчет ведется по формуле .

Определим пределы интегрирования.

>> xmin=1;

>> xmax=20;

Параметры гамма распределения.

>> a=5;

>> b=8;

Расчет вероятности P попадания x в интервал [xmin xmax].

>> P=quad('gampdf',xmin,xmax,1.e-6,0,a,b)

P =

    0.1088

 

 

Наверх

geopdf - Функция плотности вероятности геометрического распределения

Синтаксис:

f = geopdf(x, p)

Описание:

f = geopdf(x, p) - расчета значения функции плотности вероятности геометрического распределения для вероятности появления события в одном опыте p и значения случайной величины x. Размерность векторов или матриц p и x должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение вероятности появления события p находится в интервале [0 1]. Случайная величина x является положительным целым случайным числом.

Функция плотности вероятности геометрического распределения имеет вид

,

где q – вероятность обратного события, q=1-p.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; p=0.5.

>> x=2

x =

     2

>> p=0.5

p =

    0.5000

>> f = geopdf(x, p)

f =

    0.1250

Использование векторного аргумента x=[0 1 2 3]; и скалярного параметра p=0.5.

>> x=[0 1 2 3]

x =

     0     1     2     3

>> p=0.5

p =

    0.5000

>> f = geopdf(x, p)

f =

    0.5000    0.2500    0.1250    0.0625

Ряд распределения случайной величины при p=0.5 и x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9].

>> p=0.5;

>> x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9];

>> f = geopdf(x, p);

>> [x’ f’]

ans =

             0    0.5000

    1.0000    0.2500

    2.0000    0.1250

    3.0000    0.0625

    4.0000    0.0313

    5.0000    0.0156

    6.0000    0.0078

    7.0000    0.0039

    8.0000    0.0020

    9.0000    0.0010

Значения функции распределения случайной величины рассчитываются по формуле ,  - k-е значение случайной величины из ряда распределения. Для вероятности появления события p в одном опыте p=0.5 и числе опытов x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]:

>> p=0.5;

>> x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9];

>> f = geopdf(x, p);

>> F = cumsum(f);

>> [x’ F’]

ans =

             0    0.5000

    1.0000    0.7500

    2.0000    0.8750

    3.0000    0.9375

    4.0000    0.9688

    5.0000    0.9844

    6.0000    0.9922

    7.0000    0.9961

    8.0000    0.9980

    9.0000    0.9990

График зависимости функции распределения случайной величины

>> bar (x, F, 1)

 

 

Наверх

hygepdf - Функция плотности вероятности гипергеометрического распределения

Синтаксис:

f = hygepdf(X,M,K,N)

Описание:

f = hygepdf(X,M,K,N) служит для расчета значений функции плотности вероятности гипергеометрического распределения для параметров распределения M, K, N и значения случайной величины X. Размерность векторов или матриц X, M, K, N должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных аргументов. Величины M, K, N, Х должны быть положительными целыми числами. Значения параметров M, N, K, Х должны удовлетворять следующим неравенствам: M≥N, M≥K, N≥ Х.

Функция плотности вероятности гипергеометрического распределения имеет вид

,

где  - количество вариантов выбора Х объектов из К, ; аналогично определяются величины  и .

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=2; K=3; M=5; N=10.

>> N=100

N =

   100

>> M=500

M =

   500

>> K=30

K =

    30

>> X=2

X =

     2

>> hygepdf(X,M,K,N)

ans =

    0.0308

Ряд распределения случайной величины Х=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] при M=500, N=100, K=50.

>> M=500

M =

   500

>> N=100

N =

   100

>> K=50

K =

    50

>> X=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] 

X =

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9

>> f = hygepdf(X,M,K,N)

>> [X' f']

ans =

             0    0.0000

    1.0000    0.0001

    2.0000    0.0007

    3.0000    0.0032

    4.0000    0.0103

    5.0000    0.0257

    6.0000    0.0515

    7.0000    0.0852

    8.0000    0.1189

    9.0000    0.1422

Функция распределения случайной величины Х=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] при M=500, N=100, K=50.

>> M=500;

>> N=100;

>> K=50;

>> X=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9];

>> f = hygepdf(X,M,K,N);

>> F = cumsum(f);

>> [x’ F’]

ans =

             0    0.0000

    1.0000    0.0001

    2.0000    0.0008

    3.0000    0.0040

    4.0000    0.0144

    5.0000    0.0401

    6.0000    0.0915

    7.0000    0.1767

    8.0000    0.2956

    9.0000    0.4378

График зависимости функции распределения случайной величины.

>> bar (x, F, 1)

Рассмотрим решение задачи статистического выборочного контроля качества. В партии из M=10000 шт. изделий находятся N=100 бракованных изделий. Для контроля производится выборка из 50 изделий. Партия считается принятой, если при контроле будет обнаружено не более 2 бракованных изделий. Какова вероятность забраковать партию?

>> M=10000 

M =

       10000

>> N=100

N =

   100

>> K=50

K =

    50

Партию забракуют, если будет обнаружено 3 и более несоответствующих изделий. Вероятность забраковать партию Р рассчитаем через обратное событие Q, P=1-Q.

>> X=0:1:2;

>> f = hygepdf(X,M,K,N);

>> X=0:1:2;

>> f = hygepdf(X,M,K,N)

f =

    0.6043    0.3067    0.0755

>> Q = sum(f)

Q =

    0.9865

>> P=1-Q

P =

    0.0135

 

 

Наверх

lognpdf - Функция плотности вероятности логнормального распределения

Синтаксис:

f = lognpdf(x,mu,sigma)

Описание:

f = lognpdf(x,mu,sigma) позволяет рассчитать значение функции плотности вероятности логнормального распределения для параметров распределения mu, sigma и значения случайной величины х. Размерность векторов или матриц x, mu, sigma должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов.

Функция плотности вероятности логнормального распределения имеет вид

.

Примеры:

Использование скалярных аргументов x=0.5; mu=1; sigma=2.

>> x=0.5

x =

    0.5000

>> mu=1

mu =

     1

>> sigma=2

sigma =

     2

>> f = lognpdf(x,mu,sigma)

f =

    0.2788

Использование векторного аргумента x=[0 0,3 0,6 0,9]; и скалярных параметров mu=1; sigma=2.

>> x=[0 0.3 0.6 0.9]

x =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> mu=1

mu =

     1

>> sigma=2

sigma =

     2

>> f = lognpdf(x,mu,sigma)

f =

         0    0.3623    0.2499    0.1902

Использование матричных аргумента x, параметра mu и скалярного параметра sigma.

Определение матрицы x.

>> x=0:1:10

x =

     0     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10

>> x=[x' x' x' x' x']

x =

     0     0     0     0     0

     1     1     1     1     1

     2     2     2     2     2

     3     3     3     3     3

     4     4     4     4     4

     5     5     5     5     5

     6     6     6     6     6

     7     7     7     7     7

     8     8     8     8     8

     9     9     9     9     9

    10    10    10    10    10

Определение матрицы mu.

>> mu=ones(1,11)'

mu =

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

     1

>> mu=[mu*2 mu*4 mu*6 mu*8 mu*10]

mu =

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

     2     4     6     8    10

Задание скаляра sigma.

>> sigma=4

sigma =

4

Расчет матрицы функции плотности вероятности логнормального распределения.

>> f = lognpdf(x,mu,sigma)

f =

             0             0             0             0             0

    0.0880    0.0605    0.0324    0.0135    0.0044

    0.0473    0.0354    0.0207    0.0094    0.0033

    0.0324    0.0256    0.0157    0.0075    0.0028

    0.0246    0.0201    0.0128    0.0064    0.0025

    0.0199    0.0167    0.0109    0.0056    0.0022

    0.0166    0.0143    0.0096    0.0050    0.0020

    0.0142    0.0125    0.0085    0.0045    0.0019

    0.0125    0.0111    0.0077    0.0042    0.0018

    0.0111    0.0100    0.0071    0.0039    0.0017

    0.0099    0.0091    0.0065    0.0036    0.0016

Рассмотрим вид функции плотности вероятности логнормального распределения в зависимости от значения параметра mu при постоянном sigma=1.

>> x=0.05:0.01:10;

>> sigma=1;

>> mu=0;

>> f1 = lognpdf(x,mu,sigma);

>> mu=1;

>> f2 = lognpdf(x,mu,sigma);

>> mu=2;

>> f3 = lognpdf(x,mu,sigma);

>> plot(x,f1,x,f2,x,f3)

>> grid on

Рассмотрим вид функции плотности вероятности логнормального распределения в зависимости от значения параметра sigma при постоянном mu=0.

>> x=0.05:0.01:4;

>> mu=0;

>> sigma=1;

>> f1 = lognpdf(x,mu,sigma);

>> sigma=2;

>> f2 = lognpdf(x,mu,sigma);

>> sigma=3;

>> f3 = lognpdf(x,mu,sigma);

>> plot(x,f1,':',x,f2,'.',x,f3)

>> grid on

 

 

Наверх

nbinpdf - Функция плотности отрицательного биномиального распределения

Синтаксис:

f = nbinpdf(X,R,P)

Описание:

f = nbinpdf(X,R,P) возвращает значение функции плотности вероятности отрицательного биномиального распределения для случайной величины Х, параметра R и вероятности появления события в одном опыте p. Размерность векторов или матриц X, R, P должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Для нецелых значений случайной величины Х функция плотности отрицательного биномиального распределения равна 0.

Функция плотности отрицательного биномиального распределения имеет вид

,

где  - число сочетаний, которым можно выбрать Х объектов из R+X-1, , q – вероятность обратного события, q=1-p.

Простейшим случаем применения функции плотности отрицательного биномиального распределения является расчет вероятности появления некоторого события при независимых испытаниях с постоянной вероятностью появления события в одном опыте Р. Число дополнительных испытаний которое должно быть проведено, чтобы получить заданное число R успешных попыток имеет отрицательное биномиальное распределение. Однако более общая трактовка отрицательного биномиального распределения позволяет задавать параметр R как положительное вещественное число. Для вещественного R коэффициент биномиального распределения рассчитывается как , где  - Гамма-функция.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=2, R=10, P=0.5

>> X=2

X =

     2

>>  R=10

R =

    10

>> P=0.5

P =

    0.5000

>> f = nbinpdf(X,R,P)

f =

    0.0134

Расчет ряда распределения для случайной величины X=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9] и аргументов R=10, P=0.5

>> X=0:1:20;

>> R=10;

>> P=0.5;

>> f = nbinpdf(X,R,P);

>> [X' f']

ans =

         0        0.0010

    1.0000    0.0049

    2.0000    0.0134

    3.0000    0.0269

    4.0000    0.0436

    5.0000    0.0611

    6.0000    0.0764

    7.0000    0.0873

    8.0000    0.0927

    9.0000    0.0927

   10.0000    0.0881

   11.0000    0.0801

   12.0000    0.0701

   13.0000    0.0593

   14.0000    0.0487

   15.0000    0.0390

   16.0000    0.0304

   17.0000    0.0233

   18.0000    0.0175

   19.0000    0.0129

   20.0000    0.0093

Графическое представление ряда распределения

>> plot(X,f,'+')

 

 

Наверх

ncfpdf - Функция плотности вероятности смещенного распределения Фишера (смещенного F распределения)

Синтаксис:

f = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA)

Описание:

f = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA) служит для расчета значений функции плотности вероятности смещенного распределения Фишера для значений случайной величины Х, степеней свободы NU1, NU2 и положительного параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц X, NU1 ,NU2 ,DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Распределение Фишера является частным случаем смещенного распределения Фишера с параметром DELTA равным 0. Увеличение параметра смещения DELTA приводит к смещению распределения в правую сторону с увеличением величины рассеяния (см. пример).

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=0.1; NU1=5; NU2=8; DELTA=1.

>> X=0.1

X =

    0.1000

>> NU1=5

NU1 =

     5

>> NU2=8

NU2 =

     8

>> DELTA=1

DELTA =

     1

>> f = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA)

f =

    0.1555

Использование векторной случайной величины X=0:0.1:1 и скалярных аргументов NU1=5; NU2=8; DELTA=1.

>> X=0:0.1:1;

>> NU1=5;

>> NU2=8;

>> DELTA=1;

>> f = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> [X' f']

ans =

             0             0

    0.1000    0.1555

    0.2000    0.3243

    0.3000    0.4448

    0.4000    0.5172

    0.5000    0.5518

    0.6000    0.5595

    0.7000    0.5490

    0.8000    0.5269

    0.9000    0.4980

    1.0000    0.4656

Исследование влияния коэффициента смещения DELTA=[0 1 2] на вид функции плотности вероятности смещенного распределения Фишера

>> X=0:0.1:5;

>> NU1=5;

>> NU2=8;

>> DELTA=0;

>> f1 = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> DELTA=1;

>> f2 = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> DELTA=2;

>> f3 = ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

 

 

Наверх

nctpdf - Функция плотности вероятности смещенного распределения Стьюдента (смещенного T распределения)

Синтаксис:

f = nctpdf(X,V,DELTA)

Описание:

f = nctpdf(X,V,DELTA) служит для расчета значений функции плотности вероятности смещенного распределения Стьюдента для значений случайной величины Х, степени свободы V и параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц X, NU1, NU2, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=0.1; V=5; DELTA=1.

>> X=0.1

X =

    0.1000

>> V=5

V =

     5

>> DELTA=1

DELTA =

     1

>> f = nctpdf(X,V,DELTA)

f =

    0.2543

Использование векторной случайной величины X=0:0.1:1 и скалярных аргументов V=10; DELTA=1.

>> X=0:0.1:1;

>> V=10;

>> DELTA=1;

>> f = nctpdf(X,V,DELTA);

>> [X' f']

ans =

             0    0.2360

    0.1000    0.2601

    0.2000    0.2836

    0.3000    0.3058

    0.4000    0.3261

    0.5000    0.3439

    0.6000    0.3586

    0.7000    0.3698

    0.8000    0.3772

    0.9000    0.3805

    1.0000    0.3798

Исследование влияния коэффициента смещения DELTA=[0 1 2] на вид функции плотности вероятности смещенного распределения Стьюдента

>> X=-5:0.1:5;

>> V=5;

>> DELTA=0;

>> f1 = nctpdf(X,V,DELTA);

>> DELTA=1;

>> f2 = nctpdf(X,V,DELTA);

>> DELTA=2;

>> f3 = nctpdf(X,V,DELTA);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

 

 

Наверх

ncx2pdf - Функция плотности вероятности смещенного распределения хи-квадрат

Синтаксис:

f = ncx2pdf(X,V,DELTA)

Описание:

f = ncx2pdf(X,V,DELTA) служит для расчета значений функции плотности вероятности смещенного распределения хи-квадрат для значений случайной величины Х, степени свободы V и параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц X, V, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=0.1; V=5; DELTA=1.

>> X=0.1

X =

    0.1000

>> V=5

V =

     5

>> DELTA=1

DELTA =

     1

>> f = ncx2pdf(X,V,DELTA)

f =

    0.0025

Использование векторной случайной величины X=0:0.1:1 и скалярных аргументов V=10; DELTA=1.

>> X=0:0.1:1;

>> V=10;

>> DELTA=1;

>> f = ncx2pdf(X,V,DELTA);

>> [X' f']

ans =

             0             0

    0.1000    0.0000

    0.2000    0.0000

    0.3000    0.0000

    0.4000    0.0000

    0.5000    0.0000

    0.6000    0.0001

    0.7000    0.0001

    0.8000    0.0002

    0.9000    0.0003

    1.0000    0.0005

Исследование влияния коэффициента смещения DELTA=[0 1 2 3] на вид функции плотности вероятности смещенного распределения хи-квадрат

>> X=0:0.1:5;

>> V=5;

>> DELTA=0;

>> f1 = ncx2pdf(X,V,DELTA);

>> DELTA=1;

>> f2= ncx2pdf(X,V,DELTA);

>> DELTA=2;

>> f3=ncx2pdf(X,V,DELTA);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

 

 

Наверх

normpdf - Функция плотности вероятности нормального распределения

Синтаксис:

f = normpdf(X,MU,SIGMA)

Описание:

f = normpdf(X,MU,SIGMA) служит для расчета значений функции плотности вероятности нормального распределения для значений случайной величины Х, математического ожидания MU и среднего квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или матриц X, MU, SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения SIGMA должно быть положительным.

Функция плотности нормального распределения имеет вид

.

Стандартное нормальное распределение имеет параметры распределения равные MU=0 и SIGMA=1. Функция плотности стандартного нормального распределения имеет вид . Если случайная величина Х является стандартное нормальной случайной величиной, тогда случайная величина  распределена по нормальному закону с параметрами MU, SIGMA. Справедливо также и обратное утверждение если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то случайная величина  распределена по стандартному нормальному закону.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=0.1; MU=0; SIGMA=1.

>> X=0.1

X =

    0.1000

>>  MU=0

MU =

     0

>> SIGMA=1

SIGMA =

     1

>> f = normpdf(X,MU,SIGMA)

f =

    0.3970

Использование векторной случайной величины X=0:0.1:1 и скалярных параметров распределения MU =0; SIGMA =1.

>> X=0:0.1:1;

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> f = normpdf(X,MU,SIGMA);

>> [X' f']

ans =

             0    0.3989

    0.1000    0.3970

    0.2000    0.3910

    0.3000    0.3814

    0.4000    0.3683

    0.5000    0.3521

    0.6000    0.3332

    0.7000    0.3123

    0.8000    0.2897

    0.9000    0.2661

    1.0000    0.2420

Исследование влияния дисперсии D=[0 4 9] на вид функции плотности вероятности нормального распределения при нулевом математическом ожидании.

>> X=-9:0.2:9;

>>  MU=0;

>> SIGMA=sqrt(1);

>> f1 = normpdf(X,MU,SIGMA);

>> SIGMA=sqrt(4);

>> f2 = normpdf(X,MU,SIGMA);

>> SIGMA=sqrt(9);

>> f3 = normpdf(X,MU,SIGMA);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

 

 

Наверх

poisspdf - Функция плотности вероятности распределения Пуассона

Синтаксис:

f = poisspdf(X,LAMBDA)

Описание:

f=poisspdf(X,LAMBDA) возвращает значение функции плотности вероятности распределения Пуассона для случайной величины Х и параметра LAMBDA. Размерность векторов или матриц X, LAMBDA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение параметра LAMBDA должно быть положительным.

Функция плотности вероятности распределения Пуассона имеет вид

,

где Х может принимать целые неотрицательные значения. Функция плотности вероятности распределения Пуассона равна нулю если Х не является целым числом.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=2; LAMBDA=1.

>> X=2

X =

     2

>> LAMBDA=1

LAMBDA =

     1

>> f = poisspdf(X,LAMBDA)

f =

    0.1839

Использование векторной случайной величины X=0:1:10 и скалярного аргумента LAMBDA=2.

>> X=0:1:10;

>> LAMBDA=2;

>> f = poisspdf(X,LAMBDA);

>> [X' f']

ans =

             0    0.1353

    1.0000    0.2707

    2.0000    0.2707

    3.0000    0.1804

    4.0000    0.0902

    5.0000    0.0361

    6.0000    0.0120

    7.0000    0.0034

    8.0000    0.0009

    9.0000    0.0002

   10.0000    0.0000

Исследование влияния параметра LAMBDA=[1 2 4] на вид функции плотности вероятности смещенного распределения Пуассона

>> X=0:1:10;

>> LAMBDA=1;

>> f1 = poisspdf(X,LAMBDA);

>> LAMBDA=2;

>> f2 = poisspdf(X,LAMBDA);

>> LAMBDA=4;

>> f3 = poisspdf(X,LAMBDA);

>> plot(X,f1,'o',X,f2,'.',X,f3,'+')

Рассмотрим решение задачи. При производстве жестких дисков для винчестеров наблюдается в среднем 2 повреждения на 4ГБ дискового пространства. Такой уровень дефектности является приемлемым. Определить какова вероятность что жесткий диск не имеет дефектов.

Х – количество дефектов.

>> X=0

X =

     0

LAMBDA – среднее число дефектов на 4ГБ дисковой памяти.

>> LAMBDA=2

LAMBDA =

     2

>> p = poisspdf(X, LAMBDA)

p =

    0.1353

 

 

Наверх

mvnpdf - Функция плотности вероятности многомерного нормального распределения

Синтаксис:

f = mvnpdf(X)

f = mvnpdf(X,MU)

f = mvnpdf(X,MU,SIGMA)

Описание:

f = mvnpdf(X) возвращает матрицу f с размерностью n-1, содержащий значения функции плотности вероятности многомерного нормального распределения c нулевым средним и ковариационной матрицей, рассчитанной для каждого ряда матрицы Х с размерностью n–d. Ряды матрицы Х соответствуют наблюдениям, и столбцы – случайным переменным.

f = mvnpdf(X,MU) – возвращает значения функции плотности вероятности многомерного нормального распределения со средним MU и ковариационной матрицей, рассчитанной для каждого ряда матрицы Х. MU является матрицей с размерностью 1–d или n – d. Если MU является матрицей, функция плотности вероятности многомерного нормального распределения рассчитывается для каждого ряда матрицы Х с соответствующим значением матрицы MU. Если MU скалярное значение, то размерность MU увеличивается до размерности Х, а значения элементов матрицы принимаются равными скалярному аргументу.

f = mvnpdf(X,MU,SIGMA) возвращает значения функции плотности вероятности многомерного нормального распределения со средним MU и ковариационным моментом SIGMA, рассчитанные для каждого ряда матрицы Х. SIGMA является матрицей с размерностью d-d или массивом с размерностью d–d–n. В последнем случае функция плотности вероятности рассчитывается для каждого ряда Х с соответствующим третьим измерением массива SIGMA, так как mvnpdf вычисляет значение f(i) на основе X (i,:) и SIGMA (:,:,i). Если необходимо установить значение параметра MU по умолчанию при заданном массиве SIGMA используется операция [ ].

Если Х задан как вектор 1–d, его размерность увеличивается до максимальной размерности MU или до совпадения с размерностью SIGMA.

Функция плотности отрицательного многомерного нормального распределения для двух случайных величин , имеет вид

,

где ,  - средние квадратические отклонения , - коэффициент парной корреляции между ; - средние арифметические значения .

Функция плотности вероятности многомерного нормального распределения для параметров sigma1=1, sigma2=1, MX1=0, MX2=0, r=0 (рис. 1) и sigma1=1, sigma2=3, MX1=0, MX2=0, r=0 (рис. 1) имеет вид

>> sigma1=1;sigma2=1;MX1=0;MX2=0;r=0;

>> [X1 X2]=meshgrid([-3:0.1:3]);

>> f=1/(2.*pi.*sigma1.*sigma1.*sqrt(1-r.^2)).*exp(-1./(2.*(1-r.^2)).*((X1-MX1).^2./sigma1+(X2-MX2).^2./sigma2-2.*r.*(X1-MX1).^2.*(X2-MX2).^2./sigma1./sigma2));

>> surf(X1,X2,f)

>> sigma1=1;sigma2=3;MX1=0;MX2=0;r=0;

>> [X1 X2]=meshgrid([-3:0.1:3]);

>> f=1/(2.*pi.*sigma1.*sigma1.*sqrt(1-r.^2)).*exp(-1./(2.*(1-r.^2)).*((X1-MX1).^2./sigma1+(X2-MX2).^2./sigma2-2.*r.*(X1-MX1).^2.*(X2-MX2).^2./sigma1./sigma2));

>> surf(X1,X2,f)

Рис. 1 Рис. 2

Влияние коэффициента корреляции между случайными величинами на функцию плотности вероятности многомерного нормального распределения можно оценить из рис. 3 (r=0) и рис. 4 (r=3).

>> sigma1=1;sigma2=1;MX1=0;MX2=0;r=0;

>> [X1 X2]=meshgrid([-3:0.1:3]);

>> f=1/(2.*pi.*sigma1.*sigma1.*sqrt(1-r.^2)).*exp(-1./(2.*(1-r.^2)).*((X1-MX1).^2./sigma1+(X2-MX2).^2./sigma2-2.*r.*(X1-MX1).^2.*(X2-MX2).^2./sigma1./sigma2));

>> surf(X1,X2,f)

>> sigma1=1;sigma2=1;MX1=0;MX2=0;r=0.1;

>> [X1 X2]=meshgrid([-3:0.1:3]);

>> f=1/(2.*pi.*sigma1.*sigma1.*sqrt(1-r.^2)).*exp(-1./(2.*(1-r.^2)).*((X1-MX1).^2./sigma1+(X2-MX2).^2./sigma2-2.*r.*(X1-MX1).^2.*(X2-MX2).^2./sigma1./sigma2));

>> surf(X1,X2,f)

   

Рис. 3 Рис. 4

Примеры:

>> mu = [1 -1]

mu =

     1    -1

>> Sigma = [.9 .4; .4 .3]

Sigma =

    0.9000    0.4000

    0.4000    0.3000

>> X = mvnrnd(mu,Sigma,10)

X =

    0.5896   -1.2477

   -0.5801   -1.4485

    1.1189   -1.1528

    1.2729   -0.1155

   -0.0876   -1.5311

    2.1298   -0.4580

    2.1281   -0.1257

    0.9643   -0.9951

    1.3105   -0.8954

    1.1657   -1.2174

>> p = mvnpdf(X,mu,Sigma)

p =

    0.4295

    0.0921

    0.4005

    0.0425

    0.2464

    0.2346

    0.1339

    0.4787

    0.4528

    0.3342

 

 

Наверх

raylpdf - Функция плотности вероятности распределения Релея

Синтаксис:

f = raylpdf(X,B)

Описание:

f = raylpdf(X,B) возвращает значение функции плотности вероятности распределения Релея для случайной величины Х и параметра B. Размерность векторов или матриц X, B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Функция плотности вероятности распределения Релея имеет вид

.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=2; B=1.

>> X=2

X =

    2

>> B=1

B =

    1

>> f = raylpdf(X,B)

f =

    0.2707

Использование векторной случайной величины X=0:1:5 и скалярного параметра B=1.

>> X=0:1:5

X =

    0    1    2    3    4    5

>> B=1

B =

    1

>> f = raylpdf(X,B)

f =

    0    0.6065    0.2707    0.0333    0.0013    0.0000

Исследование влияния параметра В=[1 2 4] на вид функции плотности вероятности распределения Релея.

>> X=0:0.1:10;

>> B=1;

>> f1 = raylpdf(X,B);

>> B=2;

>> f2 = raylpdf(X,B);

>> B=4;

>> f3 = raylpdf(X,B);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

>> grid on

 

 

Наверх

pdf - Параметрическая функция плотности вероятности

Синтаксис:

f = pdf('name',X,A1,A2,A3)

Описание:

f = pdf('name',X,A1,A2,A3) возвращает значение функции плотности вероятности для случайной величины Х и параметров 'name', A1, A2, A3. Строковая переменная 'name' задает вид распределения в соответствии со следующей таблицей

Вид распределения

Переменная 'name'

Бета

'beta', 'Beta'

Биномиальное

'bino', 'Binomial'

Хи-квадрат

'chi2', 'Chisquare'

Экспоненциальное

'exp', 'Exponential'

Фишера

'f', 'F' 

Гамма

'gam', 'Gamma' 

Геометрическое

'geo', 'Geometric' 

Гипергеометрическое

'hyge', 'Hypergeometric' 

Логнормальное

'logn', 'Lognormal'

Отрицательное биномиальное

'nbin', 'Negative Binomial' 

Смещенное Фишера

'ncf', 'Noncentral F'

Смещенное Стьюдента

'nct', 'Noncentral T' 

Смещенное хи-квадрат

'ncx2', 'Noncentral Chi-square'

Нормальное

'norm', 'Normal' 

Пуассона

'poiss', 'Poisson'

Релея

'rayl', 'Rayleigh'

Стьюдента

't', 'T' 

Дискретное равномерное

'unid', 'Discrete Uniform' 

Непрерывное равномерное

'unif', 'Uniform' 

Вейбулла

'weib', 'Weibull' 

Параметры A1, A2, A3 являются параметрами перечисленных выше распределений. Последовательность и количество передаваемых параметров A1, A2, A3 должны соответствовать числу и последовательности передаваемым параметрам соответствующих функций распределения. Размерность векторов или матриц X, A1, A2, A3 должна быть одинаковой. Размерность параметров должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов.

Примеры:

Расчет значений функции плотности вероятности нормального распределения в диапазоне значений случайной величины X= -2:2, с математическим ожиданием равным 0 и средним квадратическим отклонением равным 1.

>> p = pdf('Normal',-2:2,0,1)

p =

    0.0540    0.2420    0.3989    0.2420    0.0540

График плотности вероятности стандартизованного нормального распределения.

>> p = pdf('Normal',-3:0.01:3,0,1);

>> plot(-3:0.01:3,p)

>> grid on

 

 

Наверх

tpdf - Функция плотности вероятности распределения Стьюдента

Синтаксис:

f = tpdf(X,V)

Описание:

f = tpdf(X,V) служит для расчета значений функции плотности вероятности распределения Стьюдента для значений случайной величины Х и степени свободы V. Размерность векторов или матриц X, V должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение числа степеней свободы V должно быть положительным целым числом.

Функция плотности вероятности распределения Стьюдента имеет вид

.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=2; V=10.

>> X=2

X =

    2

>> V=10

V =

    10

>> f = tpdf(X,V)

f =

    0.0611

Использование векторной случайной величины X=0:1:5 и скалярного параметра V=10.

>> X=0:1:5

X =

    0    1    2    3    4    5

>> V=10

V =

    10

>> f = tpdf(X,V)

f =

    0.3891    0.2304    0.0611    0.0114    0.0020    0.0004

Исследование влияния числа степеней свободы V=[10 20 40] на вид функции плотности вероятности распределения Стьюдента.

>> X=0:0.1:5;

>> V=2;

>> f1 = tpdf(X,V);

>> V=5;

>> f2 = tpdf(X,V);

>> V=50;

>> f3 = tpdf(X,V);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

>> grid on

 

 

Наверх

unidpdf - Функция плотности вероятности дискретного равномерного распределения

Синтаксис:

f = unidpdf(X,N)

Описание:

f = unidpdf(X,N) возвращает значение функции плотности вероятности дискретного равномерного распределения для случайной величины Х и параметра N. Размерность векторов или матриц X и N должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого аргумента. Значение параметра N должно быть целым и положительным.

Функция плотности вероятности дискретного равномерного распределения имеет вид

.

Величину f можно рассматривать как вероятность появления любого числа из ряда 1,…,N.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=2; N=10.

>> X=2

X =

    2

>> N=10

N =

    10

>> f = unidpdf(X,N)

f =

    0.1000

Использование векторной случайной величины X=0:1:5 и скалярного параметра N=10.

>> X=0:1:5

X =

    0    1    2    3    4    5

>> N=10

N =

    10

>> f = unidpdf(X,N)

f =

    0    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000    0.1000

Вид функции плотности вероятности дискретного равномерного распределения для N=10 и N=15

>> X=-2:1:25;

>> N=10;

>> f1 = unidpdf(X,N);

>> N=15;

>> f2 = unidpdf(X,N);

>> plot(X,f1,X,f2)

>> grid on

 

 

Наверх

weibpdf - Функция плотности вероятности распределения Вейбулла

Синтаксис:

f = weibpdf(X,A,B)

Описание:

f = weibpdf(X,A,B) возвращает значение функции плотности вероятности распределения Вейбулла для случайной величины Х и параметров A, B. Размерность векторов или матриц X, A, B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных параметров. Значения величин A и B должны быть положительными.

Функция плотности вероятности распределения Вейбулла имеет вид

.

Примеры:

Использование скалярных аргументов X=0.1; A=1; B=1.

>> X=0.1

X =

    0.1000

>> A=1

A =

     1

>> B=1

B =

     1

>> f = weibpdf(X,A,B)

f =

    0.9048

Использование векторной случайной величины X=0:0.1:1 и скалярных параметров распределения A=1; B=1.

>> A=1

A =

     1

>> B=1

B =

     1

>> X=0:0.1:1

X =

  Columns 1 through 8 

         0    0.1000    0.2000    0.3000    0.4000    0.5000    0.6000    0.7000

  Columns 9 through 11 

    0.8000    0.9000    1.0000

>> f = weibpdf(X,A,B)

f =

  Columns 1 through 8 

    1.0000    0.9048    0.8187    0.7408    0.6703    0.6065    0.5488    0.4966

  Columns 9 through 11 

    0.4493    0.4066    0.3679

Исследование влияния параметра A=[1 2 4] на вид функции плотности вероятности распределения Вейбулла при B=4.

>> B=4;

>> X=0:0.01:2;

>> A=1;

>> f1 = weibpdf(X,A,B);

>> A=2;

>> f2 = weibpdf(X,A,B);

>> A=4;

>> f3 = weibpdf(X,A,B);

>> plot(X,f1,X,f2,'.',X,f3,'+')

>> grid on

 

 

Наверх

chi2inv - Обратная функция распределения хи-квадрат

Синтаксис:

X = chi2inv(P,V)

Описание:

chi2inv(P,V) служит для расчета значения обратной функции распределения вероятностей  для параметра распределения V и значения вероятности появления значения случайной величины P. Размерность матриц V и P должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера другого входного аргумента. Число степеней свободы V должно быть целым положительным числом. Значение вероятности P должно находится в интервале [0 1].

Обратная функция распределения  имеет вид

,

где ,  - Гамма-функция.

Результат расчета X – квантиль распределения  соответствующая попаданию случайной величины в интервал (-∞ X] с вероятностью P при заданном числе степеней свободы V.

Примеры:

Определить квантиль распределения  с числом степеней свободы V=10 соответствующую 95% попадания значения случайной величины в интервал (-∞ X].

>> P=0.95;

>> V=10;

>> X = chi2inv(P,V)

X =

   18.3070

Вероятность получить значение случайной величины распределенной по закону  с V=10 более 18.3070 составляет 5%.

Вид обратной функции распределения вероятностей хи-квадрат при V=5; V=10; V=20.

>> P=0:0.01:1;

>> V=5;

>> X1 = chi2inv(P,V);

>> V=10;

>> X2 = chi2inv(P,V);

>> V=20;

>> X3 = chi2inv(P,V);

>> plot(P,X1,’r’, P,X2,’g’, P,X3,’b’)

>> grid on

 

 

Наверх

expinv - Обратная функция распределения вероятностей экспоненциального закона

Синтаксис:

X = expinv(P,MU)

Описание:

expinv(P,MU) cлужит для расчета значений квантилей экспоненциального закона для параметра распределения MU () и вероятности появления значения случайной величины P. Размерность векторов или матриц P и MU должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера другого входного аргумента. Параметр MU должен быть положительным числом. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Вид обратной функции распределения вероятностей экспоненциального закона

.

Результат расчета X – квантиль распределения экспоненциального закона, соответствующая попаданию случайной величины в интервал (-∞ X] с вероятностью P при заданной величине параметра MU.

Примеры:

Рассмотрим решение следующей задачи. Допустим, что время безотказной работы электрических ламп распределено по экспоненциальному закону с параметром µ = 700 часов. Определить среднее время безотказной работы ламп.

Зададим вероятность выхода из строя ламп на уровне 50%.

>> P=0.5;

Количество часов соответствующее 50% времени безотказной работы определяется как квантиль экспоненциального закона

>> MU=700;

>> expinv(P, MU)

ans =

    485.2030

Полученный результат означает, что из комплекта электрических ламп с 700 часовым средним временем жизни половина выйдет из строя менее чем через 500 часов эксплуатации.

Оценить зависимость времени безотказной работы лампы от среднего времени жизни µ и вероятности отказа P.

>> P=0:0.01:1;

>> MU=500;

>> X1=expinv(P, MU);

>> MU=1000;

>> X2=expinv(P, MU);

>> MU=1500;

>> X3=expinv(P, MU);

>> plot(P,X1,’r’, P,X2,’g’, P,X3,’b’)

>> grid on

 

 

Наверх

finv - Обратная функция распределения вероятностей закона Фишера

Синтаксис:

X = finv(P,V1,V2)

Описание:

finv(P,V1,V2) служит для расчета значения квантили закона Фишера для параметров распределения V1, V2 и значения вероятности P. Размерность векторов или матриц P, V1 и V2 должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры V1 и V2 должны быть положительными целыми числами. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Обратная функция распределения Фишера имеет вид

,

где - Гамма-функция.

Результат расчета X – квантиль распределения закона Фишера, соответствующая попаданию случайной величины в интервал (-∞ X] с вероятностью P при заданных значениях чисел степеней свободы V1, V2.

Примеры:

Определить значение квантили распределения Фишера со степенями свободы V1=5, V2=10 соответствующей 95% доверительной вероятности.

Определение параметров распределения

>> V1=5;

>> V2=10;

Определение доверительной вероятности

>> P=0.95;

>> X = finv(P,V1,V2)

X =

    3.3258

Полученный результат показывает, что только 5% значений случайной величины попадут в интервал (3.3258 +∞).

Зависимость квантили закона Фишера от вероятности P и чисел степеней свободы V1=5, V2=10.

>> [V1 P] = meshgrid([0:1:20], [0:0.05:1]);

>> V2=10;

>> X = finv(P,V1,V2);

>> subplot(2,1,1)

>> surf(V1,P,X)

>> [V2 P] = meshgrid([10:1:20], [0:0.05:1]);

>> V1=10;

>> X = finv(P,V1,V2);

>> subplot(2,1,2)

>> surf(V2,P,X)

 

 

Наверх

gaminv - Обратная функция вероятностей гамма распределения

Синтаксис:

X = gaminv(P,A,B)

Описание:

gaminv(P,A,B) позволяет рассчитать значения квантили гамма распределения с параметрами A, B и значением вероятности Р. Размерность векторов или матриц Р, A и B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов. Параметры A и B должны быть положительными. Значение вероятности Р должно быть в интервале [0 1].

Обратная функция вероятностей гамма распределения имеет вид

где ,  - Гамма – функция.

Поскольку не существует аналитического решения приведенного интегрального уравнения, для расчета значения квантили гамма распределения используется итеративная процедура поиска на основе метода Ньютона.

Примеры:

Использование скалярных аргументов P=0.5; A=1; B=2.

>> P=0.5

P =

    0.5000

>> A=1

A =

     1

>> B=2

B =

     2

>> X = gaminv(P,A,B)

X =

    1.3863

Использование векторного аргумента P=[0.1 0.3 0.6 0.9]; и скалярных параметров A=1; B=2.

>> P=[0.1 0.3 0.6 0.9]

P =

    0.1000    0.3000    0.6000    0.9000

>> A=1

A =

     1

>> B=2

B =

     2

>> X = gaminv(P,A,B)

X =

    0.2107    0.7133    1.8326    4.6052

Исследование влияния параметра A на вид обратной функции распределения вероятностей при В=1.

>> P=0:0.01:1;

>> B=1;

>> A=1;

>> X1 = gaminv(P,A,B);

>> A=2;

>> X2 = gaminv(P,A,B);

>> A=5;

>> X3 = gaminv(P,A,B);

>> plot(P,X1,'g',P,X2,'r',P,X3,'b')

>> grid on

Пример взаимосвязи между функцией распределения вероятностей и обратной функцией распределения.

>> x=1:5

x =

     1     2     3     4     5

>> a = 1:5;

>> b = 6:10;

>> P= gamcdf(1:5,a,b);

>> X = gaminv(P,a,b)

>> x==X

ans =

     1     1     1     1     1

 

 

Наверх

geoinv - Обратная функция распределения вероятностей геометрического закона

Синтаксис:

X = geoinv(Y,P)

Описание:

geoinv(Y,P) возвращает ближайшее наименьшее положительное целое число, соответствующее равному или большему значению Y возвращаемому функцией распределения вероятностей геометрического закона при заданных X и Р. Параметр Y является вероятностью появления Х благоприятных исходов при независимых испытаниях, где Р – вероятность благоприятного исхода в одном опыте.

Размерность векторов или матриц Р и Y должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значения вероятностей Р и Y должны находиться в интервале [0 1].

Примеры:

Вероятность правильного предсказания результата 10 бросков монеты подряд составляет менее 0,001. Рассчитать значение квантили соответствующей указанной вероятности.

>> P=0.999;

>> p=0.5;

>> X= geoinv(P,p)

X =

     9

Пример генерации псевдослучайных чисел распределенных по геометрическому закону обратным методом на основе использования обратной функции распределения.

>> X= rand(100,1);

>> Y= geoinv(X,0.5);

 

 

Наверх

hygeinv - Обратная функция распределения вероятностей гипергеометрического закона

Синтаксис:

X = hygeinv(P,M,K,N)

Описание:

hygeinv(P,M,K,N) возвращает ближайшее наименьшее целое число, соответствующее равному или большему значению P возвращаемому функцией распределения вероятностей гипергеометрического закона при заданных значениях X, M, K, N. Параметр Р является вероятностью извлечь Х дефектных изделий при N опытах без последующего возврата из партии M штук в которой K изделий бракованные.

Примеры:

Рассмотрим решение задачи. Имеется производство гибких дисков партиями по 1000 штук в каждой. Контрольная выборка составляет 50 дисков из партии. Партия принимается, если в ней обнаруживается менее 10 бракованных дисков с 99% вероятностью. Определить допустимое число бракованных дисков в выборке?

Квантиль Х, соответствующая допустимому числу бракованных дисков в партии определяется как

>> N=50;

>> K=10;

>> M=1000;

>> P=0.99;

>> X = hygeinv(P,M,K,N)

X =

     3

Чему равна медиана дефектных дисков в выборке из 50 единиц изделий из партии в 1000 штук? Число бракованных дисков в партии равно 10 изделиям.

>> N=50;

>> K=10;

>> M=1000;

>> P=0.5;

>> X = hygeinv(P,M,K,N)

X =

     0

Определить зависимость допустимого числа бракованных дисков в выборке из 50 элементов от вероятности их обнаружения и размера партии.

>> N=50;

>> K=10;

>> M=1000;

>> P=0:0.01:1;

>> X1 = hygeinv(P,M,K,N);

>> M=2000;

>> X2 = hygeinv(P,M,K,N);

>> M=3000;

>> X3 = hygeinv(P,M,K,N);

>> plot(P,X1,’r’, P,X2,’g’, P,X3,’b’)

>> grid on

 

 

Наверх

icdf - Обратные функции распределения случайных величин

Синтаксис

X = icdf('name',P,A1,A2,A3)

Описание

icdf('name',P,A1,A2,A3) возвращает значение квантили распределения для вероятности P и параметров 'name', A1, A2, A3. Строковая переменная 'name' задает вид распределения в соответствии со следующей таблицей

Вид распределения

Переменная 'name'

Бета

'beta', 'Beta'

Биномиальное

'bino', 'Binomial'

Хи-квадрат

'chi2', 'Chisquare'

Экспоненциальное

'exp', 'Exponential'

Фишера

'f', 'F' 

Гамма

'gam', 'Gamma' 

Геометрическое

'geo', 'Geometric' 

Гипергеометрическое

'hyge', 'Hypergeometric' 

Логнормальное

'logn', 'Lognormal'

Отрицательное биномиальное

'nbin', 'Negative Binomial' 

Смещенное Фишера

'ncf', 'Noncentral F'

Смещенное Стьюдента

'nct', 'Noncentral T' 

Смещенное хи-квадрат

'ncx2', 'Noncentral Chi-square'

Нормальное

'norm', 'Normal' 

Пуассона

'poiss', 'Poisson'

Релея

'rayl', 'Rayleigh'

Стьюдента

't', 'T' 

Дискретное равномерное

'unid', 'Discrete Uniform' 

Непрерывное равномерное

'unif', 'Uniform' 

Вейбулла

'weib', 'Weibull' 

 

Параметры A1, A2, A3 являются параметрами перечисленных выше распределений. Последовательность и количество передаваемых параметров A1, A2, A3 должны соответствовать числу и последовательности передаваемым параметрам соответствующих функций распределения. Размерность векторов или матриц X, A1, A2, A3 должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов.

Примеры использования параметрической обратной функции распределения вероятностей

Использование обратной функции распределения нормального закона.

>> P=0:0.01:1;

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> X1= icdf('Normal', P, MU, SIGMA);

>> SIGMA=2;

>> X2= icdf('Normal', P, MU, SIGMA);

>> SIGMA=3;

>> X3= icdf('Normal', P, MU, SIGMA);

>> plot(P,X1,'g',P,X2,'r',P,X3,'b')

>> grid on

 

 

Наверх

logninv - Обратная функция распределения вероятностей логнормального закона

Синтаксис:

X = logninv(P,MU,SIGMA)

Описание:

logninv(P,MU,SIGMA) служит для расчета квантили логнормального распределения при заданных математическом ожидании MU, среднем квадратическом отклонении SIGMA и вероятности Р. Размерность векторов или матриц P,MU,SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размера остальных входных аргументов. Среднее квадратическое отклонение SIGMA должно быть положительным числом. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Обратная функция распределения вероятностей логнормального закона имеет вид

,

где .

Примеры:

Использование скалярных аргументов P=0.5; MU=1; SIGMA=2.

>> P=0.5

P =

    0.5000

>> MU=1

MU =

     1

>> SIGMA=2

SIGMA =

     2

>> X = logninv(P,MU,SIGMA)

X =

    2.7183

Использование векторного аргумента P=[0 0,3 0,6 0,9]; и скалярных параметров MU=1; SIGMA=2.

>> P=[0 0.3 0.6 0.9]

P =

         0    0.3000    0.6000    0.9000

>> MU=1

MU =

     1

>> SIGMA=2

SIGMA =

     2

>> X = logninv(P,MU,SIGMA)

X =

        0    0.9524    4.5118   35.2725

Рассмотрим вид обратной функции распределения вероятностей логнормального закона в зависимости от значения SIGMA при постоянном MU=0.

>> P=0:0.01:1;

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> X1 = logninv(P, MU, SIGMA);

>> SIGMA=2;

>> X2= logninv(P, MU, SIGMA);

>> SIGMA=3;

>> X3= logninv(P, MU, SIGMA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

Наверх

nbininv - Обратная функция распределения вероятностей отрицательного биномиального закона

Синтаксис:

X = nbininv(Y,R,P)

Описание:

nbininv(Y,R,P) служит для расчета квантили отрицательного биномиального распределения с параметрами R,P и вероятности Y. Так как биномиальный закон описывает распределение дискретных случайных величин, nbininv возвращает ближайшее наименьшее целое число, соответствующее равному или большему значению Y возвращаемому функцией распределения вероятностей биномиального закона при заданных R и Р. Размерность векторов или матриц Y, R, P должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Простейшим случаем применения функции распределения вероятностей отрицательного биномиального закона является расчет числа удачных испытаний появления некоторого события при независимых испытаниях с постоянной вероятностью появления события в одном опыте Р. Число дополнительных испытаний Х, которое должно быть проведено, чтобы получить заданное число R успешных попыток имеет отрицательное биномиальное распределение. Более общая трактовка отрицательного биномиального распределения позволяет задавать параметр R как положительное вещественное число.

Примеры:

Рассмотрим решение следующей задачи. Сколько раз необходимо подбросить монету, чтобы с 99% вероятностью выпал “орел”?

Поскольку задача вписывается в модель отрицательного биномиального распределения, квантиль соответствующая заданной доверительной вероятности будет рассчитываться как

>> Y=0.99;

>> P=0.5;

>> R=10;

>> X= nbininv(Y,R,P) + 10

X =

    33

Поскольку для того, чтобы получить не менее 10 наблюдений “орлов” необходимо подбросить монету 10 раз в правой части последнего выражения подставлено постоянное слагаемое.

Построим график зависимости числа опытов X от вероятности P.

>> Y=0.5:0.01:1;

>> P=0.5;

>> R=10;

>> X= nbininv(Y,R,P) + 10;

>> plot(Y,X)

>> grid on

 

 

Наверх

ncfinv - Обратная функция распределения вероятностей смещенного закона Фишера

Синтаксис:

X = ncfinv(P,NU1,NU2,DELTA)

Описание:

ncfinv(P,NU1,NU2,DELTA) позволяет рассчитать значения квантили Х смещенного закона Фишера для значений вероятности P, степеней свободы NU1, NU2 и положительного параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц P, NU1, NU2, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов.

Примеры:

Использование скалярных аргументов P=0.1; NU1=5; NU2=8; DELTA=1.

>> P=0.1

P =

    0.1000

>> NU1=5

NU1 =

     5

>> NU2=8

NU2 =

     8

>> DELTA=1

DELTA =

     1

>> X = ncfinv(P,NU1,NU2,DELTA)

X =

    0.3635

Использование векторной величины P=0:0.1:1 и скалярных аргументов NU1=5; NU2=8; DELTA=1.

>> P=0:0.1:1;

>> NU1=5;

>> NU2=8;

>> DELTA=1;

>> X = ncfinv(P,NU1,NU2,DELTA);

>> [X' P']

ans =

         0         0

    0.3635    0.1000

    0.5500    0.2000

    0.7302    0.3000

    0.9229    0.4000

    1.1430    0.5000

    1.4103    0.6000

    1.7610    0.7000

    2.2795    0.8000

    3.2629    0.9000

       Inf    1.0000

Исследование влияния коэффициента смещения DELTA=[0 1 2] на вид обратной функции распределения вероятностей смещенного закона Фишера.

>> P=0:0.01:1;

>> NU1=5;

>> NU2=8;

>> DELTA=0;

>> X1 = ncfinv(P,NU1,NU2,DELTA);

>> DELTA=1;

>> X2 = ncfcdf(P,NU1,NU2,DELTA);

>> DELTA=2;

>> X3 = ncfcdf(P,NU1,NU2,DELTA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

Наверх

nctinv - Обратная функция распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента (смещенного t распределения)

Синтаксис

X = nctinv(P,NU,DELTA)

Описание

nctinv(P,NU,DELTA) позволяет рассчитать значение квантили смещенного закона Стьюдента для значений вероятности P, степени свободы NU и параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц P, NU, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента.

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента

Расчет квантилей смещенного закона Стьюдента для вектора вероятностей P=[0,1 0,3 0,6 0,9] при NU=10 и DELTA=1.

>> P=[0.1 0.3 0.6 0.9]

P =

         0.1    0.3000    0.6000    0.9000

>> NU=10

NU =

     10

>> DELTA=1

DELTA =

     1

>> X = nctinv(P,NU,DELTA)

X =

   -0.2914    0.4846    1.2963    2.5261

Рассмотрим вид обратной функции распределения в зависимости от значения числа степеней свободы при постоянном DELTA=2.

>> P=0:0.01:1;

>> DELTA=2;

>> NU=10;

>> X1 = nctinv(P,NU,DELTA);

>> NU=20;

>> X2 = nctinv(P,NU,DELTA);

>> NU=30;

>> X3 = nctinv(P,NU,DELTA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

Влияние параметра смещения на вид обратной функции распределения

>> P=0:0.01:1;

>> NU=20;

>> DELTA =1;

>> X1 = nctinv(P,NU,DELTA);

>> DELTA =5;

>> X2 = nctinv(P,NU,DELTA);

>> DELTA =10;

>> X3 = nctinv(P,NU,DELTA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

Наверх

ncx2inv - Обратная функция вероятностей смещенного распределения хи-квадрат

Синтаксис

X = ncx2inv(P,V,DELTA)

Описание

ncx2inv(P,V,DELTA) служит для расчета значений квантили смещенного распределения хи-квадрат для значения вероятности Р, степени свободы V и параметра смещения DELTA. Размерность векторов или матриц Р, V, DELTA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов. При расчете квантили Х в функции ncx2inv используется метод Ньютона

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей смещенного закона Стьюдента

Расчет квантилей смещенного закона хи-квадрат для вектора вероятностей P=[0,1 0,3 0,6 0,9] и V=10 и DELTA=1.

>> P=[0.1 0.3 0.6 0.9]

P =

         0.1    0.3000    0.6000    0.9000

>> V=10

V =

     10

>> DELTA=1

DELTA =

     1

>> X = ncx2inv(P,V,DELTA)

X =

    5.3658    8.0074   11.5261   17.5606

Рассмотрим вид обратной функции распределения в зависимости от значения числа степеней свободы при постоянном DELTA=2.

>> P=0:0.01:1;

>> P=0:0.01:1;

>> DELTA=2;

>> V=10;

>> X1 = ncx2inv(P,V,DELTA);

>> V=20;

>> X2 = ncx2inv(P,V,DELTA);

>> V=30;

>> X3 = ncx2inv(P,V,DELTA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

Влияние параметра смещения на вид обратной функции распределения

>> P=0:0.01:1;

>> P=0:0.01:1;

>> V=20;

>> DELTA =1;

>> X1 = ncx2inv(P,V,DELTA);

>> DELTA =5;

>> X2 = ncx2inv(P,V,DELTA);

>> DELTA =10;

>> X3 = ncx2inv(P,V,DELTA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

Наверх

norminv - Обратная функция распределения вероятностей нормального закона

Синтаксис

X = norminv(P,MU,SIGMA)

Описание

norminv(P,MU,SIGMA) служит для расчета значений квантили нормального закона для значений вероятности Р, математического ожидания MU и среднего квадратического отклонения SIGMA. Размерность векторов или матриц Р, MU, SIGMA должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение среднего квадратического отклонения SIGMA должно быть положительным. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Обратная функция распределения вероятностей нормального закона имеет вид

где

Квантиль Х является результатом решения приведенного интегрального уравнения равного значению вероятности Р при заданных параметрах нормального закона распределения MU, SIGMA.

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей нормального закона

Определить интервал значений случайной величины Х распределенной по стандартному нормальному закону, симметричный относительно математического ожидания, соответствующий 95% доверительной вероятности.

Значение вероятностей соответствующие левой и правой границам интервала.

>> PLeft=(1-0.95)/2

PLeft =

    0.0250

>> PRight=0.95+(1-0.95)/2

PRight =

    0.9750

 

Параметры стандартного нормального распределения

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> X = norminv([PLeft PRight], MU, SIGMA)

X =

   -1.9600    1.9600

 

Графическое представление интервала.

>> X=-3:0.01:3;

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> Xint = norminv([PLeft PRight], MU, SIGMA);

>> f=normpdf(X, MU, SIGMA);

>> t=unifpdf(X, Xint(1), Xint(2));

>> plot(X,f,X,t)

>> grid on

 

 

Наверх

poissinv - Обратная функция распределения вероятностей закона Пуассона

Синтаксис

X = poissinv(P,LAMBDA)

Описание

poissinv(P,LAMBDA) возвращает минимальное значение Х, для которого интегральная вероятность рассчитанная по функции распределения Пуассона больше или равна значению Р. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей

Рассмотрим решение следующей задачи. Среднее количество дефектов LAMBDA в изделии равно 2. Определить 95% процентиль количества дефектов.

>> LAMBDA=2;

>> P=0.95;

>> X = poissinv(P,LAMBDA)

X =

     5

Рассчитать медиану количества дефектов.

>> LAMBDA=0.5;

>> P=0.95;

>> X = poissinv(P,LAMBDA)

X =

     2

Вид функции количества дефектов в зависимости от среднего количества дефектов на одно изделие LAMBDA и вероятности их возникновения.

>> P=0:0.01:1;

>> LAMBDA =2;

>> X1 = poissinv(P,LAMBDA);

>> LAMBDA =5;

>> X2 = poissinv(P,LAMBDA);

>> LAMBDA =10;

>> X3 = poissinv(P,LAMBDA);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

 

Наверх

raylinv - Обратная функция распределения вероятностей закона Релея

Синтаксис

X = raylinv(P,B)

Описание

raylinv(P,B) служит для расчета значений квантили закона Релея для значений вероятности Р и параметра B. Размерность векторов или матриц Р и B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Примеры использования функции распределения вероятностей закона Релея

Расчет квантилей закона Релея для вектора вероятностей P=[0,1 0,3 0,6 0,9] при B=10.

>> P=[0.1 0.3 0.6 0.9]

P =

         0.1    0.3000    0.6000    0.9000

>> B=10

B =

     10

>> X = raylinv(P,B)

X =

    4.5904    8.4460   13.5373   21.4597

 

Рассмотрим вид обратной функции распределения в зависимости от значения параметра В.

>> P=0:0.01:1;

>> B=2;

>> X1 = raylinv(P,B);

>> B=5;

>> X2 = raylinv(P,B);

>> B=10;

>> X3 = raylinv(P,B);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

 

Наверх

tinv - Обратная функция распределения вероятностей закона Стьюдента

Синтаксис

X = tinv(P,V)

Описание

tinv(P,V) служит для расчета значений квантили закона Стьюдента для значений вероятности P и степени свободы V. Размерность векторов или матриц P, V должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого входного аргумента. Значение числа степеней свободы V должно быть положительным целым числом. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Вид обратной функции распределения вероятностей закона Стьюдента

где 

Квантиль Х является результатом решения интегрального уравнения равного Р при заданном числе степеней свободы.

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей

Рассчитать 99% процентиль t распределения со степенями свободы от 1 до 6.

>> V=1:6;

>> P=0.99;

>> percentile = tinv(P,V)

percentile =

   31.8205    6.9646    4.5407    3.7469    3.3649    3.1427

 

Зависимость обратной функции распределения от числа степеней свободы.

>> P=0:0.01:1;

>> V=2;

>> X1 = tinv(P,V);

>> V=5;

>> X2 = tinv(P,V);

>> V=20;

>> X3 = tinv(P,V);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

Наверх

unidinv - Обратная функция распределения вероятностей дискретного равномерного распределения

Синтаксис

X = unidinv(P,N)

Описание

unidinv(P,N) возвращает минимальное положительное целое Х, для которого функция распределения вероятностей дискретного равномерного распределения возвращает значение вероятности равное или большее величины Р при заданном параметре N. 

 

Размерность векторов или матриц Р и N должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности другого аргумента. Значение параметра N должно быть целым и положительным. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей дискретного равномерного распределения

Расчет квантилей дискретного равномерного закона для вектора вероятностей P=[0,1 0,3 0,6 0,9] при N=10.

>> P=[0.1 0.3 0.6 0.9]

P =

         0.1    0.3000    0.6000    0.9000

>> NU=10

NU =

     10

>> X = unidinv(P,N)

X =

     1     3     6     9

Рассмотрим вид обратной функции распределения в зависимости от значения параметра N.

>> P=0:0.1:1;

>> N=10;

>> X1 = unidinv(P,N);

>> N=20;

>> X2 = unidinv(P,N);

>> N=30;

>> X3 = unidinv(P,N);

>> plot(P,X1,'o',P,X2,'.',P,X3,'+')

>> grid on

 

 

 

Наверх

unifinv - Обратная функция распределения вероятностей непрерывного равномерного закона

Синтаксис

X = unifinv(P,A,B)

Описание

unifinv(P,A,B) возвращает значение квантили непрерывного равномерного закона для вероятности Р и параметров A, B. Размерность векторов или матриц Р, A, B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерностей других аргументов. Верхний предел распределения B должен быть больше нижнего предела A. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

 

Вид обратной функции распределения вероятностей непрерывного равномерного закона

где .

Стандартное непрерывное равномерное распределение имеет следующие параметры A=0, B=1.

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей

Расчет медианы стандартного непрерывного равномерного распределения.

>> A=0;

>> B=1;

>> P=0.5;

>> median = unifinv(P,A,B)

median =

    0.5000

Расчет 99% процентили непрерывного равномерного распределения с параметрами A=-1, B=1.

>> A=-1;

>> B=1;

>> P=0.99;

>> unifinv(P,A,B)

ans =

    0.9800

Вид обратной функции распределения непрерывного равномерного распределения.

>> P=0:0.01:1;

>> A=-1;

>> B=1;

>> X1 = unifinv(P,A,B);

>> A=-2;

>> B=2;

>> X2 = unifinv(P,A,B);

>> A=-3;

>> B=3;

>> X3 = unifinv(P,A,B);

>> plot(P,X1,'r',P,X2,'b',P,X3,'g')

>> grid on

 

 

Наверх

weibinv  - Обратная функция распределения вероятностей закона Вейбулла

Синтаксис

X = weibinv(P,A,B)

Описание

weibinv(P,A,B) служит для расчета значений квантили закона Вейбулла для вероятности Р и параметров A, B. Размерность векторов или матриц Р, A, B должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных параметров. Значения величин A и B должны быть положительными. Значение вероятности P должно находиться в интервале [0 1].

 

Вид обратной функции распределения вероятностей закона Вейбулла

Примеры использования обратной функции распределения вероятностей закона Вейбулла

Рассмотрим решение следующей задачи. Время безотказной работы электрических ламп распределено по закону Вйбулла с параметрами A=0,15 и B=0,24. Рассчитать медиану времени безотказной работы изделий в партии.

>> A=0.15;

>> B=0.24;

>> P=0.5;

>> median= weibinv(P,A,B)

median =

  588.4721

Рассчитать 90% процентиль времени безотказной работы изделий в партии.

>> A=0.15;

>> B=0.24;

>> P=0.9;

>> weibinv(P,A,B)

ans =

  8.7536e+004

Зависимость времени безотказной работы изделий в от параметров A и B партии.

Зависимость времени безотказной работы изделий в от параметров A и B партии.

>> A=0.15;

>> B=0.24;

>> P=0:0.01:1;

>> X= weibinv(P,A,B);

>> subplot(2,2,1)

>> plot (P,X)

>> grid on

>> [A P] = meshgrid([0.1:0.1:2], [0:0.05:1]);

>> B=2;

>> X = weibinv(P,A,B);

>> subplot(2,2,2)

>> surf(A,P,X)

>> [B P] = meshgrid([0.1:0.1:2], [0:0.05:1]);

>> A=5;

>> X = weibinv(P,A,B);

>> subplot(2,2,3)

>> surf(B,P,X)

>> [B A] = meshgrid([0.1:0.1:2], [1:0.2:5]);

>> P=0.5;

>> X = weibinv(P,A,B);

>> subplot(2,2,4)

>> surf(B,A,X)

 

 

Наверх

binornd - Функция генерации псевдослучайных чисел распределенных по биномиальному закону

Синтаксис

R = binornd(N,P)

R = binornd(N,P,m) 

R = binornd(N,P,m,n) 

Описание

R = binornd(N,P) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа распределенного по биномиальному закону для пары параметров N и P. Размерность векторов или матриц параметров N и P должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов.  

 

R = binornd(N,P,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по биномиальному закону для параметров N и P, где m - вектор размерностью 12 определяющий размерность матрицы R.  

R = binornd(N,p,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по биномиальному закону для параметров N и P. 

 

При генерации псевдослучайных чисел используется прямой метод, работающий согласно определению биномиального закона как суммы случайных чисел Бернулли.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенной паре параметров N и P.

>> N=100;

>> P=0.5;

>> R = binornd(N,P)

R =

    53

>> N=[10 20 30 40 50];

>> P=[0.2 0.3 0.5 0.7 0.9];

>> R = binornd(N,P)

R =

     2     5    12    21    41

Генерация вектора с размерностью 15 элементов псевдослучайных чисел.

>> N=100;

>> P=0.5;

>> m=[1 5];

>> R = binornd(N,P,m)

R =

    44    53    47    55    49

 

Другой вариант генерации вектора с размерностью 15.

>> N=100;

>> P=0.5;

>> m=1; n=5;

>> R = binornd(N,P,m,n)

R =

    48    47    52    49    45

 

Генерация матрицы с размерностью 55 элементов.

>> N=100;

>> P=0.5;

>> m=[5 5];

>> R = binornd(N,P,m)

R =

    45    46    44    44    51

    51    51    49    48    48

    53    51    47    52    45

    46    53    48    53    53

    53    59    52    51    53

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 55.

>> N=100;

>> P=0.5;

>> m=5; n=5;

>> R = binornd(N,P,m,n)

R =

    37    45    50    50    47

    49    41    45    42    53

    44    40    48    41    49

    50    45    46    45    52

    52    48    50    56    55

 

Оценка качества генерации псевдослучайных чисел в виде наложения гистограммы и функции случайной величины, приведенной к абсолютному масштабу.

>> N=100;

>> P=0.5;

>> N=9;

>> R = binornd(N,P,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=floor(min(R)):1: floor (max(R));

>> f=binopdf(X,N,P);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

chi2rnd - Функция генерации псевдослучайных чисел распределенных по закону хи-квадрат

Синтаксис

R = chi2rnd(V)

R = chi2rnd(V,m)

R = chi2rnd(V,m,n)

Описание

R = chi2rnd(V) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа распределенного по закону хи-квадрат для каждого значения параметра V.

 

R = chi2rnd(V,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по закону хи-квадрат для параметра V, где m - вектор размерностью 12 определяющий размерность матрицы R.

R = chi2rnd(V,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по закону хи-квадрат для параметра V.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра V.

>> V=10;

>> R = chi2rnd(V)

R =

    4.4268

>> V=[10 20 30 40 50];

>> R = chi2rnd(V)

R =

   13.9829   23.2734   26.5743   29.3867   57.3204

 

Генерация вектора с размерностью 15 элементов псевдослучайных чисел.

>> V=10;

>> m=[1 5];

>> R = chi2rnd(V,m)

R =

  10.2302   15.6096    9.4732    3.3293    9.2048

 

Другой вариант генерации вектора с размерностью 15.

>> V=10;

>> m=1; n=5;

>> R = chi2rnd(V,m,n)

R =

    3.6552   11.6533   13.8338    9.8985   10.0190

 

Генерация матрицы с размерностью 55 элементов.

>> V=10;

>> m=[5 5];

>> R = chi2rnd(V,m)

R =

   16.7829    9.0128    6.9741   14.9470    5.1372

   11.1580    7.5976    6.8432   10.2689   11.8798

   10.9589    6.5304   14.8066   11.7760   14.8122

    8.5577   10.9080    9.5915   10.6171    9.9286

    5.8218    9.3833   13.1405    5.1395    6.5166

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 55.

>> V=10;

>> m=5; n=5;

>> R = chi2rnd(V,m,n)

R =

    8.0671    5.7285    5.6716    6.3146    4.3965

  15.8682    5.2127   11.7063    6.7905    8.6128

    7.5513   29.6239    6.7613    5.0805   13.1623

    4.6136    7.9643    6.3317    7.4396    9.4257

  11.1463   12.4863    9.4614    6.4557   13.1582

 

Оценка качества генерации псевдослучайных чисел в виде наложения гистограммы и функции случайной величины,

приведенной к абсолютному масштабу.

>> V=10;

>> N=9;

>> R = chi2rnd(V,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= chi2pdf(X, V);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

exprnd - Функция генерации псевдослучайных чисел распределенных по экспоненциальному закону

Синтаксис

R = exprnd(MU)

R = exprnd(MU,m)

R = exprnd(MU,m,n)

Описание

R = exprnd(MU) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа распределенного по экспоненциальному закону для каждого значения параметра MU.

 

R = exprnd(MU,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по экспоненциальному закону для параметра MU, где m - вектор размерностью 12 определяющий размерность матрицы R.

R = exprnd(MU,m,n) генерирует матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по экспоненциальному закону для параметра MU.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра MU.

>> MU=0.4;

>> R = exprnd(MU)

R =

   1.8538

>> MU =[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

>> R = exprnd(MU)

R =

    0.1132    0.2735    0.1867    0.2105    0.3610

 

Генерация вектора с размерностью 15 элементов псевдослучайных чисел.

>> MU=0.4;

>> m=[1 5];

>> R = exprnd(MU,m)

R =

    0.2396    0.3699    0.2204    0.5180    0.0768

 

Другой вариант генерации вектора с размерностью 15.

>> MU=0.4;

>> m=1; n=5;

>> R = exprnd(MU,m,n)

R =

    0.1983    0.2589    0.1295    0.2067    0.0532

 

Генерация матрицы с размерностью 55 элементов.

>> MU=0.4;

>> m=[5 5];

>> R = exprnd(MU,m)

R =

    0.8634    1.0390    0.2762    0.0600    0.0560

    0.2429    0.0204    0.0665    1.0089    0.3951

    0.3584    0.4299    0.1137    0.4523    0.8419

    0.1864    0.1511    0.3710    0.9521    0.8141

    0.0849    0.3976    0.1848    0.2448    0.1543

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 55.

>> MU=0.4;

>> m=5; n=5;

>> R = exprnd(MU,m,n)

R =

    0.0352    0.0924    0.4238    0.1251    0.1011

    1.1498    0.6030    0.2987    0.1278    0.1153

    0.2855    0.3076    0.3149    1.4147    0.0581

    0.3950    0.0745    0.6821    1.0687    0.8324

    0.0582    0.2488    0.1619    1.0534    0.8260

 

Оценка качества генерации псевдослучайных чисел в виде наложения гистограммы и функции случайной величины,

приведенной к абсолютному масштабу.

>> MU=0.4;

>> N=9;

>> R = exprnd(MU,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= exppdf(X, MU);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

frnd - Функция генерации псевдослучайных чисел распределенных по закону Фишера

Синтаксис

R = frnd(V1,V2)

R = frnd(V1,V2,m)

R = frnd(V1,V2,m,n)

Описание

R = frnd(V1,V2) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа распределенного по закону Фишера для пары параметров V1 и V2. Размерность векторов или матриц параметров V1 и V2 должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов.

 

R = frnd(V1,V2,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по закону Фишера для параметров V1 и V2, где m - вектор размерностью 12 определяющий размерность матрицы R.

R = frnd(V1,V2,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по закону Фишера для параметров V1 и V2.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенной паре параметров V1 и V2.

>> V1=10;

>> V2=20;

>> R = frnd(V1,V2)

R =

    0.6319

>> V1=[10 20 30 40 50];

>> V2=[10 30 50 80 100];

>> R = frnd(V1,V2)

R =

    2.0895    1.6933    1.0552    1.1905    0.7795

 

Генерация вектора с размерностью 15 элементов псевдослучайных чисел.

>> V1=10;

>> V2=20;

>> m=[1 5];

>> R = frnd(V1,V2,m)

R =

   0.7154    0.3459    2.2092    0.5791    2.1545

Другой вариант генерации вектора с размерностью 15.

 

>> V1=10;

>> V2=20;

>> m=1; n=5;

>> R = frnd(V1,V2,m,n)

R =

    1.2178    0.3249    0.6064    1.1579    0.9735

Генерация матрицы с размерностью 55 элементов.

 

>> V1=10;

>> V2=20;

>> m=[5 5];

>> R = frnd(V1,V2,m)

R =

    1.1582    1.3797    0.4500    1.2340    0.6276

    0.6548    0.5900    1.9506    0.2532    0.7807

    0.2285    0.5503    1.0314    0.6213    0.5680

    2.2817    1.6037    0.6418    2.0780    1.0944

    0.9668    0.3549    0.3285    1.1812    1.8151

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 55.

 

>> V1=10;

>> V2=20;

>> m=5; n=5;

>> R = frnd(V1,V2,m,n)

R =

    1.4194    0.4185    0.8417    1.0677    0.5653

    0.9864    1.0538    0.7662    0.5136    0.6978

    0.9604    0.4686    1.7265    1.1150    2.4472

    0.9208    0.5839    3.3868    1.0073    0.5485

    1.0748    0.4043    1.9881    0.6960    0.9183

Оценка качества генерации псевдослучайных чисел в виде наложения гистограммы и функции случайной величины,

приведенной к абсолютному масштабу.

 

>> V1=10;

>> V2=20;

>> N=9;

>> R = frnd(V1,V2,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f=fpdf(X, V1,V2);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

gamrnd - Функция генерации псевдослучайных чисел по Гамма распределению

Синтаксис

R = gamrnd(A,B)

R = gamrnd(A,B,m)

R = gamrnd(A,B,m,n)

Описание

R = gamrnd(A,B) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по Гамма распределению для каждой пары параметров A и B. Размерность векторов или матриц параметров A и B должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов.

 

R = gamrnd(A,B,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов по Гамма распределению для параметров A и B.

R = gamrnd(A,B,m,n) ) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов по Гамма распределению для параметров A и B.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров A и B.

>> A=1;

>> B=2;

>> R = gamrnd(A,B)

R =

    0.1023

>> A=[1 2 3 4 5];

>> B=5;

>> R = gamrnd(A,B)

R =

    7.3237    7.5060    9.5972   36.0827   31.6181

 

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 14.

>> A=5;

>> B=7;

>> m=[1 4];

>> R = gamrnd(A,B,m)

R =

   34.2698   47.0043   23.1796   42.3183

 

Второй вариант генерации вектора с размерностью 14.

>> A=1;

>> B=3;

>> m=1; n=5;

>> R = gamrnd(A,B,m,n)

R =

    8.5476    3.1250    0.6205   13.8574    5.9222

 

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 44.

>> A=2;

>> B=3;

>> m=[4 4];

>> R = gamrnd(A,B,m)

R =

   10.1321    2.9526   14.7757    3.3462

    9.8778   12.1505    2.5314    8.7751

    4.4587    6.9010    1.8665    5.5206

    4.3094    2.2406    9.5973    9.3098

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 44.

>> A=1;

>> B=3;

>> m=4; n=4;

>> R = gamrnd(A,B,m,n)

R =

    1.8816    1.6965    2.4299    0.1323

    0.9560    2.9794    1.0934    1.9469

    3.5204    1.0583    1.4278    0.3830

    0.5284    1.8123    0.6889    5.2642

 

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

>> A=1;

>> B=3;

>> N=9;

>> R = gamrnd(A,B,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= gampdf(X, A,B);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

geornd - Функция генерации псевдослучайных чисел распределенных по геометрическому закону

Синтаксис

R = geornd(P)

R = geornd(P,m)

R = geornd(P,m,n)

Описание

R = geornd(P) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа распределенного по геометрическому закону для каждого значения параметра P.

 

R = geornd(P,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по геометрическому закону для параметра P.

R = geornd(P,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по геометрическому закону для параметра P.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра P.

>> P=0.4;

>> R = geornd(P)

R =

     2

>> P =[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

>> R = geornd(P)

R =

    13     0     0     3     6

 

Генерация вектора с размерностью 15 элементов псевдослучайных чисел.

>> P=0.4;

>> m=[1 5];

>> R = geornd(P,m)

R =

     0     3     2     0     2

 

Другой вариант генерации вектора с размерностью 15.

>> P=0.4;

>> m=1; n=5;

>> R = geornd(P,m,n)

R =

     1     5     0     1     1

 

Генерация матрицы с размерностью 55 элементов.

>> P=0.4;

>> m=[5 5];

>> R = geornd(P,m)

R =

     1     0     0     5     0

     2     1     0     0     8

     1     0     1     5     0

     2     3     1     1     0

     1     1     0     2     0

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 55.

>> P=0.4;

>> m=5; n=5;

>> R = geornd(P,m,n)

R =

     0     2     2     0     0

     1     0     1     0     1

     1     0     0     3     1

     3     1     0     3     1

     0     0     3     0     6

 

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

>> P=0.4;

>> N=9;

>> R = geornd(P,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):1:max(R);

>> f= geopdf(X, P);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

hygernd - Функция генерации псевдослучайных чисел распределенных по гипергеометрическому закону

Синтаксис

R = hygernd(M,K,N)

R = hygernd(M,K,N,m)

R = hygernd(M,K,N,m,n)

Описание

R = hygernd(M,K,N) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа распределенного по гипергеометрическому закону для сочетания параметров M, K, N. Размерность векторов или матриц параметров M, K, N должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов.

 

R = hygernd(M,K,N,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по гипергеометрическому закону для параметров M, K, N.

R = hygernd(M,K,N,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по гипергеометрическому закону для параметров M, K, N.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенному сочетанию параметров M, K, N.

>> M=50;

>> N=20;

>> K=7;

>> R = hygernd(M,K,N)

R =

    3

>> M=[100 200 300 400 500];

>> N=[10 30 50 80 100];

>> K=[5 10 30 60 80];

>> R = hygernd(M,K,N)

R =

     0     0     5    13     9

 

Генерация вектора с размерностью 15 элементов псевдослучайных чисел.

>> M=50;

>> N=20;

>> K=7;

>> m=[1 5];

>> R = hygernd(M,K,N,m)

R =

     0     2     3     1     2

 

Другой вариант генерации вектора с размерностью 15.

>> M=50;

>> N=20;

>> K=7;

>> m=1; n=5;

>> R = hygernd(M,K,N,m,n)

R =

    3     3     3     1     3

 

Генерация матрицы с размерностью 55 элементов.

>> M=50;

>> N=20;

>> K=7;

>> m=[5 5];

>> R = hygernd(M,K,N,m)

R =

     3     4     3     2     1

     2     3     4     4     1

     2     3     2     4     3

     3     1     2     2     2

     3     3     4     2     4

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 55.

>> M=50;

>> N=20;

>> K=7;

>> m=5; n=5;

>> R = hygernd(M,K,N,m,n)

R =

     2     2     1     2     3

     2     2     3     4     4

     6     2     4     2     0

     3     3     5     3     1

     2     1     2     5     4

 

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

>> M=50;

>> N=20;

>> K=7;

>> R = hygernd(M,K,N,[1 100]);

>> hist(R, 9)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f=hygepdf(X,M,K,N);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/9);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

iwishrnd - Функция генерации псевдослучайных чисел по обратному распределению Уишарта

Синтаксис

W=iwishrnd(SIGMA,df)

W=iwishrnd(SIGMA,df,DI)

[W,DI]=iwishrnd(SIGMA,df)

Описание

W=iwishrnd(SIGMA,df) служит для генерации матицы случайных чисел распределенных по обратному распределению Уишарта для ковариационной матрицы inv(SIGMA) с числом степеней свободы df.

 

W=iwishrnd(SIGMA,df,DI) в отличии от предыдущего варианта синтаксиса задается коэффициент Холецкого DI обратной ковариационной матрицы.

[W,DI]=iwishrnd(SIGMA,df) в отличии от первого варианта вызова функции кроме матрицы псевдослучайных чисел W возвращается значение коэффициента Холецкого DI, который может быть использован при последующих вызовах функции iwishrnd.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация псевдослучайных чисел по обратному распределению Уишарта.

>> SIGMA=pascal(3)

SIGMA =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

>> df=5

df =

     5

>> W=iwishrnd(A,df)

W =

    0.6011    0.1055    0.0229

    0.1055    2.1282    0.8601

    0.0229    0.8601    0.3753

 

Генерация псевдослучайных чисел по обратному распределению Уишарта и расчет коэффициента Холецкого DI.

>> SIGMA=pascal(3)

SIGMA =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

>> df=5

df =

     5

>> [W,DI]=iwishrnd(SIGMA,df)

W =

    2.4815    2.2623    0.5948

    2.2623    3.6664    1.5391

    0.5948    1.5391    0.7814

DI =

     1    -1     1

     0     1    -2

     0     0     1

 

Расчет псевдослучайных чисел согласно обратному распределению Уишарта и использование коэффициента

Холецкого DI при повторной генерации.

>> SIGMA=pascal(5)

SIGMA =

     1     1     1     1     1

     1     2     3     4     5

     1     3     6    10    15

     1     4    10    20    35

     1     5    15    35    70

>> df=10

df =

    10

>> [W,DI]=iwishrnd(SIGMA,df)

W =

    1.2555    2.9061    3.6567    1.9071    0.3948

    2.9061    7.5631    9.6383    5.1410    1.0714

    3.6567    9.6383   13.0949    7.3482    1.5956

    1.9071    5.1410    7.3482    4.3615    0.9920

    0.3948    1.0714    1.5956    0.9920    0.2357

DI =

     1    -1     1    -1     1

     0     1    -2     3    -4

     0     0     1    -3     6

     0     0     0     1    -4

     0     0     0     0     1

>> W=iwishrnd(SIGMA,df,DI)

W =

    2.6936    1.6496   -0.7085      -1.4002    -0.4610

    1.6496    7.8608    10.2487    6.1963      1.4143

   -0.7085   10.2487   17.2284    11.7529    2.8645

   -1.4002    6.1963    11.7529    8.3968      2.0935

   -0.4610    1.4143    2.8645      2.0935      0.5297

 

 

Наверх

lognrnd - Логнормальное распределение

Синтаксис

R = lognrnd(MU,SIGMA)

R = lognrnd(MU,SIGMA,m)

R = lognrnd(MU,SIGMA,m,n)

 

Описание

R = lognrnd(MU,SIGMA) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по логнормальному распределению с параметрами MU и SIGMA. Размерность векторов или матриц параметров MU и SIGMA должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность R равна размерности векторов или матриц параметров MU и SIGMA.

R = lognrnd(MU,SIGMA,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов по логнормальному распределению с параметрами MU и SIGMA, где m - вектор размерностью 12 определяющий размерность матрицы R.

 

R = lognrnd(MU,SIGMA,m,n) генерирует матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по логнормальному распределению с параметрами MU и SIGMA.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров MU, SIGMA.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> R = lognrnd(MU,SIGMA)

R =

    0.6488

>> A=[1 2 3 4 5];

>> B=5;

>> R = gamrnd(A,B)

R =

    7.3237    7.5060    9.5972   36.0827   31.6181

  

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 14.

 

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=[1 4];

>> R = lognrnd(MU,SIGMA,m)

R =

    0.1891    1.1335    1.3333    0.3178

  

Второй вариант генерации вектора с размерностью 14.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=1; n=4;

>> R = lognrnd(MU,SIGMA,m,n)

R =

    3.2901    3.2843    0.9631    1.3872

  

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 44.

 

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=[4 4];

>> R = lognrnd(MU,SIGMA,m)

R =

    1.1908    8.8745    1.0611    0.2628

    0.8297    0.8725    0.9088    2.0428

    2.0664    1.1207    0.4350    5.0711

    0.5553    2.9060    1.3423    0.5007

  

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 44.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=4; n=4;

>> R = lognrnd(MU,SIGMA,m,n)

R =

    2.3584    1.7703    2.0379    0.3005

    3.5043    0.6704    3.6337    0.9804

    0.2032    1.9937    1.9515    0.8549

    0.2367    2.2606    3.2898    0.2011

  

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> N=9;

>> R = lognrnd(MU,SIGMA,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= lognpdf(X,MU,SIGMA);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

mvnrnd - Многомерное нормальное распределение

Синтаксис

R = mvnrnd(MU,SIGMA)

R = mvnrnd(MU,SIGMA,cases)

 

Описание

R = mvnrnd(MU,SIGMA) генерирует матрицу n-d псевдослучайных чисел распределенных по многомерному нормальному закону с параметрами математического ожидания MU и ковариации SIGMA. Размерность матрицы MU n-d. Функция mvnrnd генерирует каждый ряд R на основе соответствующего ряда значений MU. Матрица SIGMA должна быть квадратной и положительно определенной. SIGMA может быть задана матрицей с размерностью d-d или 3-х мерным массивом с размерностью d-d-n. Если SIGMA задана как 3-х мерный массив, то каждый ряд R генерируется с использованием страницы массива SIGMA, т.е. R(i,:) генерируется с использованием MU(i,:) и SIGMA(:,:,i). Если MU задан как вектор с размерностью 1-d, то функция mvnrnd формирует матрицу размерности соответствующей размерности SIGMA.

r = mvnrnd(MU,SIGMA,cases) генерирует матрицу псевдослучайных чисел с размерностью cases-d распределенных по многомерному нормальному распределению для вектора средних MU с размерностью 1-d и матрицы SIGMA с размерностью d-d.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация псевдослучайных чисел по многомерному нормальному распределению.

 

>> MU=[0 1 2];

>> SIGMA=pascal(3)

SIGMA =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

>> R = mvnrnd(MU,SIGMA)

R =

   -0.8436    0.6541    3.6404

Генерация псевдослучайных чисел по многомерному нормальному распределению при условии, что SIGMA задана как 3-х мерный массив.

>> MU=[0 0 0; 1 1 1; 2 2 2];

>> SIGMA = cat(3, pascal(3), pascal(3) , pascal(3))

SIGMA(:,:,1) =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

SIGMA(:,:,2) =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

SIGMA(:,:,3) =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

>> R = mvnrnd(MU,SIGMA)

R =

   -0.3304   -0.8303   -1.3661

    0.8252   -0.1320    0.2033

    2.4409    3.7219    4.5051

  

Генерация двумерного нормального распределения и его графическое представление.

 

>> mu = [2 3];

>> sigma = [1 1.5; 1.5 3];

>> r = mvnrnd(mu,sigma,100);

>> plot(r(:,1),r(:,2),'+')

>> grid on

 

 

Наверх

mvtrnd - Многомерное распределение Стьюдента

Синтаксис

r = mvtrnd(C,df,cases)

 

Описание

r = mvtrnd(C,df,cases) функция возвращает матрицу псевдослучайных чисел распределенных по многомерному распределению, где С - матрица коэффициентов корреляции, df - число степеней свободы, cases - число генерируемых значений. Параметры df и cases могут быть скалярными величинами или векторами с одинаковой размерностью. Например, если р - число столбцов матрицы С, то матрица r будет сгенерирована с размерностью cases рядов и р столбцов.

Распределение строки матрицы r соответствует отношению вектора значений распределенных по многомерному нормальному распределению со средним равным нулю, дисперсией равной 1 и ковариационной матрицей С, деленного на независимую случайную величину распределенную по закону хи-квадрат с числом степеней свободы df.

 

C должна бать квадратной, симметричной и положительно определенной матрицей. Если диагональные элементы матрицы С не равны 1, то такая матрица считается ковариационной и mvtrnd преобразует ее в матрицу коэффициентов корреляции перед началом генерации.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация псевдослучайных чисел по многомерному t распределению.

>> df = 5;

>> С = [1 0.5;0.5 1];

>> cases = 5;

>> r = mvtrnd(C,df, cases)

r =

   -0.8143   -3.5264

    0.0171    0.2116

    0.3297    0.7272

    0.9883    0.4883

    0.6443    0.9432

 

 

Генерация псевдослучайных чисел по многомерному t распределению при условии, что вместо матрицы коэффициентов корреляции задана ковариационная матрица.

>> df = 8;

>> C = [0.2 0.2; 0.2 0.4];

>> cases = 8;

>> r = mvtrnd(C,df, cases)

r =

    0.0294   -1.1512

    1.0211    0.5235

   -1.7769   -1.8022

    0.7687   -0.4725

   -2.0229   -1.2128

   -2.1397   -3.0752

    0.5301    0.7748

   -0.1257   -1.3711

   

Генерация двумерного t распределения и его графическое представление.

>> df = 3;

>> С = [1 0.8;0.8 1];

>> r = mvtrnd(C,df,100);

>> plot(r(:,1),r(:,2),'+')

>> grid on

 

 

 

Наверх

nbinrnd - Отрицательное биномиальное распределение

Синтаксис

RND = nbinrnd(R,P)

RND = nbinrnd(R,P,m)

RND = nbinrnd(R,P,m,n)

 

Описание

RND = nbinrnd(R,P) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по отрицательному биномиальному распределению с параметрами R,P. Размерность векторов или матриц параметров R и P должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера другого входного аргумента. Размерность вектора или матрицы RND соответствует размерности R и P. 

RND = nbinrnd(R,P,m) позволяет получить вектор или матрицу псевдослучайных чисел на m элементов по отрицательному биномиальному распределению с параметрами P и R, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

RND = nbinrnd(R,P,m,n) генерирует матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по отрицательному биномиальному распределению с параметрами P и R.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел.

 

Генерация одного числа соответствующего определенной паре параметров R и P.

>> R=10;

>> P=0.5;

>> RND = nbinrnd(R,P)

RND =

     4

>> R=[10 20 30 40 50];

>> P=[0.2 0.3 0.5 0.7 0.9];

>> RND = nbinrnd(R,P)

RND =

    72    22    23    19     5

 

Генерация вектора с размерностью 1x5 элементов псевдослучайных чисел.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> m=[1 5];

>> RND = nbinrnd(R,P,m)

RND =

     4     4    10     6     5

 

Другой вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> m=1; n=5;

>> RND = nbinrnd(R,P,m,n)

RND =

   10     6    13     9     8

 

Генерация матрицы с размерностью 5x5 элементов.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> m=[5 5];

>> RND = nbinrnd(R,P,m)

RND =

     6     9    17     8     5

    11     8    13    15     8

     7     8     9     8    15

    14     8    14     8     8

     4    12     7    12     6

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 5x5.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> m=5; n=5;

>> RND = nbinrnd(R,P,m,n)

RND =

    20    10    22    12    13

    12    14     8    11     8

     4     2     4     8    12

    15     4     1    11    12

    17    12    15    11     4

 

Оценка качества генерации псевдослучайных чисел в виде наложения гистограммы и функции случайной величины,

приведенной к абсолютному масштабу.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> N=9;

>> RND = nbinrnd(R,P,[1 100]);

>> hist(RND, N)

>> grid on

>> X=floor(min(RND)):1: floor (max(RND));

>> f=nbinpdf(X,R,P);

>> ff=f*100*((max(RND)-min(RND))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

ncfrnd - Смещенное распределение Фишера

Синтаксис

R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA)

R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m)

R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m,n)

 

Описание

R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по смещенному F распределению с параметрами NU1,NU2,DELTA. Размерность векторов или матриц параметров NU1,NU2,DELTA должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность R равна размерности векторов или матриц параметров NU1,NU2,DELTA.

R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m) позволяет получить вектор или матрицу псевдослучайных чисел на m элементов по смещенному F распределению с параметрами NU1,NU2,DELTA, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m,n) генерирует матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по смещенному F распределению с параметрами NU1,NU2,DELTA.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров NU1, NU2, DELTA.

>> NU1 =5;

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA)

R =

   1.1032

>> NU1 =[5 6 7 8 9];

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> R = gamrnd(A,B)

R =

   1.6372    0.7624    0.5697    0.4996    2.9616

 

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 1x4.

 

>> NU1 =5;

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> m=[1 4];

>> R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m)

R =

   2.4729    0.7050    3.5515    0.8951

 

Второй вариант генерации вектора с размерностью 1x4.

 

>> NU1 =5;

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> m=1; n=4;

>> R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m,n)

R =

    2.3308    1.5732    1.7676    0.3937

 

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 4x4.

 

>> NU1 =5;

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> m=[4 4];

>> R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m)

R =

    0.4507    1.3271    1.1275    1.1324

    0.2928    1.2401    1.9728    0.9393

    0.4897    2.1338    3.4260    0.6466

    1.2461    0.7496    0.8716    0.3444

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 4x4.

 

>> NU1 =5;

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> m=4; n=4;

>> R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,m,n)

R =

    1.4586    0.4415    1.7091    1.0980

    1.2270    0.9372    0.4258    0.1006

    1.3859    0.2161    0.9851    0.6547

    0.2743    1.3568    1.4474    1.1299

 

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> NU1 =5;

>> NU2=8;

>> DELTA =1;

>> R = ncfrnd(NU1,NU2,DELTA,[100 1]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= ncfpdf(X, NU1,NU2,DELTA);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

nctrnd - Смещенное распределение Стьюдента

Синтаксис

 

R = nctrnd(V,DELTA)

R = nctrnd(V,DELTA,m)

R = nctrnd(V,DELTA,m,n)

Описание

 

R = nctrnd(V,DELTA) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по смещенному t распределению с параметрами V, DELTA. Размерность векторов или матриц параметров V, DELTA должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность R равна размерности векторов или матриц параметров V, DELTA.

R = nctrnd(V,DELTA,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов по смещенному t распределению с параметрами V, DELTA, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = nctrnd(V,DELTA,m,n) генерирует матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по смещенному t распределению с параметрами V, DELTA.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел.

 

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров V,DELTA.

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> R = nctrnd(V,DELTA)

R =

   2.0700

>> V =[10 20 30 40 50];

>> DELTA =1;

>> R = nctrnd(V,DELTA)

R =

   0.8487    1.6481    1.9022    0.4136    0.7379

 

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 1x4.

 

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> m=[1 4];

>> R = nctrnd(V,DELTA,m)

R =

   2.3386    2.0180    1.4160    0.1664

 

Второй вариант генерации вектора с размерностью 1x4.

 

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> m=1; n=4;

>> R = nctrnd(V,DELTA,m,n)

R =

   0.5278    1.9076    1.5387    0.9368

 

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 4x4.

 

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> m=[4 4];

>> R = nctrnd(V,DELTA,m)

R =

    2.0307    0.8260    1.8614    0.3730

   -1.1576    1.3018    2.3518    0.5920

    2.2412    1.9231    0.9035    1.8478

    0.7306    3.3665    0.2263   -0.5915

 

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 4x4.

 

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> m=4; n=4;

>> R = nctrnd(V,DELTA,m,n)

R =

    0.6733    0.9952    0.6453    2.3441

    1.2768    1.2673    0.2516    2.2147

    2.1794    1.0644    0.7407    0.9245

    0.0379    0.9370    1.0231    0.9637

 

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> V =10;

>> DELTA =1;

>> N=9;

>> R = nctrnd(V,DELTA,[1 1000]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= nctpdf(X, V,DELTA);

>> ff=f*1000*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

normrnd - Нормальное распределение

Синтаксис

R = normrnd(MU,SIGMA)

R = normrnd(MU,SIGMA,m)

R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)

 

Описание

R = normrnd(MU,SIGMA) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по нормальному закону для каждой пары параметров MU (математического ожидания) и SIGMA (среднего квадратического отклонения). Размерность векторов или матриц параметров MU и SIGMA должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность матрицы R равна размерности входных параметров.

R = normrnd(MU,SIGMA,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по нормальному закону для параметров MU и SIGMA, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по нормальному закону для параметров MU, SIGMA.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров MU, SIGMA.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> R = normrnd(MU,SIGMA)

R =

   -0.2953

>> MU =[0 1 2 3];

>> DELTA=[1 2 3 4];

>> R = normrnd(MU,SIGMA)

R =

   1.4561    2.8025    0.6664    3.3873

   

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 1x5.

 

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=[1 5];

>> R = normrnd(MU,SIGMA,m)

R =

   -0.0228    0.1106    0.8128   -1.0091   -1.0046

   

Второй вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=1; n=5;

>> R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)

R =

    0.2830    0.2898   -0.2473   -0.2189    0.8987

  

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 4x4.

 

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=[4 4];

>> R = normrnd(MU,SIGMA,m)

R =

   -0.6422    1.5489   -0.5539   -2.5996

   -0.1804   -0.0442    0.9324    0.7801

    0.7179   -0.0297   -1.3158    0.6029

    0.3014   -0.3821   -0.3015    0.9428

  

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 4x4.

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> m=4; n=4;

>> R = normrnd(MU,SIGMA,m,n)

R =

   -1.0239   -1.7813    0.1668   -0.0986

   -0.0678   -0.6604   -1.7052    0.1764

    0.0818    1.3514    0.2765   -1.8379

   -1.7670    2.1364    0.3945   -1.5023

   

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> MU =0;

>> SIGMA =1;

>> N=9;

>> R = normrnd(MU,SIGMA,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= normpdf(X, MU,SIGMA);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

poissrnd - Распределение Пуассона

Синтаксис

R = poissrnd(LAMBDA)

R = poissrnd(LAMBDA,m)

R = poissrnd(LAMBDA,m,n)

 

Описание

R = poissrnd(LAMBDA) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по распределению Пуассона для каждого значения параметра LAMBDA. Размерность матрицы R равна размерности входного параметра.

R = poissrnd(LAMBDA,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по закону Пуассона для параметра LAMBDA, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = poissrnd(LAMBDA,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по закону Пуассона для параметра LAMBDA.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра LAMBDA.

>> LAMBDA =0.4;

>> R = poissrnd(LAMBDA)

R =

     1

>> LAMBDA =[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

>> R = poissrnd(LAMBDA)

R =

     0     0     1     1     0

   

Генерация вектора с размерностью 1x5 элементов псевдослучайных чисел.

 

>> LAMBDA =1;

>> m=[1 5];

>> R = poissrnd(LAMBDA,m)

R =

     1     1     3     2     1

   

Другой вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

>> LAMBDA =1;

>> m=1; n=5;

>> R = poissrnd(LAMBDA,m,n)

R =

    2     0     0     0     0

  

Генерация матрицы с размерностью 5x5 элементов.

 

>> LAMBDA =1;

>> m=[5 5];

>> R = poissrnd(LAMBDA,m)

R =

     0     2     2     2     0

     0     1     2     1     0

     1     3     0     1     1

     1     1     2     1     0

     1     0     1     0     2

   

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 5x5.

>> LAMBDA =1;

>> m=5; n=5;

>> R = poissrnd(LAMBDA,m,n)

R =

     1     0     1     0     3

     1     4     0     2     3

     2     0     0     0     1

     2     0     2     1     1

     2     1     0     0     0

   

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> LAMBDA =2;

>> N=9;

>> R = poissrnd(LAMBDA,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):1:max(R);

>> f= poisspdf(X, LAMBDA);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

random - Параметризованная функция генерации псевдослучайных чисел

Синтаксис

y = random('name',A1,A2,A3,m,n)

Описание

y = random('name',A1,A2,A3,m,n) возвращает матрицу случайных чисел согласно заданному распределению. Вид распределения задается значением параметра 'name' в соответствии со следующей таблицей

Вид распределения

Переменная 'name'

Бета 

'beta', 'Beta' 

Биномиальное 

'bino', 'Binomial' 

Хи-квадрат 

'chi2', 'Chisquare' 

Экспоненциальное 

'exp', 'Exponential' 

Фишера 

'f', 'F' 

Гамма 

'gam', 'Gamma' 

Геометрическое 

'geo', 'Geometric' 

Гипергеометрическое 

'hyge', 'Hypergeometric' 

Логнормальное 

'logn', 'Lognormal' 

Отрицательное биномиальное 

'nbin', 'Negative Binomial' 

Смещенное Фишера 

'ncf', 'Noncentral F' 

Смещенное Стьюдента 

'nct', 'Noncentral T' 

Смещенное хи-квадрат 

'ncx2', 'Noncentral Chi-square' 

Нормальное 

'norm', 'Normal' 

Пуассона 

'poiss', 'Poisson' 

Релея 

'rayl', 'Rayleigh' 

Стьюдента 

't', 'T' 

Дискретное равномерное 

'unid', 'Discrete Uniform' 

Непрерывное равномерное 

'unif', 'Uniform' 

Вейбулла 

'weib', 'Weibull' 

Параметры A1, A2, A3 являются параметрами перечисленных выше распределений. Последовательность и количество передаваемых параметров A1, A2, A3 должны соответствовать числу и последовательности передаваемым параметрам соответствующих функций генерации псевдослучайных чисел. Размерность векторов или матриц X, A1, A2, A3 должна быть одинаковой. Размерность скалярного параметра увеличивается до размерности других входных аргументов. 

Параметры m и n задают размерность матрицы генерируемых псевдослучайных чисел y. В случае, если параметры распределения A1, A2, A3 заданы как матрицы, то m и n либо могут отсутствовать, либо должны соответствовать размерности указанных переменных. 

Примеры использования параметрической функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация вектора псевдослучайных чисел распределенных по нормальному закону для вектора значений sigma и определенной величины mu. 

>> mu =0;

>> sigma =[1 2 3 4 5];

>> m=1; n=5;

>> y = random('Normal',mu,sigma,m,n)

y =

   -1.4228    0.4936   -4.3073    0.5943   -8.4654

   

Генерация матрицы псевдослучайных чисел по закону Релея для параметра B.

 

>> B=0.4;

>> m=5; n=5;

>> y = random('Rayleigh',B,m,n)

y =

    0.0352    0.5560    0.7423    0.4456    0.1448

    0.7218    0.2834    0.2237    0.2255    0.5574

    0.1697    0.5745    0.4579    1.0118    0.1382

    0.3440    0.6308    0.5983    0.4629    1.0769

    0.5596    0.6761    0.4078    0.5654    1.0603

>> R = raylrnd(B)

R =

    0.0131    0.0871    0.3479    0.4822    0.6966

 

 

Наверх

raylrnd - Распределение Релея

Синтаксис

R = raylrnd(B)

R = raylrnd(B,m)

R = raylrnd(B,m,n)

 

Описание

R = raylrnd(B) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по закону Релея для каждого значения параметра B. Размерность матрицы R равна размерности входного параметра.

R = raylrnd(B,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по закону Релея для параметра B, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = raylrnd(B,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по закону Релея для параметра LAMBDA.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра B.

>> B=0.4;

>> R = raylrnd(B)

R =

   0.6883

>> B =[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5];

>> R = raylrnd(B)

R =

    0.0131    0.0871    0.3479    0.4822    0.6966

  

Генерация вектора с размерностью 1x5 элементов псевдослучайных чисел.

 

>> B=0.4;

>> m=[1 5];

>> R = raylrnd(B,m)

R =

    0.3374    0.1263    0.6839    0.2867    0.6506

  

Другой вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

>> B=0.4;

>> m=1; n=5;

>> R = raylrnd(B,m,n)

R =

    0.3588    0.3786    0.5725    0.7161    0.6429

  

Генерация матрицы с размерностью 5x5 элементов.

 

>> B=0.4;

>> m=[5 5];

>> R = raylrnd(B,m)

R =

    0.5165    0.1824    0.4208    0.5905    0.2750

    0.2674    0.7349    0.3107    0.4149    0.3584

    0.4930    0.3100    0.1347    0.2503    0.3540

    0.6505    0.4817    0.3985    0.2390    0.5519

    0.7496    0.5663    0.8763    0.8898    0.3969

  

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 5x5.

>> B=0.4;

>> m=5; n=5;

>> R = raylrnd(B,m,n)

R =

    0.1721    0.4898    0.4207    0.1494    0.2894

    0.4838    0.1568    0.3834    0.6791    0.3356

    0.5839    0.4527    0.4082    1.0269    0.0930

    0.6596    0.5966    0.5196    0.5426    0.5639

    0.4335    0.2470    0.3768    0.2075    0.6562

  

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> B=0.4;

>> N=9;

>> R = raylrnd(B,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= raylpdf(X, B);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

trnd - Распределение Стьюдента

Синтаксис

R = trnd(V)

R = trnd(V,m)

R = trnd(V,m,n)

 

Описание

R = trnd(V) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по распределению Стьюдента для каждого значения числа степеней свободы V. Размерность матрицы R равна размерности входного параметра.

R = trnd(V,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по распределению Стьюдента для параметра V, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = trnd(V,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по закону Пуассона для заданного числа степеней свободы V.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

 

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра V.

>> V=10;

>> R = trnd(V)

R =

    1.4622

>> V =[10 20 30 40 50];

>> R = trnd(V)

R =

   -0.3181    2.1288    0.1322   -2.7310    0.6725

   

Генерация вектора с размерностью 1x5 элементов псевдослучайных чисел.

>> V=10;

>> m=[1 5];

>> R = trnd(V,m)

R =

    0.4941    1.1228   -1.1603    1.5709   -0.6818

  

Другой вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

 

>> V=10;

>> m=1; n=5;

>> R = trnd(V,m,n)

R =

    1.5791   -0.0136    1.0149    0.4422   -1.0674

  

Генерация матрицы с размерностью 5x5 элементов.

>> V=10;

>> m=[5 5];

>> R = trnd(V,m)

R =

    0.7428    1.0015    0.0174    0.8430   -0.1899

    2.7214    0.8130    2.6207   -1.6383   -0.9471

    2.2282   -2.5067    0.3712    0.6983   -0.6759

    0.1904    0.5217   -0.3238    0.6965    2.8145

   -1.8868   -1.1012   -0.8685    0.5107    0.1908

   

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 5x5.

 

>> V=10;

>> m=5; n=5;

>> R = trnd(V,m,n)

R =

    1.1892    0.5191    0.6893    1.0224    0.0527

    0.8605    1.1526    2.5250   -0.4808   -1.2941

   -0.1641   -0.8274   -0.1146    0.0565   -0.1562

    0.3315    0.5266    0.2258    0.8991   -0.1739

   -0.0379   -0.8681   -1.1669   -2.3567   -0.3615

   

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

>> V=10;

>> N=9;

>> R = trnd(V,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= tpdf(X, V);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

unidrnd - Дискретное равномерное распределение

Синтаксис

R = unidrnd(N)

R = unidrnd(N,m)

R = unidrnd(N,m,n)

 

Описание

R = unidrnd(N) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по дискретному равномерному распределению для каждого значения параметра N. Параметр N должен положительным целым числом. Размерность матрицы R равна размерности входного параметра.

R = unidrnd(N,mm) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по дискретному равномерному распределению для параметра N, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = unidrnd(N,mm,nn) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по дискретному равномерному распределению для параметра N.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

 

Генерация одного числа соответствующего определенному значению параметра B.

>> N=10;

>> R = unidrnd(N)

R =

   10

>> N =[10 20 30 40 50];

>> R = unidrnd(N)

R =

     3    13    15    36    39

   

Генерация вектора с размерностью 1x5 элементов псевдослучайных чисел.

>> N=10;

>> m=[1 5];

>> R = unidrnd(N,m)

R =

     5     1     9     5     7

   

Другой вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

 

>> N=10;

>> m=1; n=5;

>> R = unidrnd(N,m,n)

R =

    8    10     8     2     5

  

Генерация матрицы с размерностью 5x5 элементов.

>> N=10;

>> m=[5 5];

>> R = unidrnd(N,m)

R =

    10     4     2     8     9

    10     9     7     5     6

     5     1     3    10     3

     9     2     2     5     7

     1     3     1     5     9

   

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 5x5.

 

>> N=10;

>> m=5; n=5;

>> R = unidrnd(N,m,n)

R =

     1     8     7     4     9

     7     5     4     9     9

     4     4     6     9     7

     9     2     2     6     9

     6     2     7     5     7

   

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

>> N=10;

>> N=9;

>> R = unidrnd(N,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):1:max(R);

>> f= unidpdf(X, N);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

 

Наверх

unifrnd - Непрерывное равномерное распределение

Синтаксис

R = unifrnd(A,B)

R = unifrnd(A,B,m)

R = unifrnd(A,B,m,n)

 

Описание

R = unifrnd(A,B) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по непрерывному равномерному распределению для каждой пары параметров A, B. Размерность векторов или матриц параметров A, B должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность матрицы R равна размерности входных параметров.

R = unifrnd(A,B,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по непрерывному равномерному распределению для параметров A и B, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R.

 

R = unifrnd(A,B,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по непрерывному равномерному распределению для параметров A, B.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

 

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров A, B.

>> A=0;

>> B=1;

>> R = unifrnd(A,B)

R =

    0.3676

>> A=0;

>> B=[1 2 3 4];

>> R = unifrnd(A,B)

R =

   0.6315    1.4353    2.0780    0.3363

   

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 1x5.

>> A=0;

>> B=1;

>> m=[1 5];

>> R = unifrnd(A,B,m)

R =

    0.4544    0.4418    0.3533    0.1536    0.6756

  

Второй вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

 

>> A=0;

>> B=1;

>> m=1; n=5;

>> R = unifrnd(A,B,m,n)

R =

   0.6992    0.7275    0.4784    0.5548    0.1210

   

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 4x4.

>> A=0;

>> B=1;

>> m=[4 4];

>> R = unifrnd(A,B,m)

R =

    0.4508    0.2548    0.9084    0.0784

    0.7159    0.8656    0.2319    0.6408

    0.8928    0.2324    0.2393    0.1909

    0.2731    0.8049    0.0498    0.8439

  

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 4x4.

 

>> A=0;

>> B=1;

>> m=4; n=4;

>> R = unifrnd(A,B,m,n)

R =

    0.1739    0.3400    0.5915    0.8699

    0.1708    0.3142    0.1197    0.9342

    0.9943    0.3651    0.0381    0.2644

    0.4398    0.3932    0.4586    0.1603

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

>> A=0;

>> B=1;

>> N=9;

>> R = unifrnd(A,B,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= unifpdf(X,A,B);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

weibrnd - Распределение Вейбулла

Синтаксис

R = weibrnd(A,B)

R = weibrnd(A,B,m)

R = weibrnd(A,B,m,n)

 

Описание

R = weibrnd(A,B) функция предназначена для генерации псевдослучайного числа по закону Вейбулла для каждой пары параметров A, B. Размерность векторов или матриц параметров A, B должна быть одинаковой. Скалярный параметр увеличивается до размера остальных входных аргументов. Размерность матрицы R равна размерности входных параметров.

R = weibrnd(A,B,m) позволяет получить вектор псевдослучайных чисел на m элементов распределенных по закону Вейбулла для параметров A и B, где m - вектор размерностью 1x2 определяющий размерность матрицы R. R = weibrnd(A,B,m,n) позволяет получить матрицу псевдослучайных чисел с размерностью m-n элементов распределенных по закону Вейбулла для параметров A и B.

 

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

Генерация одного числа соответствующего заданной паре значений параметров A, B.

>> A=1;

>> B=2;

>> R = weibrnd (A,B)

R =

   1.5743

>> A=1;

>> B=[1 2 3 4];

>> R = weibrnd (A,B)

R =

    0.0561    0.2963    0.7977    1.0823

  

Генерация вектора псевдослучайных чисел с размерностью 1x5.

 

>> A=1;

>> B=2;

>> m=[1 5];

>> R = weibrnd (A,B,m)

R =

   0.3678    0.8165    0.5578    0.9286    0.1985

   

Второй вариант генерации вектора с размерностью 1x5.

>> A=1;

>> B=2;

>> m=1; n=5;

>> R = weibrnd (A,B,m,n)

R =

    1.6218    0.7692    1.1095    0.3914    1.0447

  

Генерация матрицы псевдослучайных чисел с размерностью 4x4.

 

>> A=1;

>> B=2;

>> m=[4 4];

>> R = weibrnd (A,B,m)

R =

    0.6208    0.9131    0.3276    0.6328

    1.7115    0.7586    0.5307    1.2669

    1.0154    0.6953    0.4840    1.1393

    0.8346    1.4756    0.4524    0.6841

  

Другой вариант генерации матрицы с размерностью 4x4.

>> A=1;

>> B=2;

>> m=4; n=4;

>> R = weibrnd (A,B,m,n)

R =

    0.7887    0.9454    1.0544    0.4324

    1.6798    0.8640    0.8589    0.2118

    1.5555    0.3089    0.7180    0.7199

    1.1421    0.7191    1.3504    1.8839

  

Графическая оценка качества генератора псевдослучайных чисел

 

>> A=1;

>> B=2;

>> N=9;

>> R = weibrnd (A,B,[1 100]);

>> hist(R, N)

>> grid on

>> X=min(R):(max(R)-min(R))/100:max(R);

>> f= weibpdf(X,A,B);

>> ff=f*100*((max(R)-min(R))/N);

>> hold on

>> plot(X,ff,'r')

>> hold off

 

 

Наверх

wishrnd - Матрица случайных чисел распределения Уишарта

Синтаксис

W = wishrnd(SIGMA,df)

W = wishrnd(SIGMA,df,D)

[W,D] = wishrnd(SIGMA,df)

 

Описание

W = wishrnd(SIGMA,df) служит для генерации матицы случайных чисел распределенных по распределению Уишарта для ковариационной матрицы SIGMA с числом степеней свободы df.

W = wishrnd(SIGMA,df,D) в отличии от предыдущего варианта синтаксиса задается коэффициент Холецкого D ковариационной матрицы SIGMA. В случае нескольких вызовов функции wishrnd с одинаковыми значениями ковариационной матрицы для увеличения эффективности алгоритма генерации целесообразно явно задавать коэффициент Холецкого D.

 

[W,D] = wishrnd(SIGMA,df) в отличии от первого варианта вызова функции кроме матрицы псевдослучайных чисел W возвращается значение коэффициента Холецкого DI, который может быть использован при последующих вызовах функции wishrnd.

Примеры использования функции генерации псевдослучайных чисел

 

Генерация псевдослучайных чисел по распределению Уишарта.

>> SIGMA=pascal(3)

SIGMA =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

>> df=5

df =

     5

>> W=wishrnd(SIGMA,df)

W =

    4.3741    1.7676   -1.2564

    1.7676    2.1324    3.4334

   -1.2564    3.4334   16.1057

   

Генерация псевдослучайных чисел по распределению Уишарта и расчет коэффициента Холецкого DI.

>> SIGMA=pascal(3)

SIGMA =

     1     1     1

     1     2     3

     1     3     6

>> df=5

df =

     5

>> [W,DI]=wishrnd(SIGMA,df)

W =

    3.4728    2.8301    2.1133

    2.8301    5.5233    8.7450

    2.1133    8.7450   22.9138

DI =

     1     1     1

     0     1     2

     0     0     1

   

Расчет псевдослучайных чисел согласно распределению Уишарта и использование 

коэффициента Холецкого DI при повторной генерации.

 

>> SIGMA=pascal(5)

SIGMA =

     1     1     1     1     1

     1     2     3     4     5

     1     3     6    10    15

     1     4    10    20    35

     1     5    15    35    70

>> df=10

df =

    10

>> [W,DI]=wishrnd(SIGMA,df)

W =

    10.7636    8.9244    4.7621    -6.4387        -32.4934

    8.9244     13.6604   14.7491   10.0681      -4.8925

    4.7621     14.7491   24.6901   34.7112      42.2157

   -6.4387     10.0681   34.7112   74.8364     135.2491

   -32.4934   4.8925     42.2157   135.2491   304.2332

DI =

     1     1     1     1     1

     0     1     2     3     4

     0     0     1     3     6

     0     0     0     1     4

     0     0     0     0     1

>> W=wishrnd(SIGMA,df,DI)

W =

   10.1921   15.0520   15.6658    9.8037         -2.7973

   15.0520   28.1868   36.0149    32.3553       18.0655

   15.6658   36.0149   56.1620    66.3571       67.0877

    9.8037    32.3553   66.3571    106.9305     157.7394

   -2.7973   18.0655    67.0877    157.7394     311.6346

 

 

Наверх

betastat - Бета распределение

Синтаксис

[M,V] = betastat(A,B)

Описание

[M,V] = betastat(A,B) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии бета распределения с заданными параметрами A и B. Размерность векторов и матриц A и B должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M бета распределения с заданными параметрами A и B определяется по формуле

Дисперсия V бета распределения с заданными параметрами A и B определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии бета распределения для пары параметров А и В.

>> A=1

A =

     1

>> B=2

B =

     2

>> [M,V] = betastat(A,B)

M =

    0.3333

V =

    0.0556

  

Расчет математического ожидания и дисперсии бета распределения для матриц параметров А и В.

 

>> A=[1 2 3; 4 5 6]

A =

     1     2     3

     4     5     6

>> B=[2 3 4; 5 6 7]

B =

     2     3     4

     5     6     7

>> [M,V] = betastat(A,B)

M =

    0.3333    0.4000    0.4286

    0.4444    0.4545    0.4615

V =

    0.0556    0.0400    0.0306

    0.0247    0.0207    0.0178

  

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+?], [M-2; M+2], [M-3; M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

>> A= 2;

>> B= 2;

>> X= -0.2:0.01:1.1;

>> Y= betapdf(X,A,B);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = betastat(A,B)

M =

    0.5000

V =

    0.0500

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    0.2236

>> H1=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 betapdf((M-3*sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H1,'Color','m')

>> H2=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 betapdf((M-2*sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-sigma M-sigma], [0 betapdf((M-sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M M], [0 betapdf((M),A,B)+0.1]);

>> set(H4,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H5=line ([M+sigma M+sigma], [0 betapdf((M+sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 betapdf((M+2*sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H6,'Color','g')

>> H7=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 betapdf((M+3*sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H7,'Color','m')

 

 

 

Наверх

binostat - Биномиальное распределение

Синтаксис

[M,V] = binostat(N,P)

Описание

[M,V] = binostat(N,P) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии биномиального распределения с заданными параметрами N и P. Размерность векторов и матриц N и P должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M биномиального распределения с заданными параметрами N и P определяется по формуле

Дисперсия V биномиального распределения с заданными параметрами N и P определяется по формуле

где P - вероятность появления события в одном испытании, Q - вероятность обратного события в одном опыте, Q=1-P.

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

 

Расчет математического ожидания и дисперсии биномиального распределения для пары параметров N и P.

>> N=10

N =

     10

>> P=0.2

P =

     0.2

>> [M,V] = binostat(N,P)

M =

    2

V =

    1.6000

  

Расчет математического ожидания и дисперсии биномиального распределения для матриц параметров N и P.

>> N=[10 20 30; 40 50 60]

N =

     10     20     30

     40     50     60

>> P=[0.2 0.3 0.4; 0.5 0.6 0.7]

P =

    0.2000    0.3000    0.4000

    0.5000    0.6000    0.7000

>> [M,V] = binostat(N,P)

M =

     2     6    12

    20    30    42

V =

     1.6000     4.2000     7.2000

   10.0000   12.0000   12.6000

   

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2], [M-3; M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> N=50;

>> P=0.2;

>> X= 0:1:30;

>> Y= binopdf(X,N,P);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = binostat(N,P)

M =

    10

V =

     8

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    2.8284

>> H1=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 binopdf(floor(M-3*sigma),N,P)+0.01]);

>> set(H1,'Color','m')

>> H2=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 binopdf(floor(M-2*sigma),N,P)+0.01]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-sigma M-sigma], [0 binopdf(floor(M-sigma),N,P)+0.01]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M M], [0 binopdf(M,N,P)+0.01]);

>> set(H4,'LineWidth',2, 'Color','k')

>> H5= line ([M+sigma M+sigma], [0 binopdf(floor(M+sigma),N,P)+0.01]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 binopdf(floor(M+2*sigma),N,P)+0.01]);

>> set(H6,'Color','g')

>> H7=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 binopdf(floor(M+3*sigma),N,P)+0.01]);

>> set(H7,'Color','m')

 

 

Наверх

chi2stat - Функция распределения хи-квадрат

Синтаксис:

[M,V] = chi2stat(NU)

Описание : 

[M,V] = chi2stat(NU) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии распределения хи-квадрат с заданным числом степеней свободы NU.

 

Математическое ожидание распределения хи-квадрат равно M=NU. Дисперсия определяется как V=2*NU

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения хи-квадрат для параметра NU.

>> NU=10

NU =

     10

>> [M,V] = chi2stat(NU)

M =

    10

V =

    20

  

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения хи-квадрат для матрицы параметра NU.

>> NU=[10 20 30; 40 50 60]

NU =

     10     20     30

     40     50     60

>> [M,V] = chi2stat(NU)

M =

    10    20    30

    40    50    60

V =

    20    40    60

    80   100   120

  

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2], 

[M-3; M+3] на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> NU=10;

>> X= 0:0.01:30;

>> Y= chi2pdf(X,NU);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = chi2stat(NU)

M =

    10

V =

    20

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    4.4721

>> H=line ([M M], [0 chi2pdf(M,NU)+0.01]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 chi2pdf(M-sigma,NU)+0.01]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 chi2pdf(M+sigma,NU)+0.01]);

>> set(H2,'Color','c')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 chi2pdf(M-2*sigma,NU)+0.01]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 chi2pdf(M+2*sigma,NU)+0.01]);

>> set(H4,'Color','m')

>> H5=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 chi2pdf(M-3*sigma,NU)+0.01]);

>> set(H5,'Color','g')

>> H6=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 chi2pdf(M+3*sigma,NU)+0.01]);

>> set(H6,'Color','g')

 

 

Наверх

expstat - Экспоненциальное распределение

Синтаксис:

[M,V] = expstat(MU)

Описание:

[M,V] = expstat(MU) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения с заданным параметром MU.

Математическое ожидание экспоненциального распределения равно M=MU. Дисперсия определяется как V=MU2.

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения для параметра MU.

>> MU=1
MU =
     1
>> [M,V] = expstat(MU)
M =
    1
V =
    1
 
Расчет математического ожидания и дисперсии экспоненциального распределения для матрицы параметра MU.

>> MU=[1 2 3; 4 5 6]
N =
     10     20     30
     40     50     60
>> [M,V] = expstat(MU)
M =
     1     2     3
     4     5     6
V =
     1     4     9
    16    25    36
 
Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3)
на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

>> MU=10;
>> X= 0:0.01:30;
>> Y= exppdf(X,MU);
>> plot(X,Y)
>> grid on
>> [M,V] = expstat(MU)
M =
    10
V =
   100
>> sigma=sqrt(V)
sigma =
    10
>> H=line ([M M], [0 exppdf(M,MU)+0.01]);
>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')
>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 exppdf(M-sigma,MU)+0.01]);
>> set(H1,'Color','c')
>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 exppdf(M+sigma,MU)+0.01]);
>> set(H2,'Color','c')
>> H3=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 exppdf(M+2*sigma,MU)+0.01]);
>> set(H3,'Color','m')
>> H4=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 exppdf(M+3*sigma,MU)+0.01]);
>> set(H4,'Color','g')

 

 

Наверх

fstat - Распределение Фишера

Синтаксис:

[M,V] = fstat(V1,V2)

Описание:

[M,V] = fstat(V1,V2) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии F распределения с заданными параметрами V1 и V2. Размерность векторов и матриц V1 и V2 должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание F распределения с заданными параметрами V1 и V2 определяется по формуле

Дисперсия F распределения с заданными параметрами V1 и V2 определяется по формуле

 

Математическое ожидание F распределения не существует при V2<3. Дисперсия не определена при V2<5.

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии F распределения для пары параметров V1 и V2.

 

>> V1=10

V1 =

     10

>> V2=20

V2 =

     2

>> [M,V] = fstat(V1,V2)

M =

    1.1111

V =

    0.4321

  

Расчет математического ожидания и дисперсии F распределения для матриц параметров V1 и V2.

>> V1=[1 2 3; 4 5 6]

V1 =

     1     2     3

     4     5     6

>> V2=[2 3 4; 5 6 7]

V2 =

     2     3     4

     5     6     7

>> [M,V] = fstat(V1,V2)

M =

       NaN    3.0000    2.0000

    1.6667    1.5000    1.4000

V =

       NaN       NaN       NaN

    9.7222    4.0500    2.3956

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> V1= 5;

>> V2= 8;

>> X= 0:0.01:8;

>> Y= fpdf(X,V1,V2);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = fstat(V1,V2)

M =

    1.3333

V =

    1.9556

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

   1.3984

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 fpdf((M-sigma), V1,V2)+0.1]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line ([M M], [0 fpdf((M),V1,V2)+0.1]);

>> set(H2,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H3=line ([M+sigma M+sigma], [0 fpdf((M+sigma),V1,V2)+0.1]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 fpdf((M+2*sigma),V1,V2)+0.1]);

>> set(H4,'Color','g')

>> H5=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 fpdf((M+3*sigma),V1,V2)+0.1]);

>> set(H5,'Color','m')

 

 

Наверх

gamstat - Гамма распределение

Синтаксис

[M,V] = gamstat(A,B)

Описание

[M,V] = gamstat(A,B) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии Гамма распределения с заданными параметрами A и B. Размерность векторов и матриц A и B должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание Гамма распределения с заданными параметрами A и B определяется по формуле

Дисперсия Гамма распределения с заданными параметрами A и B определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии Гамма распределения для пары параметров А и В.

 

>> A=1

A =

     1

>> B=2

B =

     2

>> [M,V] = gamstat(A,B)

M =

    2

V =

    4

  

Расчет математического ожидания и дисперсии Гамма распределения для матриц параметров А и В.

>> A=[1 2 3; 4 5 6]

A =

     1     2     3

     4     5     6

>> B=[2 3 4; 5 6 7]

B =

     2     3     4

     5     6     7

>> [M,V] = gamstat(A,B)

M =

     2     6    12

    20    30    42

V =

     4    18    48

   100   180   294

   

Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> A= 1;

>> B= 2;

>> X= -0.1:0.01:10;

>> Y= gampdf(X,A,B);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = gamstat(A,B)

M =

    2

V =

    4

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    2

>> H=line ([M M], [0 gampdf((M),A,B)+0.1]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 gampdf((M-sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 gampdf((M+sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H2,'Color','c')

>> H3=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 gampdf((M+2*sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H3,'Color','g')

>> H4=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 gampdf((M+3*sigma),A,B)+0.1]);

>> set(H4,'Color','m')

 

 

Наверх

geostat - Геометрическое распределение

Синтаксис

[M,V] = geostat(P)

Описание

[M,V] = geostat(P) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии геометрического распределения с заданным параметром P. Размерность векторов или матриц M и V совпадает размерностью входного параметра.

 

Математическое ожидание геометрического распределения равно . Дисперсия определяется как .

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии геометрического распределения для параметра P.

 

>> P=0.1

P =

     0.1

>> [M,V] = geostat(P)

M =

    9

V =

    90

  

Расчет математического ожидания и дисперсии геометрического распределения для матрицы параметра P.

>> P=[0.1 0.2 0.3; 0.4 0.5 0.6]

P =

    0.1000    0.2000    0.3000

    0.4000    0.5000    0.6000

>> [M,V] = geostat(P)

M =

    9.0000    4.0000    2.3333

    1.5000    1.0000    0.6667

V =

   90.0000   20.0000    7.7778

    3.7500    2.0000      1.1111

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> P=0.1;

>> X= 0:1:40;

>> Y= geopdf(X,P);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = geostat(P)

M =

    9

V =

    90

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

  9.4868

>> H=line ([M M], [0 geopdf(M,P)+0.01]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 geopdf(floor(M-sigma),P)+0.01]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 geopdf(floor(M+sigma),P)+0.01]);

>> set(H2,'Color','c')

>> H3=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 geopdf(floor(M+2*sigma),P)+0.01]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 geopdf(floor(M+3*sigma),NU)+0.01]);

>> set(H4,'Color','g')

 

 

Наверх

hygestat - Гипергеометрическое распределение

Синтаксис

[M,V] = hygestat(M,K,N)

Описание

[M,V] = hygestat(M,K,N) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения с заданными параметрами M, K и N. Размерность векторов и матриц M, K и N должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью остальных параметров. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание гипергеометрического распределения с заданными параметрами M, K и N определяется по формуле

Дисперсия гипергеометрического распределения с заданными параметрами M, K и N определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения для сочетания значений параметров M, K ,N.

 

>> M=10

M =

     10

>> N=5

N =

     5

>> K=3

K =

     3

>> [M,V] = hygestat(M,K,N)

M =

    1.5000

V =

    0.5833

  

Расчет математического ожидания и дисперсии гипергеометрического распределения для матриц параметров M, K ,N.

>> M=[20 30; 40 50]

M =

    20    30

    40    50

>> N=[10 20; 30 40]

N =

    10    20

    30    40

>> K=[3 5; 7 9]

K =

     3     5

     7     9

>> [M,V] = hygestat(M,K,N)

M =

    1.5000    3.3333

    5.2500    7.2000

V =

    0.6711    0.9579

    1.1106    1.2049

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> M=100;

>> N=50;

>> K=40;

>> X=0:1:40;

>> Y= hygepdf(X,M,K,N);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [Mx,V] = hygestat(M,K,N)

Mx=

    20

V =

    6.0606

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

     2.4618

>> H=line ([Mx Mx], [0 hygepdf(Mx,M,K,N)+0.01]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([Mx-sigma Mx-sigma], [0 hygepdf(floor(Mx-sigma),M,K,N)+0.01]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line ([Mx+sigma Mx+sigma], [0 hygepdf(floor(Mx+sigma),M,K,N)+0.01]);

>> set(H2,'Color','c')

>> H3=line ([Mx+2*sigma Mx+2*sigma], [0 hygepdf(floor(Mx+2*sigma),M,K,N)+0.01]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line([Mx+3*sigma Mx+3*sigma], [0 hygepdf(floor(Mx+3*sigma),M,K,N)+0.01]);

>> set(H4,'Color','g')

>> H5=line ([Mx-2*sigma Mx-2*sigma], [0 hygepdf(floor(Mx-2*sigma),M,K,N)+0.01]);

>> set(H5,'Color','m')

>> H6=line([Mx-3*sigma Mx-3*sigma], [0 hygepdf(floor(Mx-3*sigma),M,K,N)+0.01]);

>> set(H6,'Color','g')

 

 

Наверх

lognstat - Логнормальное распределение

Синтаксис

[M,V] = lognstat(MU,SIGMA)

Описание

[M,V] = lognstat(MU,SIGMA) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии логнормального распределения с заданными параметрами MU и SIGMA. Размерность векторов и матриц MU и SIGMA должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание логнормального распределения с заданными параметрами MU и SIGMA определяется по формуле

Дисперсия логнормального распределения с заданными параметрами MU и SIGMA определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии логнормального распределения для пары параметров MU и SIGMA.

>> MU=0

MU =

     0

>> SIGMA =1

SIGMA =

     1

>> [M,V] = lognstat(MU,SIGMA)

M =

    1.6487

V =

    4.6708

  

Расчет математического ожидания и дисперсии логнормального распределения для матриц параметров MU и SIGMA.

 

>> MU =[1 2 3; 4 5 6]

MU =

     1     2     3

     4     5     6

>> SIGMA=[2 3 4; 5 6 7]

SIGMA =

     2     3     4

     5     6     7

>> [M,V] = lognstat(MU,SIGMA)

M =

  1.0e+013 *

    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0000    0.0010    1.7619

V =

  1.0e+047 *

    0.0000    0.0000    0.0000

    0.0000    0.0000    5.9210

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3

на графике функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

>> MU=0;

>> SIGMA =1;

>> X= 0:0.01:8;

>> Y= lognpdf(X, MU, SIGMA);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = lognstat(MU,SIGMA)

M =

   1.6487

V =

    4.6708

>> s=sqrt(V)

s =

   2.1612

>> H1=line ([M-s M-s], [0 0.1]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line([M M], [0 lognpdf(M,MU,SIGMA)+0.1]);

>> set(H2,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H3= line ([M+s M+s], [0 lognpdf(M+s,MU,SIGMA)+0.1]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4= line ([M+2*s M+2*s], [0 lognpdf(M+2*s,MU,SIGMA)+0.1]);

>> set(H4,'Color','g')

>> H5= line ([M+3*s M+3*s], [0 lognpdf(M+3*s,MU,SIGMA)+0.1]);

>> set(H5,'Color','m')

 

 

 

Наверх

nbinstat - Отрицательное биномиальное распределение

Синтаксис

[M,V] = nbinstat(R,P)

Описание

[M,V] = nbinstat(R,P) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии отрицательного биномиального распределения с заданными параметрами R и P. Размерность векторов и матриц R и P должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M отрицательного биномиального распределения с заданными параметрами R и P определяется по формуле

где P - вероятность появления события в одном испытании, Q - вероятность обратного события в одном опыте, Q=1-P.

Дисперсия V отрицательного биномиального распределения с заданными параметрами R и P определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

 

Расчет математического ожидания и дисперсии отрицательного биномиального распределения для пары параметров R и P.

>> R=1

R =

     1

>> P=0.2

P =

    0.2000

>> [M,V] = nbinstat(R,P)

M =

     4

V =

   20.0000

   

Расчет математического ожидания и дисперсии отрицательного биномиального распределения для матриц параметров R и P.

>> R=[1 2 3; 4 5 6]

R =

     1     2     3

     4     5     6

>> P=[0.2 0.3 0.4; 0.5 0.6 0.7]

P =

    0.2000    0.3000    0.4000

    0.5000    0.6000    0.7000

>> [M,V] = nbinstat(R,P)

M =

    4.0000    4.6667    4.5000

    4.0000    3.3333    2.5714

V =

   20.0000   15.5556   11.2500

    8.0000    5.5556    3.6735

  

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2], [M-3; M+3] на графике функции 

плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> R=10;

>> P=0.5;

>> X= 0:1:30;

>> Y= nbinpdf(X,R,P);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = nbinstat(R,P)

M =

    10

V =

     20

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    4.4721

>> H1=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 nbinpdf(floor(M-3*sigma),R,P)+0.01]);

>> set(H1,'Color','m')

>> H2=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 nbinpdf(floor(M-2*sigma),R,P)+0.01]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-sigma M-sigma], [0 nbinpdf(floor(M-sigma),R,P)+0.01]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M M], [0 nbinpdf(M,R,P)+0.01]);

>> set(H4,'LineWidth',2, 'Color','k')

>> H5= line ([M+sigma M+sigma], [0 nbinpdf(floor(M+sigma),R,P)+0.01]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 nbinpdf(floor(M+2*sigma),R,P)+0.01]);

>> set(H6,'Color','g')

>> H7=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 nbinpdf(floor(M+3*sigma),R,P)+0.01]);

>> set(H7,'Color','m')

 

 

Наверх

ncfstat - Смещенное распределение Фишера

Синтаксис

[M,V] = ncfstat(NU1,NU2,DELTA)

Описание

[M,V] = ncfstat(NU1,NU2,DELTA) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии смещенного F распределения с заданными параметрами NU1, NU2 и DELTA. Размерность векторов и матриц NU1, NU2 и DELTA должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью остальных параметров. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание смещенного F распределения с заданными параметрами NU1, NU2 и DELTA определяется по формуле

Дисперсия смещенного F распределения с заданными параметрами NU1, NU2 и DELTA определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии смещенного F распределения для сочетания значений параметров NU1, NU2 и DELTA.

>> NU1=8

NU1 =

     8

>> NU2=5

NU2 =

     5

>> DELTA =1

DELTA =

     1

>> [M,V] = ncfstat(NU1,NU2,DELTA)

M =

    1.8750

V =

    9.6354

  

Расчет математического ожидания и дисперсии смещенного F распределения для матриц параметров NU1, NU2 и DELTA.

 

>> NU1=[20 30; 40 50]

NU1 =

    20    30

    40    50

>> NU2=[10 20; 30 40]

NU2 =

    10    20

    30    40

>> DELTA=[3 5; 7 9]

DELTA =

     3     5

     7     9

>> [M,V] = ncfstat(NU1,NU2,DELTA)

M =

    1.4375    1.2963

    1.2589    1.2421

V =

    0.9596    0.3335

    0.2054    0.1493

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-); (M+); (M+2); (M+3) на графике 

функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

>> DELTA=5;

>> NU1=10;

>> NU2=20;

>> X= 0:0.01:6;

>> Y= ncfpdf(X,NU1,NU2,DELTA);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>>[M,V] = ncfstat(NU1,NU2,DELTA)

M =

    1.6667

V =

    0.9028

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    0.9501

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 ncfpdf((M-sigma),NU1,NU2,DELTA)+0.1]);

>> set(H1,'Color','c')

>> H2=line ([M M], [0 ncfpdf((M),NU1,NU2,DELTA)+0.1]);

>> set(H2,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H3=line ([M+sigma M+sigma], [0 ncfpdf((M+sigma),NU1,NU2,DELTA)+0.1]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 ncfpdf((M+2*sigma),NU1,NU2,DELTA)+0.1]);

>> set(H4,'Color','g')

>> H5=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 ncfpdf((M+3*sigma),NU1,NU2,DELTA)+0.1]);

>> set(H5,'Color','m')

 

 

 

Наверх

nctstat - Смещенное распределение Стьюдента

Синтаксис

[M,V] = nctstat(NU,DELTA)

Описание

[M,V] = nctstat(NU,DELTA) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии смещенного t распределения с заданными параметрами числа степеней свободы NU и параметра смещения DELTA. Размерность векторов и матриц NU, DELTA должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M смещенного t распределения с заданными параметрами NU и DELTA определяется по формуле

при условии, что число степеней свободы NU>1.

Дисперсия V смещенного t распределения с заданными параметрами NU и DELTA определяется по формуле

при условии, что число степеней свободы NU>2.

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии смещенного t распределения для сочетания значений параметров NU, DELTA.

 

>> NU=8

NU =

     8

>> DELTA =1

DELTA =

     1

>>[M,V] = nctstat(NU,DELTA)

M =

    1.1078

V =

    1.4395

  

Расчет математического ожидания и дисперсии смещенного t распределения для матриц параметров NU, DELTA.

>> NU=[10 20; 30 40]

NU =

    10    20

    30    40

>> DELTA=[3 5; 7 9]

DELTA =

     3     5

     7     9

>>[M,V] = nctstat(NU,DELTA)

M =

    3.2512    5.1978

    7.1813    9.1733

V =

    1.9299    1.8717

    2.0004    2.1670

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-3); (M-2); (M-); (M+); (M+2); (M+3) на графике функции 

плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> DELTA=5;

>> NU=10;

>> X=1:0.01:15;

>> Y= nctpdf(X,NU,DELTA);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>>[M,V] = nctstat(NU,DELTA)

M =

   5.4186

V =

   3.1386

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    1.7716

>> H1=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 nctpdf((M-3*sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H1,'Color','m')

>> H2=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 nctpdf((M-2*sigma),NU,DELTA)+ 0.02]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-sigma M-sigma], [0 nctpdf((M-sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M M], [0 nctpdf((M),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H4,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H5=line ([M+sigma M+sigma], [0 nctpdf((M+sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 nctpdf((M+2*sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H6,'Color','g')

>> H7=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 nctpdf((M+3*sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H7,'Color','m')

 

 

Наверх

ncx2stat - математического ожидания и дисперсии смещенного хи-квадрат распределения по заданным параметрам

Синтаксис

[M,V] = ncx2stat(NU,DELTA)

Описание

[M,V] = ncx2stat(NU,DELTA) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии смещенного хи-квадрат распределения с заданными параметрами числа степеней свободы NU и параметра смещения DELTA. Размерность векторов и матриц NU, DELTA должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M смещенного хи-квадрат распределения с заданными параметрами NU и DELTA определяется по формуле

M=DELTA+NU

Дисперсия V смещенного хи-квадрат распределения с заданными параметрами NU и DELTA определяется по формуле

V=2*(NU+2*DELTA)2

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии смещенного хи-квадрат распределения для сочетания значений

параметров NU, DELTA.

 

>> NU=5

NU =

     5

>> DELTA =2

DELTA =

     2

>>[M,V] = ncx2stat (NU,DELTA)

M =

    7

V =

    18

  

Расчет математического ожидания и дисперсии смещенного хи-квадрат распределения для матриц параметров NU, DELTA.

 

>> NU=[10 20; 30 40]

NU =

    10    20

    30    40

>> DELTA=[1 2; 3 4]

DELTA =

     3     5

     7     9

>>[M,V] = ncx2stat (NU,DELTA)

M =

    11    22

    33    44

V =

    24    48

    72    96

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-3); (M-2); (M-); (M+); (M+2); (M+3) на графике функции 

плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> DELTA=5;

>> NU=10;

>> X=1:0.01:15;

>> Y= ncx2pdf(X,NU,DELTA);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>>[M,V] = ncx2stat(NU,DELTA)

M =

   15

V =

   40

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

   6.3246

>> H1=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 ncx2pdf((M-3*sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H1,'Color','m')

>> H2=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 ncx2pdf((M-2*sigma),NU,DELTA)+ 0.02]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-sigma M-sigma], [0 ncx2pdf((M-sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line ([M M], [0 ncx2pdf((M),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H4,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H5=line ([M+sigma M+sigma], [0 ncx2pdf((M+sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 ncx2pdf((M+2*sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H6,'Color','g')

>> H7=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 ncx2pdf((M+3*sigma),NU,DELTA)+0.02]);

>> set(H7,'Color','m')

 

 

Наверх

normstat - Нормальное распределение

Синтаксис

[M,V] = normstat(MU,SIGMA)

Описание

[M,V] = normstat(MU,SIGMA) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии нормального закона с заданными параметрами математическим ожиданием MU и средним квадратическим отклонением SIGMA. Размерность векторов и матриц MU, SIGMA должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание нормального закона равно M=MU, дисперсия определяется как

V=SIGMA2.

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии нормального закона для пары параметров MU и SIGMA.

 

>> MU=0

MU =

     0

>> SIGMA =1

SIGMA =

     1

>> [M,V] = normstat(MU,SIGMA)

M =

    0

V =

    1

  

Расчет математического ожидания и дисперсии нормального закона для матриц параметров MU и SIGMA.

>> MU =[0 1 2; 3 4 5]

MU =

     0     1     2

     3     4     5

>> SIGMA=[1 2 3; 4 5 6]

SIGMA =

     1     2     3

     4     5     6

>> [M,V] = normstat(MU,SIGMA)

M =

     0     1     2

     3     4     5

V =

     1     4     9

    16    25    36

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-3); (M-2); (M-); (M+); (M+2); (M+3) на графике функции 

плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> MU=0;

>> SIGMA =1;

>> X= -4:0.01:4;

>> Y= normpdf(X, MU, SIGMA);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = normstat(MU,SIGMA)

M =

   0

V =

    1

>> s=sqrt(V)

s =

   1

>> H1= line ([M-3*s M-3*s], [0 normpdf(M-3*s,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2= line ([M-2*s M-2*s], [0 normpdf(M-2*s,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H2,'Color','m')

>> H3=line ([M-s M-s], [0 normpdf(M-s,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H3,'Color','c')

>> H4=line([M M], [0 normpdf(M,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H4,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H5=line ([M+s M+s], [0 normpdf(M+s,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6= line ([M+2*s M+2*s], [0 normpdf(M+2*s,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H6,'Color','m')

>> H7= line ([M+3*s M+3*s], [0 normpdf(M+3*s,MU,SIGMA)+0.01]);

>> set(H7,'Color','g')

 

 

Наверх

poisstat - Распределение Пуассона

Синтаксис

[M,V] = poisstat(LAMBDA)

Описание

[M,V] = poisstat(LAMBDA) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона с заданным параметром LAMBDA. Размерность векторов или матриц M и V совпадает с размерностью входного параметра.

 

Для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны M=V=LAMBDA .

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона для параметра LAMBDA.

>> LAMBDA =1

LAMBDA =

     1

>> [M,V] = poisstat(LAMBDA)

M =

    1

V =

    1

  

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Пуассона для матрицы параметра LAMBDA.

 

>> LAMBDA=[1 2 3; 4 5 6]

LAMBDA =

     1     2     3

     4     5     6

>> [M,V] = poisstat(LAMBDA)

M =

     1     2     3

     4     5     6

V =

     1     2     3

     4     5     6

   

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2], [M-3; M+3] на графике функции 

плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

>> LAMBDA=10;

>> X= 0:1:25;

>> Y= poisspdf(X,LAMBDA);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = poisstat(LAMBDA)

M =

    10

V =

    10

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    3.1623

>> H=line ([M M], [0 poisspdf(M,LAMBDA)+0.1]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 poisspdf(floor(M-sigma),LAMBDA)+0.05]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 poisspdf(floor(M+sigma),LAMBDA)+0.05]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 poisspdf(M-2*sigma, LAMBDA)+0.05]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 poisspdf(M+2*sigma,LAMBDA)+0.05]);

>> set(H4,'Color','m')

>> H5=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 poisspdf(M-3*sigma,LAMBDA)+0.01]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 poisspdf(M+3*sigma, LAMBDA)+0.01]);

>> set(H6,'Color','c')

 

 

 

Наверх

raylstat - Распределение Релея

Синтаксис

[M,V] = raylstat(B)

Описание

[M,V] = raylstat(B) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии распределения Релея с заданным параметром B. Размерность векторов или матриц M и V совпадает с размерностью входного параметра.

 

Математическое ожидание распределения Релея с заданным параметром B определяется по формуле

Дисперсия распределения Релея с заданным параметром B определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Релея для параметра B.

>> B =1

B =

     1

>> [M,V] = raylstat(B)

M =

    1.2533

V =

    0.4292

  

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Релея для матрицы параметра B.

 

>> B=[1 2 3; 4 5 6]

B =

     1     2     3

     4     5     6

>> [M,V] = raylstat(B)

M =

    1.2533    2.5066    3.7599

    5.0133    6.2666    7.5199

V =

    0.4292    1.7168    3.8628

    6.8673   10.7301   15.4513

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-2); (M-); (M+); (M+2); (M+3) на графике функции

 плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> B=1;

>> X=0:0.01:4;

>> Y= raylpdf(X,B);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = raylstat(B)

M =

   1.2533

V =

   0.4292

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    0.6551

>> H=line ([M M], [0 raylpdf(M,B)+0.05]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 raylpdf((M-sigma,B)+0.05]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 raylpdf(M+sigma,B)+0.05]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 raylpdf(M-2*sigma, B)+0.05]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 raylpdf(M+2*sigma,B)+0.05]);

>> set(H4,'Color','m')

>> H5=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 raylpdf(M+3*sigma, B)+0.05]);

>> set(H5,'Color','c')

 

 

Наверх

tstat - Распределение Стьюдента

Синтаксис

[M,V] = tstat(NU)

Описание

[M,V] = tstat(NU функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии t распределения с заданным параметром NU. Размерность векторов или матриц M и V совпадает с размерностью входного параметра.

 

Математическое ожидание t распределения с заданным параметром NU равна M=NU при условии, что NU>1. Для NU1 математическое ожидание не определено. Дисперсия t распределения с заданным параметром NU определяется по формуле

при условии, что NU>2. Для NU2 дисперсия t распределения не определена.

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Стьюдента для параметра NU.

>> NU =10

NU =

    10

>> [M,V] = tstat(NU)

M =

     0

V =

    1.2500

  

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Стьюдента для матрицы параметра NU.

 

>> NU=[10 20 30; 40 50 60]

NU =

    10    20    30

    40    50    60

>> [M,V] = tstat(NU)

M =

     0     0     0

     0     0     0

V =

    1.2500    1.1111    1.0714

    1.0526    1.0417    1.0345

  

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2], [M-3; M+3] на графике функции 

плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

>> NU=10;

>> X=-5:0.01:5;

>> Y= tpdf(X,NU);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = tstat(NU)

M =

   0

V =

   1.2500

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    1.1180

>> H=line ([M M], [0 tpdf(M,NU)+0.05]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 tpdf((M-sigma,NU)+0.05]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 tpdf(M+sigma,NU)+0.05]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 tpdf(M-2*sigma, NU)+0.05]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 tpdf(M+2*sigma,NU)+0.05]);

>> set(H4,'Color','m')

>> H5=line ([M-3*sigma M-3*sigma], [0 tpdf(M-3*sigma, NU)+0.05]);

>> set(H5,'Color','c')

>> H6=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 tpdf(M+3*sigma, NU)+0.05]);

>> set(H6,'Color','c')

 

 

 

Наверх

unidstat - Дискретное равномерное распределение

Синтаксис

[M,V] = unidstat(N)

Описание

[M,V] = unidstat(N) ) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения с заданным параметром N. Размерность векторов или матриц M и V совпадает размерностью входного параметра.

 

Математическое ожидание дискретного равномерного распределения с заданным параметром N определяется по формуле

Дисперсия дискретного равномерного распределения с заданным параметром N определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения для параметра N.

 

>> N =10

N =

    10

>> [M,V] = unidstat(N)

M =

    5.5000

V =

    8.2500

  

Расчет математического ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения для матрицы параметра N.

>> N=[10 20 30; 40 50 60]

N =

    10    20    30

    40    50    60

>> [M,V] = unidstat(N)

M =

     5.5000   10.5000   15.5000

   20.5000   25.5000   30.5000

V =

    8.2500     33.2500   74.9167

  133.2500  208.2500  299.9167

  

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2] на графике 

функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> N=20;

>> X= -2:1:22;

>> Y= unidpdf(X,N);

>> plot(X,Y,'-*')

>> grid on

>> [M,V] = unidstat(N)

M =

   10.5000

V =

  33.2500

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    5.7663

>> H=line ([M M], [0 unidpdf(floor(M),N)+0.005]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 unidpdf(floor(M-sigma),N)+0.005]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 unidpdf(floor(M+sigma),N)+0.005]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 unidpdf(floor(M-2*sigma), N)+0.005]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 unidpdf(floor(M+2*sigma),N)+0.005]);

>> set(H4,'Color','m')

 

 

Наверх

unifstat - Непрерывное равномерное распределение

Синтаксис

[M,V] = unifstat(A,B)

Описание

[M,V] = unifstat(A,B) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывного равномерного распределения с заданными параметрами А и В. Размерность векторов и матриц А, В должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M непрерывного равномерного распределения с заданными параметрами А и В определяется по формуле

Дисперсия V непрерывного равномерного распределения с заданными параметрами А и В определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии непрерывного равномерного распределения для пары параметров А и В.

 

>> A=1

A =

     1

>> B=2

B =

     2

>> [M,V] = unifstat(A,B)

M =

    1.5000

V =

    0.0833

  

Расчет математического ожидания и дисперсии непрерывного равномерного распределения для матриц параметров А и В.

>> A=[1 2 3; 4 5 6]

A =

     1     2     3

     4     5     6

>> B=[2 3 4; 5 6 7]

B =

     2     3     4

     5     6     7

>> [M,V] = unifstat(A,B)

M =

    1.5000    2.5000    3.5000

    4.5000    5.5000    6.5000

V =

    0.0833    0.0833    0.0833

    0.0833    0.0833    0.0833

  

Расположение математического ожидания M и интервалов [M-; M+], [M-2; M+2] на графике 

функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> A=0;

>> B=20;

>> X= -2:0.1:22;

>> Y= unifpdf(X,A,B);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>> [M,V] = unifstat(A,B)

M =

   10

V =

  33.3333

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    5.7735

>> H=line ([M M], [0 unifpdf(M,A,B)+0.005]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 unifpdf(M-sigma,A,B)+0.005]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 unifpdf(M+sigma,A,B)+0.005]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 unifpdf(M-2*sigma,A,B)+0.005]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 unifpdf(M+2*sigma,A,B)+0.005]);

>> set(H4,'Color','m')

 

 

Наверх

weibstat - Распределение Вейбулла

Синтаксис

[M,V] = weibstat(A,B)

Описание

[M,V] = weibstat(A,B) функция служит для расчета математического ожидания и дисперсии распределения Вейбулла с заданными параметрами А и В. Размерность векторов и матриц А и В должна быть одинаковой. Скалярный входной параметр увеличивается до матрицы постоянных значений с размерностью второго параметра. Размерность матриц математического ожидания M и дисперсии V равна размерности входных параметров.

 

Математическое ожидание M распределения Вейбулла с заданными параметрами А и В определяется по формуле

Дисперсия V распределения Вейбулла с заданными параметрами А и В определяется по формуле

Примеры использования функции оценки математического ожидания и дисперсии

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Вейбулла для пары параметров А и В.

 

>> A=1

A =

     1

>> B=2

B =

     2

>> [M,V] = weibstat(A,B)

M =

    0.8862

V =

    0.2146

  

Расчет математического ожидания и дисперсии распределения Вейбулла для матриц параметров А и В.

>> A=[1 2 3; 4 5 6]

A =

     1     2     3

     4     5     6

>> B=[2 3 4; 5 6 7]

B =

     2     3     4

     5     6     7

>> [M,V] = weibstat(A,B)

M =

    0.8862    0.7088    0.6887

    0.6958    0.7094    0.7242

V =

    0.2146    0.0664    0.0373

    0.0254    0.0189    0.0148

  

Расположение математического ожидания M и значений (M-2); (M-); (M+); (M+2); (M+3) на графике 

функции плотности вероятности,  - среднее квадратическое отклонение.

 

>> A=1;

>> B=2;

>> X=0:0.01:3;

>> Y= weibpdf(X,A,B);

>> plot(X,Y)

>> grid on

>>  [M,V] = weibstat(A,B)

M =

    0.8862

V =

    0.2146

>> sigma=sqrt(V)

sigma =

    0.4633

>> H=line ([M M], [0 weibpdf(M,A,B)+0.05]);

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line ([M-sigma M-sigma], [0 weibpdf(M-sigma,A,B)+0.05]);

>> set(H1,'Color','g')

>> H2=line ([M+sigma M+sigma], [0 weibpdf(M+sigma,A,B)+0.05]);

>> set(H2,'Color','g')

>> H3=line ([M-2*sigma M-2*sigma], [0 weibpdf(M-2*sigma,A,B)+0.05]);

>> set(H3,'Color','m')

>> H4=line ([M+2*sigma M+2*sigma], [0 weibpdf(M+2*sigma,A,B)+0.05]);

>> set(H4,'Color','m')

>> H5=line ([M+3*sigma M+3*sigma], [0 weibpdf(M+3*sigma,A,B)+0.05]);

>> set(H5,'Color','c')

 

 

Наверх

betalike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия бета распределения

Синтаксис

logL = betalike(params,data)

[logL,avar] = betalike(params,data)

 

Описание

logL = betalike(params,data) функция позволяет рассчитать отрицательный логарифм функции максимального правдоподобия бета распределения с заданными параметрами a, b и исходной выборки. Параметры бета распределения определяются вектором params. Исходная выборка задается вектором data.

[logL,avar] = betalike(params,data) позволяет рассчитать вектор отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия logL бета распределения и обратную информационную матрицу Фишера avar. Если параметры бета распределения в векторе params были рассчитаны согласно методу максимального правдоподобия, то avar представляет собой асимптотическое приближение к дисперсионно-ковариационной матрице. Диагональные элементы avar являются асимптотическим приближением к значениям дисперсий соответствующих параметров бета распределения.

 

betalike является вспомогательной функцией при расчете параметров бета распределения по методу максимального правдоподобия. Исходным предположением метода максимального правдоподобия является взаимная независимость элементов исходной выборки. Вследствие чего, функция betalike возвращает отрицательный логарифм logL функции максимального правдоподобия бета распределения. Минимизация значения logL, возвращаемого функцией betalike, соответствует поиску максимума функции максимального правдоподобия. Такая процедура позволяет определить оптимальные параметры бета распределения по методу максимального правдоподобия.

Примеры использования функции расчета отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия бета распределения

Расчет отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия.

>> A=4;

>> B=3;

>> params =[A B];

>> data = betarnd(A,B,100,1);

>> logL = betalike(params,data)

logL =

  -36.9898

  

Расчет отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия и обратной 

информационной матрицы Фишера.

 

>> A=4;

>> B=3;

>> params =[A B];

>> data = betarnd(A,B,100,1);

>> [logL,avar] = betalike(params,data)

logL =

  -23.0818

avar =

    0.2356    0.1191

    0.1191    0.0858

  

Как можно видеть из приведенного ниже примера, увеличение объема выборки data на два порядка 

приводит к существенному уменьшению величин дисперсий параметров A, B (элементы главной диагонали 

матрица avar) и их ковариации (вторая диагональ матрица avar). При этом увеличивается значение 

логарифма функции максимального правдоподобия

>> A=4;

>> B=3;

>> params =[A B];

>> data = betarnd(A,B,10000,1);

>> [logL,avar] = betalike(params,data)

logL =

 -3.4099e+003

avar =

    0.0030    0.0019

    0.0019    0.0017

 

 

Наверх

gamlike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия гамма распределения

Синтаксис

logL = gamlike(params,data)

[logL,avar] = gamlike(params,data)

 

Описание

logL = gamlike(params,data) функция позволяет рассчитать отрицательный логарифм функции максимального правдоподобия Гамма распределения с заданными параметрами a, b и исходной выборки. Параметры бета распределения определяются вектором params. Исходная выборка задается вектором data.

[logL,avar] = gamlike(params,data) позволяет рассчитать вектор отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия logL Гамма распределения и обратную информационную матрицу Фишера avar. Если параметры Гамма распределения в векторе params были рассчитаны по методу максимального правдоподобия, то avar представляет собой асимптотическое приближение к дисперсионно-ковариационной матрице. Диагональные элементы avar являются асимптотическим приближением к значениям дисперсий соответствующих параметров Гамма распределения.

 

gamlike является вспомогательной функцией при расчете параметров Гамма распределения по методу максимального правдоподобия. функция gamlike возвращает отрицательный логарифм logL функции максимального правдоподобия Гамма распределения. Минимизация значения logL, возвращаемого функцией gamlike, соответствует поиску максимума функции максимального правдоподобия. Такая процедура позволяет определить оптимальные параметры Гамма распределения по методу максимального правдоподобия.

Примеры использования функции расчета отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия Гамма распределения

Расчет отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия.

>> A=4;

>> B=3;

>> params =[A B];

>> data = gamrnd(A,B,100,1);

>> logL = gamlike(params,data)

logL =

337.3935

 

Расчет отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия и обратной информационной матрицы Фишера.

>> A=4;

>> B=3;

>> params =[A B];

>> data = gamrnd(A,B,100,1);

>> [logL,avar] = gamlike(params,data)

logL =

  337.3935

avar =

    0.2229   -0.1262

   -0.1262    0.0830

   

Как можно видеть из приведенного ниже примера, увеличение объема выборки data на два порядка приводит к существенному 

уменьшению величин дисперсий параметров A, B (элементы главной диагонали матрица avar) и их ковариации (вторая диагональ 

матрица avar). При этом увеличивается значение логарифма функции максимального правдоподобия

 

>> A=4;

>> B=3;

>> params =[A B];

>> data = gamrnd(A,B,10000,1);

>> [logL,avar] = gamlike(params,data)

logL =

  3.1361e+004

avar =

    0.0030   -0.0022

   -0.0022    0.0018

 

 

Наверх

normlike - Расчет логарифма функции максимального правдоподобия нормального распределения

Синтаксис

logL = normlike(params,data)

[logL,avar] = normlike(params,data)

 

Описание

logL = normlike(params,data) функция позволяет рассчитать отрицательный логарифм функции максимального правдоподобия нормального закона с заданными параметрами ,  и исходной выборки, где  - точечная оценка математического ожидания,  - точечная оценка среднего квадратического отклонения. Параметры нормального закона определяются вектором params: params(1)=, params(2)= . Исходная выборка задается вектором data.

[logL,avar] = normlike(params,data) позволяет рассчитать вектор отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия logL нормального закона и обратную информационную матрицу Фишера avar. Если параметры нормального закона в векторе params были рассчитаны по методу максимального правдоподобия, то avar представляет собой асимптотическое приближение к дисперсионно-ковариационной матрице. Диагональные элементы avar являются асимптотическим приближением к значениям дисперсий соответствующих параметров нормального закона.

 

normlike является вспомогательной функцией при расчете параметров нормального закона по методу максимального правдоподобия для функции mle. функция normlike возвращает отрицательный логарифм logL функции максимального правдоподобия нормального закона. Минимизация значения logL, возвращаемого функцией normlike, соответствует поиску максимума функции максимального правдоподобия. Такая процедура позволяет определить оптимальные параметры нормального закона по методу максимального правдоподобия.

Примеры использования функции расчета отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия нормального закона

Расчет отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия.

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> params =[MU SIGMA];

>> data=normrnd(MU,SIGMA,100,1);

>> logL = normlike(params,data)

logL =

  137.5246

  

Расчет отрицательного логарифма функции максимального правдоподобия и обратной информационной матрицы Фишера.

 

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> params =[MU SIGMA];

>> data=normrnd(MU,SIGMA,100,1);

>> [logL,avar] = normlike(params,data)

logL =

  137.5246

avar =

    0.0111    0.0010

    0.0010    0.0063

  

Как можно видеть из приведенного ниже примера, увеличение объема выборки data на два порядка приводит

к существенному уменьшению величин дисперсий параметров MU, SIGMA  (элементы главной диагонали матрица avar) 

и их ковариаций (вторая диагональ матрица avar). При этом увеличивается значение логарифма функции максимального 

правдоподобия

>> MU=0;

>> SIGMA=1;

>> params =[MU SIGMA];

>> data=normrnd(MU,SIGMA,10000,1);

>> [logL,avar] = normlike(params,data)

logL =

  1.4208e+004

avar =

  1.0e-004 *

    0.9963   -0.0023

   -0.0023    0.4798

 

 

Наверх

bootstrp - Бутстреп оценки. Оценка статистик для данных с дополненным объемом выборки посредством математического моделирования

Синтаксис

bootstat = bootstrp(nboot,'bootfun',d1,d2,...)

[bootstat,bootsam] = bootstrp(...)

 

Описание

bootstat = bootstrp(nboot,'bootfun',d1,d2,...) увеличивает в nboot раз размер выборки из исходного набора данных, d1, d2,…, с последующей передачей выборки для анализа в функцию 'bootfun'. Входной аргумент nboot должен быть положительным целым числом. Входные данные должны иметь одинаковое число строк n. Каждая сформированная бутстреп выборка содержит n строк выбранных случайным образом (с замещением) из переданного множества входных данных d1, d2,…

Каждая строка выходной переменной, bootstat, содержит результаты расчета функцией 'bootfun' статистик бутстреп выборок. Если функция 'bootfun' возвращает несколько выходных переменных, bootstat содержит только первую из них. Если первая возвращаемая функцией 'bootfun' переменная является матрицей, то она преобразуется в вектор-столбец. Полученный вектор присваивается выходной переменной bootstat.

 

[bootstat,bootsam] = bootstrap(...) функция возвращает значения статистик bootstat и матрицу бутстреп индексов bootsam. Каждый из nboot столбцов в матрице bootsam содержит номера значений, которые были извлечены из входного набора данных для составления соответствующей бутстреп выборки. Например, если d1, d2,… содержат по 16 значений и nboot=4, тогда размерность матрицы bootsam будет равна 16x4. первый столбец содержит номера 16 значений извлеченных из d1, d2,… и т.д. для первой из 4 бутстреп выборок, второй столбец содержит индексы для второй бутстреп выборки и т.д. (Бутстреп индексы являются теми же самыми для всех входных наборов данных)

Примеры использования функции расчета бутстреп-оценок выборки

Расчет среднего арифметического значения элементов вектора на 20 элементов. Генерируется 10 бутстреп выборок.

>> X = normrnd(0,1,20,1);

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(10,'mean', X)

bootstat =

   -0.0368

   -0.1050

    0.0818

   -0.1837

    0.0828

   -0.2198

    0.1510

    0.1348

   -0.0164

    0.3476

bootsam =

     4     5     3     9    13     7    19     9    19    18

     7    10     7     9    17     6    16     8    20    15

    14    12     9    12     9    12    18    15    10     7

    16    16    11    20    19     4    15    12    17    15

    12     8    11     8    19     8    14     6    14    14

    18     5     5     8    11    15    14    18     7    15

    11    13     9    12     7    20    11    12    13     9

    20     1     9     7    11    14     9     1     2     5

     3     4    14     7     8     4     4    13     8     1

     3    11    13    20    14    16    12    15     7    17

    18    16    14    13    14     5    17     2    12    18

     5     2     2     8    13    11     3     4    18     1

    13     7    16     4     3    14     2    10    18     9

     1    14    16     2    17    15     9    12     3     3

    19     5     7    16    15     7     2     9     9     5

     5    18     9     1     8    20    15     9    14    10

    20     5    15    12    17    17    16    18    19     9

    18    15    10    15     3    19    15     4     9     1

     8     6     7    11    18    17     3     8    10    16

    11    10     3     7     9    11    16    20    15    10

  

Графическое представление полученных результатов

>> X = normrnd(0,1,20,1);

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(100,'mean', X);

>> hist(bootstat)

>> grid on

 

Сравнение результатов расчета среднего арифметического по исходной выборке и средних арифметических значений полученных методом бутстреп оценок

>> X = normrnd(0,1,20,1);

>> m = mean(X)

m =

   -0.0826

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(5,'mean', X)

bootstat =

    0.0199

   -0.7018

   -0.1665

   -0.2772

   -0.3740

bootsam =

    16    15    20     1     2

    15    13    18    10    12

    20     4    16    11     1

    20    18    10    18     1

     4    19     3    16     5

    12    20    13     9     5

     4    19     9    20     4

    14     3     6    13     5

     9    18    17     3    13

     2     2    19     7    15

    12     9     1     7     3

     9    15    14     3     2

    13     1    12     6    12

    10    11     1    18     5

     5    10    12    11     2

    11     4     8     5    17

     7    18     2     9    15

    16    18     5     6    14

     1    11    15     1     4

    17     4     9     1    11

Графическое представление результатов расчета среднего арифметического по исходной выборке и средних арифметических значений полученных методом бутстреп оценок

>> X = normrnd(0,1,20,1);

>> m = mean(X)

m =

   -0.0110

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(100,'mean', X);

>> hist(bootstat)

>> grid on

>> H=line ([m m], [0 25]);

 

Расчет бутстреп оценки коэффициента эксцесса выборки для матрицы с размерностью 5x5. Генерируется 10 бутстреп выборок.

>> X = normrnd(0,1,5,5);

X =

   -1.0082    0.2710   -0.3135   -0.3609    0.4938

   -0.6646    1.5350   -0.6022    0.5536   -0.8709

    0.5582   -1.0523    1.2591   -1.5564    0.0798

   -1.1885    0.6256    0.8585   -0.2067   -0.5216

   -0.7755   -0.7976   -2.1053   -0.4256   -1.4139

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(10,'kurtosis', X)

bootstat =

    1.1667    1.1667    1.1667    1.1667    1.1667

    2.6310    2.4268    1.2410    2.3911    2.3623

    3.1957    3.0127    2.9198    3.1830    1.7715

    1.2219    1.4334    2.9249    1.4517    1.4670

    2.8096    2.6053    1.3214    2.5753    2.5508

    2.7328    1.5063    2.0226    2.5297    2.1854

    2.7544    2.2273    1.2500    3.2284    2.8191

    1.2057    1.1850    3.1529    1.1873    2.2188

    1.1667    1.1667    1.1667    1.1667    1.1667

    1.6549    1.9115    2.4535    1.2021    2.4930

bootsam =

     5     2     4     4     2     2     5     4     1     2

     1     4     4     4     3     5     2     3     1     4

     1     2     1     3     2     3     1     5     4     1

     5     3     4     3     2     4     5     3     4     5

     1     4     3     2     4     4     5     4     1     2

>> k = kurtosis(X)

k =

    2.8487    1.6520    1.9318    2.5053    1.6952

Расчет коэффициента корреляции методом бутстреп оценок для двух векторов с размерностью 20x1. Генерируется 10 бутстреп выборок. Полученные выборки передаются функции расчета коэффициента корреляции corrcoef. В результате расчета коэффициента корреляции формируется матрица значений bootstat с размерностью 10x4. Т.е., полученная матрица коэффициентов корреляции с размерностью 2x2 преобразуется в вектор с размерностью 1x4. Расчет повторяется для 10 выборок.

>> X1 = normrnd(0,1,20,1);

>> X2 = normrnd(0,1,20,1);

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(10,'corrcoef', X1, X2)

 

bootstat =

    1.0000    0.4900    0.4900    1.0000

    1.0000    0.5219    0.5219    1.0000

    1.0000    0.3715    0.3715    1.0000

    1.0000    0.6003    0.6003    1.0000

    1.0000    0.2251    0.2251    1.0000

    1.0000    0.3585    0.3585    1.0000

    1.0000    0.5380    0.5380    1.0000

    1.0000    0.5195    0.5195    1.0000

    1.0000    0.4179    0.4179    1.0000

    1.0000    0.6214    0.6214    1.0000

bootsam =

    15     1     1     1     8    10    12     4    19    10

    10    18    10    11     5    13    10    10    20    10

     5    15    10     6    15    14    12    18     5     7

    15    15    17    20    18     6     6     6    17    19

     4    14    11     7     9    14    13    10     5     3

     8    10    17    15     7    12    10     7     8     1

     1    14     9    11    13    17     4     9     2    16

     3     3    16     3    16    19     4    14     5    12

     3    18    14    12    18    19     3    11    18    15

    20    17    18     8     9     8     8    17    16    11

    16     2     2     2    16    17     2    17    15    15

    15     5    15     5     3    10     2    16    14     5

    20    14    13     5    14    14    19    18     9     2

    19    14    12    16     6    13    17     7     5     5

     5    16     4    20    13    15     9     8     8     4

    12    15     3    19    11     6     9    10    11    17

     4     2     9    14     1    17     4     5     9     8

    16     6    11    14    10     3    18     8    20     8

    20    18     3     9    11     8    11     4     9     3

     8     8     1     6    18    11     7     9     7     6

   

Графическое представление полученных результатов

>> X1 = normrnd(0,1,20,1);

>> X2 = normrnd(0,1,20,1);

>> [bootstat,bootsam] = bootstrp(100,'corrcoef', X1, X2);

>> hist(bootstat(:,2))

>> grid on

 

 

 

Наверх

corrcoef - Оценка коэффициента корреляции (функция MATLAB)

Синтаксис

R = corrcoef(X)

R = corrcoef(x,y)

[R,P]=corrcoef(...)

[R,P,RLO,RUP]=corrcoef(...)

[...]=corrcoef(...,'param1',val1,'param2',val2,...)

 

Описание

R = corrcoef(X) функция предназначена для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции R выборок представленных в виде матрицы Х. Наблюдения располагаются построчно в матрице Х, выборки - по столбцам.

Расчет (i,j) элемента матрицы R осуществляется по формуле 

где C = cov(X) - матрица ковариаций.

 

R = corrcoef(x,y) функция предназначена для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции R векторов x и y. Тот же результат можно получить при использовании corrcoef([x y]).

[R,P]=corrcoef(...) функция возвращает матрицы парных коэффициентов корреляции R и уровней значимости P, используемых при проверке гипотезы об отсутствии корреляции. Каждое значение Р является значением вероятности получить величину коэффициента корреляции более, чем рассчитанное выборочное значение под действием случайных факторов когда истинное значение коэффициента корреляции равно нулю. Если P(i,j) менее 0,05, то значение коэффициента корреляции R(i,j) является значимым.

 

[R,P,RLO,RUP]=corrcoef(...) функция возвращает матрицы парных коэффициентов корреляции R, уровней значимости P, нижних RLO и верхних RUP границ 95% доверительных интервалов коэффициентов корреляции.

[...]=corrcoef(...,'param1',val1,'param2',val2,...) в этом варианте синтаксиса функции дополнительные входные параметры определяют:

'alpha'

Значение уровня значимости. Доверительная вероятность определяется как 100*(1 - alpha)%. По умолчанию уровень значимости равен 0,05, что соответствует 95% доверительному интервалу коэффициента корреляции.

'rows'

Определяет способ исключения строк матрицы Х со значениями NaN при расчете коэффициента корреляции. Возможные значения параметра: 'all' - используются все строки (значение по умолчанию), 'complete' - исключаются строки со значениями NaN, 'pairwise' - при расчете R(i,j) исключаются строки, содержащие NaN в столбце i или j.

Значения уровня значимости рассчитываются на основе преобразования коэффициента корреляции в t статистику с n-2 степенями свободы, где n - количество строк матрицы Х. Границы доверительного интервала коэффициента корреляции рассчитываются на основании того, что статистика, рассчитанная как 0.5*log((1+R)/(1-R)) имеет асимптотическое приближение к нормальному закону с дисперсией равной 1/(n-3). Рассчитанные таким образом границы доверительного интервала коэффициента корреляции являются точными при больших выборках, когда Х распределены по многомерному нормальному закону. Параметр 'rows' равный 'pairwise' может привести к получения матрицы R которая не будет положительно определенной.

 

Функция corrcoef является функцией ядра MATLAB.

Примеры использования функции расчета матрицы парных коэффициентов корреляции

Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции для 5 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде матрицы

>> X = normrnd(0,1,20,5);

>> R = corrcoef(X)

R =

    1.0000    0.4873    0.3854    0.0931   -0.2074

    0.4873    1.0000    0.6276   -0.3016   -0.3204

    0.3854    0.6276    1.0000   -0.4313   -0.4647

    0.0931   -0.3016   -0.4313    1.0000    0.1005

   -0.2074   -0.3204   -0.4647    0.1005    1.0000

Расчет матрицы парных коэффициентов корреляции для 2 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде 2 векторов

>> X = normrnd(0,1,20,1);

>> Y = normrnd(0,1,20,1);

>> R = corrcoef(X,Y)

R =

    1.0000   -0.4462

   -0.4462    1.0000

 

Расчет матриц парных коэффициентов корреляции и уровней значимости для 5 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде матрицы

>> X = normrnd(0,1,20,5);

>> [R P] = corrcoef(X)

R =

    1.0000   -0.1259    0.1972   -0.1178   -0.0923

   -0.1259    1.0000   -0.1805    0.2883    0.0972

    0.1972   -0.1805    1.0000    0.0367   -0.0704

   -0.1178    0.2883    0.0367    1.0000    0.1538

   -0.0923    0.0972   -0.0704    0.1538    1.0000

P =

    1.0000    0.5970    0.4046    0.6208    0.6987

    0.5970    1.0000    0.4463    0.2177    0.6836

    0.4046    0.4463    1.0000    0.8780    0.7680

    0.6208    0.2177    0.8780    1.0000    0.5175

    0.6987    0.6836    0.7680    0.5175    1.0000

Расчет матриц парных коэффициентов корреляции, уровней значимости и границ 95% доверительного интервала для 5 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде матрицы

>> X = normrnd(0,1,20,5);

>> [R P RLO RUP] = corrcoef(X)

R =

    1.0000   -0.2635    0.1917   -0.0096   -0.1274

   -0.2635    1.0000   -0.4230    0.3252   -0.1207

    0.1917   -0.4230    1.0000    0.2903    0.2034

   -0.0096    0.3252    0.2903    1.0000    0.1955

   -0.1274   -0.1207    0.2034    0.1955    1.0000

P =

    1.0000    0.2616    0.4181    0.9678    0.5924

    0.2616    1.0000    0.0631    0.1618    0.6124

    0.4181    0.0631    1.0000    0.2143    0.3897

    0.9678    0.1618    0.2143    1.0000    0.4088

    0.5924    0.6124    0.3897    0.4088    1.0000

RLO =

    1.0000   -0.6323   -0.2741   -0.4502   -0.5395

   -0.6323    1.0000   -0.7290   -0.1370   -0.5346

   -0.2741   -0.7290    1.0000   -0.1746   -0.2628

   -0.4502   -0.1370   -0.1746    1.0000   -0.2704

   -0.5395   -0.5346   -0.2628   -0.2704    1.0000

RUP =

    1.0000    0.2026    0.5846    0.4347    0.3339

    0.2026    1.0000    0.0240    0.6711    0.3400

    0.5846    0.0240    1.0000    0.6494    0.5926

    0.4347    0.6711    0.6494    1.0000    0.5872

    0.3339    0.3400    0.5926    0.5872    1.0000

 

Расчет матриц парных коэффициентов корреляции, уровней значимости и границ 99% доверительного интервала для 5 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде матрицы

>> X = normrnd(0,1,20,5);

>> [R P RLO RUP] = corrcoef(X,'alpha',0.01)

R =

    1.0000    0.4454    0.2195   -0.2765    0.2113

    0.4454    1.0000    0.2026    0.1240   -0.0572

    0.2195    0.2026    1.0000   -0.3124   -0.1067

   -0.2765    0.1240   -0.3124    1.0000   -0.1876

    0.2113   -0.0572   -0.1067   -0.1876    1.0000

P =

    1.0000    0.0491    0.3526    0.2380    0.3712

    0.0491    1.0000    0.3916    0.6026    0.8106

    0.3526    0.3916    1.0000    0.1800    0.6545

    0.2380    0.6026    0.1800    1.0000    0.4284

    0.3712    0.8106    0.6545    0.4284    1.0000

RLO =

    1.0000   -0.1448   -0.3814   -0.7204   -0.3887

   -0.1448    1.0000   -0.3963   -0.4622   -0.5928

   -0.3814   -0.3963    1.0000   -0.7388   -0.6242

   -0.7204   -0.4622   -0.7388    1.0000   -0.6721

   -0.3887   -0.5928   -0.6242   -0.6721    1.0000

RUP =

    1.0000    0.8018    0.6899    0.3283    0.6854

    0.8018    1.0000    0.6806    0.6348    0.5135

    0.6899    0.6806    1.0000    0.2928    0.4759

    0.3283    0.6348    0.2928    1.0000    0.4094

    0.6854    0.5135    0.4759    0.4094    1.0000

Расчет матриц парных коэффициентов корреляции, уровней значимости и границ 99% доверительного интервала для 5 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде матрицы, содержащую нечисловые элементы NaN. Режим исключения нечисловых элементов парный построчный - 'pairwise'.

>> X = normrnd(0,1,20,5);

>> X([1 20 25 36 45 90 99]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> [R P RLO RUP] = corrcoef(X,'alpha',0.01,'rows','pairwise')

R =

    1.0000    0.1399   -0.0245    0.1995   -0.2121

    0.1399    1.0000    0.2357   -0.0335    0.0030

   -0.0245    0.2357    1.0000   -0.1962    0.1095

    0.1995   -0.0335   -0.1962    1.0000    0.1604

   -0.2121    0.0030    0.1095    0.1604    1.0000

P =

    1.0000    0.6053    0.9256    0.4274    0.4304

    0.6053    1.0000    0.3465    0.8950    0.9913

    0.9256    0.3465    1.0000    0.4209    0.6758

    0.4274    0.8950    0.4209    1.0000    0.5249

    0.4304    0.9913    0.6758    0.5249    1.0000

RLO =

    1.0000   -0.5180   -0.6125   -0.4324   -0.7305

   -0.5180    1.0000   -0.4011   -0.6035   -0.6116

   -0.6125   -0.4011    1.0000   -0.6872   -0.5216

   -0.4324   -0.6035   -0.6872    1.0000   -0.4647

   -0.7305   -0.6116   -0.5216   -0.4647    1.0000

RUP =

    1.0000    0.6938    0.5809    0.7000    0.4614

    0.6938    1.0000    0.7188    0.5591    0.6153

    0.5809    0.7188    1.0000    0.4180    0.6631

    0.7000    0.5591    0.4180    1.0000    0.6788

    0.4614    0.6153    0.6631    0.6788    1.0000

 

Пример генерации матрицы случайны чисел с размерностью 30x4, у которой 4 столбец коррелирован с остальными столбцами

Генерация некоррелированных выборок

>> x = randn(30,4);

 

Создание 4 столбца коррелированного с первыми тремя

>> x(:,4) = sum(x,2);

 

Расчет матриц точечных оценок коэффициента корреляции и значений уровня значимости

>> [r,p] = corrcoef(x)

r =

    1.0000   -0.3566    0.1929    0.3457

   -0.3566    1.0000   -0.1429    0.4461

    0.1929   -0.1429    1.0000    0.5183

    0.3457    0.4461    0.5183    1.0000

p =

    1.0000    0.0531    0.3072    0.0613

    0.0531    1.0000    0.4511    0.0135

    0.3072    0.4511    1.0000    0.0033

    0.0613    0.0135    0.0033    1.0000

  

Определение индексов значимых коэффициентов корреляции

 

>> [i,j] = find(p<0.05)

ans =

     4     2

     4     3

     2     4

     3     4

 

 

Наверх

cov - Оценка матрицы ковариаций (функция MATLAB)

Синтаксис

C = cov(X)

C = cov(x,y)

 

Описание

C = cov(X) функция предназначена для расчета ковариационной матрицы C. Если задана одна выборка, Х - вектор, С является дисперсией выборки. Если Х матрица, где строки являются наблюдениями, а столбцы выборками, С представляет собой ковариационную матрицу. По диагонали матрицы С расположены значения дисперсий выборок Х.

C = cov(x,y) функция предназначена для расчета ковариационной матрицы С для двух выборок x, y заданных как векторы-столбцы. Размерность векторов должна совпадать. Тот же результат можно получить при использовании варианта вызова cov([x y]).

Функция cov является функцией ядра MATLAB.

 

Алгоритм, используемый при расчете ковариационной матрицы 

[n,p] = size(X);

X = X - ones(n,1) * mean(X);

Y = X'*X/(n-1);

 

Примеры использования функции расчета матрицы ковариаций

Расчет ковариационной матрицы для 5 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде матрицы

 

>> X = normrnd(0,1,20,5);

>> C = cov (X)

C =

    1.0823   -0.1735   -0.0628    0.2288   -0.1609

   -0.1735    1.0714    0.0230   -0.2807    0.0125

   -0.0628    0.0230    0.8124    0.0208   -0.0703

    0.2288   -0.2807    0.0208    0.9275    0.0782

   -0.1609    0.0125   -0.0703    0.0782    0.3810

   

Расчет ковариационной матрицы для 2 выборок с объемом 20 элементов представленных в виде 2 векторов

>> X = normrnd(0,1,20,1);

>> Y = normrnd(0,1,20,1);

>> C = cov (X,Y)

C =

    0.8092    0.2905

    0.2905    0.9515

 

 

Наверх

crosstab - Кросстабуляция для нескольких векторов с положительными целыми элементами

Синтаксис

table = crosstab(col1,col2)

table = crosstab(col1,col2,col3,...)

[table,chi2,p] = crosstab(col1,col2)

[table,chi2,p,label] = crosstab(col1,col2)

 

Описание

table = crosstab(col1,col2) функция выполняет расчет частот повторяемости table пар целых положительных значений векторов col1, col2. Результат расчета выводится в виде матрицы частот table. Размерность матрицы равна m?n, где m - количество значений элементов в векторе col1, n - количество значений элементов в векторе col2. Если векторы col1, col2 содержат вещественные значения, массивы символов, строковые массивы ячеек, то в соответствие каждому значению col1, col2 ставится целое положительное число и выполняется кросс-табуляция по этим числам.

table = crosstab(col1,col2,col3,...) функция возвращает n-мерный массив частот table сочетаний значений векторов col1, col2, col3,..., где n - количество векторов в списке входных переменных. Значение массива table(i,j,k,...) соответствует частоте повторяемости сочетаний значений col1(i), col2(j), col3(k).

 

[table,chi2,p] = crosstab(col1,col2) функция выполняет расчет частот повторяемости table пар значений векторов col1, col2, значения статистики  chi2, уровня значимости p. Значение статистики chi2 используется для проверки статистической гипотезы о независимости строк и столбцов матрицы частот table. Значение p является уровнем значимости при проверке указанной статистической гипотезы. Значение уровня значимости p близкое к нулю позволяет принять гипотезу о независимости строк и рядов матрицы частот table.

[table,chi2,p,label] = crosstab(col1,col2) функция кроме частот повторяемости table, значения статистики  chi2, уровня значимости p, возвращает массив ячеек label, содержащий значения входных аргументов, распределенных последовательно по столбцам матрицы. Значение label(i,j) является элементом вектора colj определяющим i-ю группу в j-м измерении.

Примеры использования функции кросс-табуляции значений нескольких векторов

Расчет частот повторяемости пар целых положительных значений двух векторов. Значения вектора r1 изменяются в диапазоне 1…3, вектора r2 - в диапазоне 1…2.

>> r1 = unidrnd(3,50,1);

>> r2 = unidrnd(2,50,1);

>> table = crosstab(r1,r2)

table =

     7     5

    15     8

     9     6

 

Расчет частот повторяемости сочетаний положительных значений трех векторов. Значения вектора r1 изменяются в диапазоне 1…3, вектора r2 - в диапазоне 1…2, вектора r3 - в диапазоне 1...5.

>> r1 = unidrnd(3,50,1);

>> r2 = unidrnd(2,50,1);

>> r3= unidrnd(5,50,1);

>> table = crosstab(r1,r2,r3)

table(:,:,1) =

     1     1

     3     2

     2     2

table(:,:,2) =

     0     0

     5     1

     1     1

table(:,:,3) =

     4     1

     3     1

     2     1

table(:,:,4) =

     0     1

     3     1

     2     1

table(:,:,5) =

     2     2

     1     3

     2     1

   

Расчет частот повторяемости пар значений двух векторов, значения статистики  , уровня значимости.

>> r1 = unidrnd(3,50,1);

>> r2 = unidrnd(2,50,1);

>> [table,chi2,p] = crosstab(r1,r2)

table =

     2     5

    10    14

    10     9

chi2 =

    1.3038

p =

    0.5211

  

Расчет частот повторяемости пар значений двух векторов, значения статистики  , уровня значимости, 

а также вывод значений 

элементов группируемых векторов.

 

>> r1 = unidrnd(3,50,1);

>> r2 = unidrnd(2,50,1);

>> [table,chi2,p,label] = crosstab(r1,r2)

table =

     7     6

    10    15

     8     4

chi2 =

    2.4103

p =

    0.2997

label = 

    '1'    '1'

    '2'    '2'

    '3'     []

  

Пример использования строковых переменных при кросс-табуляции.

>> r1 = ['a b c a b c a b c b c b c']';

>> r2 = ['a b a b a b a b b b b a a']';

>> [table,chi2,p,label] = crosstab(r1,r2)

table =

     2     1

     2     3

     2     3

chi2 =

    0.6603

p =

    0.7188

label = 

    'a'    'a'

    'b'    'b'

    'c'     []  

 

 

Наверх

geomean - Среднее геометрическое

Синтаксис

m = geomean(X)

 

Описание

m = geomean(X) - функция предназначена для расчета значения среднего геометрического m выборки Х. Если Х задана как вектор, то среднее геометрическое значение рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы среднее геометрическое значение рассчитывается для каждого столбца Х.

Расчет среднего геометрического выборки выполняется по формуле

где n - объем выборки.

 

Примеры использования функции расчета среднего геометрического значения

Расчет среднего геометрического значения для выборки Х заданной в виде вектора

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> m = geomean(X)

m =

    9.8288

  

Расчет среднего геометрического значения для выборки Х заданной как матрица

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> m = geomean(X)

m =

    9.8756    9.9409    9.8043    9.8842   10.0197

  

Величина среднего геометрического выборки Х должна быть меньше или равна среднему арифметическому значению

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> m = geomean(X)

m =

    9.8945   10.0551    9.8076    9.9412    9.8391

>> xbar = mean(X)

xbar =

    9.9457   10.0980    9.8506   10.0064    9.8963

 

 

Наверх

grpstats - Сводные статистики по группам

Синтаксис

means = grpstats(X,group)

[means,sem,counts,name] = grpstats(X,group)

[means,sem,counts,name] = grpstats(x,group,alpha)

 

Описание

means = grpstats(X,group) функция предназначена для расчета среднего арифметического значения means категоризованной переменной Х. Среднее арифметическое значение рассчитывается для каждой категории. Деление на категории выполняется при помощи входного аргумента group. Выборка негруппированных значений Х может быть задана как вектор или матрица. Значения вектора или матрицы Х принадлежат к одной категории, если равны соответствующие значения переменной group. Входной аргумент group может быть представлен как вектор, массив строк или массив ячеек строковых переменных. Также group может быть массивом ячеек, содержащим несколько сгруппированных переменных, например {G1 G2 G3}. В последнем случае наблюдения принадлежат к одной группе, если равны между собой все сгруппированные переменные. Размерность векторов X и group должна совпадать. Если выборка Х задана как матрица, категоризующая переменная group должна быть представлена как вектор. Количество строк матрицы X и элементов вектора group должно быть одинаковым.

[means,sem,counts,name] = grpstats(x,group) функция позволяет рассчитать точечную means и интервальную sem оценки математического ожидания категоризованной переменной Х, количество элементов в каждой категории counts, и отобразить список названий категорий name. 

 

Переменная name полезна для установления соответствия между полученными результатами расчета means, sem и заданными категориями, если элементы group не являются целыми числами.

[means,sem,counts,name] = grpstats(x,group,alpha) этот вариант синтаксиса функции кроме результатов расчета значений means, sem, counts и вывода названий name строит график средних арифметических значений и их 100*(1-alpha)% доверительных интервалов по категориям в порядке возрастания последних.

Примеры использования функции расчета точечной и интервальной оценок математического ожидания категоризованной переменной

Расчет точечной оценки математического ожидания для категоризованной выборки заданной как вектор. Выборка х из 100 наблюдений делится на 4 категории. Категории кодируются целыми числами в диапазоне от 1 до 4.

>> group = unidrnd(4,100,1);

>> x = normrnd(0,1,100,1);

>> means = grpstats(x,group)

means =

    0.0369

    0.0317

    0.0759

    0.0454

 

Расчет точечной оценки математического ожидания для категоризованной выборки заданной в виде матрицы. Переменная Х задается как матрица с размерностью 100x5 и представляет собой 5 выборок по 100 элементов в каждой. Математическое ожидание при генерации выборок изменяется от 1 до 5. Значения в каждой выборке делятся на 4 группы. Категоризующая переменная group задается как вектор целых чисел с размерностью 100x1.

>> group = unidrnd(4,100,1);

>> true_mean = 1:5;

>> true_mean = true_mean(ones(100,1),:);

>> x = normrnd(true_mean,1);

>> means = grpstats(x,group)

means =

    1.0369    1.5801    2.8850    4.3252    5.1890

    1.0317    1.9425    3.0184    3.8486    4.9424

    1.0759    1.9433    2.8528    4.0344    4.6057

    1.0454    1.9528    2.9190    3.8409    4.7507

Расчет точечных means и интервальных sem оценок математического ожидания категоризованной переменной Х, количества элементов в каждой категории counts, и отображения списка названий категорий name. Переменная Х задается как матрица с размерностью 100x5. Категории кодируются вектором целых чисел на 4 группы.

>> group = unidrnd(4,100,1);

>> x = normrnd(0,1,100,5);

>> [means,sem,counts,name] = grpstats(x,group)

means =

   -0.2741    0.0263   -0.1199   -0.1949    0.0658

    0.0205    0.1609   -0.0889    0.1441   -0.1134

   -0.2905    0.0505   -0.0386    0.1086   -0.2904

    0.5349   -0.0313    0.0819    0.5119   -0.3288

sem =

    0.2056    0.1608    0.1764    0.1989    0.1852

    0.1506    0.1960    0.2535    0.2000    0.2050

    0.1678    0.1209    0.1544    0.1434    0.1537

    0.2332    0.2603    0.2468    0.1457    0.1845

counts =

    29    29    29    29    29

    25    25    25    25    25

    29    29    29    29    29

    17    17    17    17    17

name = 

    '1'

    '2'

    '3'

    '4'

  

Расчет значений means, sem, counts, вывод name и графика средних арифметических значений с 95% доверительными

интервалами по соответствующим категориям.

 

>> group = unidrnd(4,100,1);

>> x = normrnd(0,1,100,5);

>> [means,sem,counts,name] = grpstats(x,group,0.05)

means =

    0.0135   -0.4496    0.0543    0.2349   -0.1285

    0.1529    0.2906   -0.1331    0.2133    0.2041

    0.1151    0.0340    0.0273    0.1469    0.2279

   -0.3031   -0.4670   -0.2492    0.0589    0.2070

sem =

    0.2215    0.2651    0.1741    0.2816    0.1873

    0.2205    0.1940    0.1795    0.2196    0.1597

    0.2330    0.1574    0.2300    0.2046    0.1756

    0.2227    0.2238    0.1720    0.2088    0.2229

counts =

    19    19    19    19    19

    29    29    29    29    29

    28    28    28    28    28

    24    24    24    24    24

name = 

    '1'

    '2'

    '3'

    '4'

Расчет значений means, sem, counts и вывод списка категорий name. Переменная Х задается как матрица с размерностью 20x5. Категории определяются строковым массивом и выборка делится на 4 группы.

>> group ={'A' 'B' 'C' 'D' 'A' 'B' 'A' 'B' 'C' 'D' 'C' 'D' 'A' 'A' 'B' 'C' 'D' 'B' 'C' 'D'}'

group = 

    'A'

    'B'

    'C'

    'D'

    'A'

    'B'

    'A'

    'B'

    'C'

    'D'

    'C'

    'D'

    'A'

    'A'

    'B'

    'C'

    'D'

    'B'

    'C'

    'D'

>> x = normrnd(0,1,20,5)

x =

   -0.2463   -0.2979   -0.5299    0.8683    0.7193

   -0.1457    1.1543    0.5411   -0.8048   -0.2831

   -1.1690    1.0461    0.6817   -0.7527   -1.4250

   -0.0220    2.1269    0.5386   -0.7458    0.4615

    0.6183   -0.6558   -0.5100   -0.3097    1.0915

    1.8659   -1.1424   -1.3221   -1.5219   -1.0443

    0.0819    0.9490   -0.6107    0.8265   -2.8428

    1.6080   -0.4046   -0.5653   -0.6130    0.9968

   -0.3807   -0.3843    0.0862    0.9597    0.0765

   -1.2996    0.4820    0.6915    1.9730   -1.8667

   -0.7240    0.4438    2.1338    0.2950   -0.6136

   -0.5650    0.3811   -0.0029   -0.3927    1.1694

    0.6217    1.1023   -0.0895    0.5759   -0.5750

   -1.3355    0.8564   -0.2550   -1.1414   -0.2648

   -0.1231   -1.1785   -0.8742    0.0611    0.0047

   -1.1028    0.4020    0.4229    0.0123   -0.0394

   -2.7532   -0.5842   -0.1334   -0.1681   -0.5054

    0.2520   -0.9795    0.5396   -0.6873   -1.1578

   -0.8581    0.1151    0.8752   -0.9907    0.7104

    1.1354    0.0685   -1.2508   -0.0498    0.7282

>> [means,sem,counts,name] = grpstats(x,group)

means =

    0.3502   -0.8565   -0.5624    0.2891   -0.0456

    0.2269   -0.1071   -0.5212   -0.7214    0.4791

   -1.2206    0.6396    0.3454   -0.0956   -0.2041

   -0.2389   -0.2455    0.0123    0.4581    0.4169

sem =

    0.6679    0.3892    0.6913    0.7837    0.3769

    0.2133    0.4039    0.5240    0.3131    0.3355

    0.5199    0.3487    0.6232    0.2142    0.2502

    0.4466    0.2645    0.4143    0.4821    0.3391

counts =

     5     5     5     5     5

     5     5     5     5     5

     5     5     5     5     5

     5     5     5     5     5

name = 

    'A'

    'B'

    'C'

    'D'

 

 

Наверх

harmmean - Среднее гармоническое

Синтаксис

m = harmmean(X)

 

Описание

m = harmmean(X) функция предназначена для расчета значения среднего гармонического m выборки Х. Если Х задан как вектор, то среднее гармоническое значение рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы среднее гармоническое значение рассчитывается для каждого столбца Х.

Расчет среднего гармонического выборки выполняется по формуле

где n - объем выборки.

 

Примеры использования функции расчета среднего гармонического значения

Расчет среднего гармонического значения выборки Х заданной в виде вектора

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> m = harmmean (X)

m =

    9.8263

  

Расчет среднего гармонического значения выборки Х заданной в виде матрицы

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> m = harmmean (X)

m =

   10.0391   10.0635   10.0522   10.1031    9.8092

   

Величина среднего гармонического выборки Х должна быть меньше или равна среднему арифметическому значению

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> m = harmmean (X)

m =

    9.8292   10.0088   10.0028    9.9007    9.9302

>> xbar = mean(X)

xbar =

    9.9206   10.1203   10.1265   10.0111   10.0221

 

 

Наверх

iqr - Разность между 75% и 25% квантилями или между 3-й и 1-ой квартилями

Синтаксис

y = iqr(X)

 

Описание

y = iqr(X) функция предназначена для расчета интерквартильного размаха y выборки Х. Интерквартильный размах представляет разницу между 75% и 25% процентилями выборки. Интерквартильный размах является робастной оценкой разброса значений выборки.

Если Х задана как вектор, то интерквартильный размах рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы интерквартильный размах рассчитывается для каждого столбца Х.

 

Интерквартильный размах является более репрезентативной оценкой разброса значений выборки по сравнению с точечной оценкой среднего квадратического отклонения, но менее эффективен при оценке разброса нормально распределенных данных.

Точечная оценка среднего квадратического отклонения для нормально распределенной генеральной совокупности может быть получена как произведение интерквартильного размаха на 0,7413.

Примеры использования функции расчета интерквартильного размаха выборки

 

Расчет интерквартильного размаха выборки Х, заданной в виде вектора

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> y = iqr(X)

y =

 

    1.3242

  

Расчет интерквартильного размаха выборки Х, заданной в виде матрицы

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> y = iqr(X)

y =

    1.4223    1.4877    1.3366    0.9497    1.7574

  

Определение эффективности точечной оценки среднего квадратического отклонения, рассчитанной как произведение 

интерквартильного размаха выборки на 0,7413, для 100 нормально распределенных выборок.

 

>> X = normrnd(0,1,100,100);

>> s = std(X);

>> s_IQR = 0.7413 * iqr(X);

>> efficiency = (norm(s - 1)./norm(s_IQR - 1)).^2

efficiency =

   0.5409

 

 

Наверх

kurtosis - Оценка коэффициента эксцесса (в отечественной литературе коэффициент эксцесса определяется как b2=kurtosis-3)

Синтаксис

k = kurtosis(X)

k = kurtosis(X,flag)

 

Описание

k = kurtosis(X) функция предназначена для расчета точечной оценки коэффициента эксцесса k выборки Х. Если Х задана как вектор, то точечная оценка коэффициента эксцесса рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы точечная оценка коэффициента эксцесса рассчитывается для каждого столбца Х.

Расчет точечной оценки коэффициента эксцесса выборки выполняется по формуле

,

где  - среднее арифметическое значение выборки  ,  - точечная оценка среднего квадратического отклонения выборки  ,  - наиболее вероятная оценка параметра t.

 

Коэффициент эксцесса показывает насколько выборка Х по наклону кривой функции плотности вероятности соответствует нормальному закону. Для нормального закона коэффициент эксцесса равен 3. Законы распределения с более острой вершиной, чем у нормального имеют коэффициент эксцесса более 3 и с менее острой вершиной - менее 3.

Примечание: в отечественной литературе коэффициент эксцесса определяется по формуле  . Таким образом, коэффициент эксцесса нормального закона равен 0.

 

k = kurtosis(X,flag) функция позволяет рассчитать несмещенную (flag=0) и смещенную (flag=1, значение по умолчанию) точечную оценку коэффициента эксцесса k выборки Х. Величина смещения выборочного коэффициента эксцесса зависит от объема выборки. Если Х является выборкой из генеральной совокупности, для получения несмещенной точечной оценки коэффициента эксцесса flag должен быть равен 0.

Примеры использования функции расчета точечной оценки коэффициента эксцесса выборки

Расчет точечной оценки коэффициента эксцесса выборки Х, заданной в виде вектора

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> k = kurtosis(X)

k =

    2.6987

  

Расчет точечной оценки коэффициента эксцесса выборки Х заданной в виде матрицы

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> k = kurtosis(X)

k =

    2.4775    2.9325    2.6933    3.0013    3.0669

  

Расчет смещенной и несмещенной точечных оценок коэффициента эксцесса выборки Х

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> k = kurtosis(X,1)

k =

    2.7772

>> k = kurtosis(X,0)

k =

   -0.1718

   

Сравнение распределения выборок и значений коэффициента эксцесса для нормального закона и закона Вейбулла

>> X1 = normrnd(10,1,100,1);

>> X2 = weibrnd(2,1,100,1);

>> X = [X1 X2];

>> k = kurtosis(X)

k =

    3.1280    4.5821

>> histfit(X1)

>> grid on

>> histfit(X2)

>> grid on

 

 

Наверх

mad - Среднее абсолютное отклонение от среднего значения

Синтаксис

y = mad(X)

 

Описание

y = mad(X) функция предназначена для расчета среднего абсолютного отклонения y выборки Х от среднего арифметического значения. Выборка Х может быть представлена в виде вектора или матрицы. Если Х задана как вектор, то среднее абсолютное отклонение значений выборки рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы среднее абсолютное отклонение рассчитывается для каждого столбца Х.

Среднее абсолютное отклонение является менее эффективной оценкой разброса значений выборки из нормально распределенной генеральной совокупности по сравнению с точечной оценкой среднего квадратического отклонения.

 

Для нормально распределенной генеральной совокупности точечная оценка среднего квадратического отклонения равна произведению среднего абсолютного отклонения на 1,3.

Примеры использования функции расчета среднего абсолютного отклонения значений выборки

Расчет среднего абсолютного отклонения выборки Х заданной как вектор

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> y = mad(X)

y =

    0.7325

  

Расчет среднего абсолютного отклонения выборки Х, заданной в виде матрицы

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> y = mad(X)

y =

    0.7628    0.9216    0.8363    0.7577    0.8859

  

Определение эффективности точечной оценки среднего квадратического отклонения, рассчитанной как произведение 

среднего абсолютного отклонения на 1,3, для 100 нормально распределенных выборок.

 

>> X = normrnd(0,1,100,100);

>> s = std(X);

>> s_MAD = 1.3 * mad(X);

>> efficiency = (norm(s - 1)./norm(s_MAD - 1)).^2

efficiency =

    0.6730

 

 

Наверх

moment - Оценка центрального момента. Порядок момента задается как аргумент функции

Синтаксис

m = moment(X,k)

 

Описание

m = moment(X,k) функция предназначена для расчета центрального момента m порядка k выборки X. Значение порядка момента k должно быть целым положительным числом. Если Х задана как вектор, то центральный момент m рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы центральный момент m рассчитывается для каждого столбца Х.

Первый центральный момент равен нулю. Второй центральный момент является точечной оценкой дисперсии и определяется по формуле

,

где M[X]j - математическое ожидание выборки, n - объем выборки (число элементов в векторе, или строк в матрице Х).

 

Центральный момент k-го порядка рассчитывается по формуле

,

где   - среднее арифметическое значение выборки Xj , E(t) - наиболее вероятная оценка параметра t.

Примеры использования функции расчета центрального момента произвольного порядка выборки

Расчет второго центрального момента (точечной оценки дисперсии) выборки Х, заданной в виде вектора

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> m = moment(X,2)

m =

    0.7940

  

Расчет второго центрального момента (точечной оценки дисперсии) выборки Х, заданной в виде матрицы

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> m = moment(X,2)

m =

    0.7615    0.7820    0.9083    0.8813    1.1147

 

 

Наверх

nanmax - Максимальное значение в выборке. Нечисловые значения в выборке игнорируются

Синтаксис

m = nanmax(Х)

[m,ndx] = nanmax(Х)

m = nanmax(Х,Y)

 

Описание

m = nanmax(Х) функция предназначена для поиска максимального значения m в выборке Х содержащей значения элементов равные NaN. Нечисловые значения элементов матрицы Х NaN рассматриваются как пропущенные. Если Х задана как вектор, то поиск максимального значения производится по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы поиск максимального значения выполняется для каждого столбца Х.

[m,ndx] = nanmax(Х) функция поиска максимального значения m и номеров максимальных значений ndx в выборке Х, содержащей значения элементов равные NaN. Номера максимальных значений ndx представляются в виде вектора.

 

m = nanmax(Х,Y) функция выполняет поиск максимальных элементов m матриц Х и Y с игнорированием элементов со значениями равными NaN. Сравнение соответствующих элементов матриц X, Y выполняется попарно. Размерности Х и Y должны совпадать. Результатом является матрица m с размерностью матриц Х и Y.

Примеры использования функции поиска максимального значения в выборке содержащей нечисловые элементы

Поиск максимального значения выборки Х, заданной в виде вектора

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> X([1 10 50 66 54]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> m = nanmax(Х)

m =

   12.1832

   

Поиск максимальных значений выборок в матрице Х

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> m = nanmax(Х)

m =

   12.1122   12.3093   12.3726   11.8705   12.6903

   

Поиск максимальных значений выборок и их индексов в матрице Х

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> [m,ndx] = nanmax(Х)

m =

   12.1764   12.7316   12.4953   11.7621   12.9495

ndx =

    67    56    36    52    77

  

Поиск максимальных элементов матриц Х и Y с игнорированием элементов равных NaN

 

>> X = normrnd(10,1,5,5);

>> Y = normrnd(10,1,5,5);

>> X([1 7 12 15 25]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> Y([2 6 11 16 23]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> m = nanmax(Х,Y)

m =

    7.0228   11.6830   12.2472   11.4445    9.5813

   11.6275   10.5553   10.0032    9.9256   11.4149

   10.8844   10.7595   11.9916   10.2624    9.1526

    9.5941   10.0967   11.6241   10.1192   10.1661

    9.8473   11.1580   10.1396   10.3323   10.9260

 

 

Наверх

nanmean - Среднее арифметическое выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются

Синтаксис

y = nanmean(X)

 

Описание

y = nanmean(X) функция предназначена для расчета среднего арифметического y выборки Х содержащей значения элементов равные NaN. Нечисловые значения элементов матрицы Х NaN рассматриваются как пропущенные. Если Х задана как вектор, то расчет среднего арифметического производится по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы расчет среднего арифметического выполняется для каждого столбца Х.

Примеры использования функции расчета среднего арифметического выборки содержащей нечисловые элементы

Расчет среднего арифметического выборки, заданной как вектор

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> X([1 10 50 66 54]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> y = nanmean (Х)

y =

   10.0669

   

Расчет средних арифметических значений выборок, заданных в виде матрицы

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> y = nanmean (Х)

y =

    9.9490   10.1019    9.8540    9.9973    9.8967

 

 

Наверх

nanmedian - Медиана выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются

Синтаксис

y = nanmedian(X)

 

Описание

y = nanmedian(X) функция предназначена для расчета медианы y выборки Х, содержащей значения элементов равные NaN. Нечисловые значения элементов матрицы Х NaN рассматриваются как пропущенные. Если Х задана как вектор, то расчет медианы производится по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы расчет медианы выполняется для каждого столбца Х.

Примеры использования функции расчета медианы выборки с нечисловыми элементами

Расчет медианы выборки, заданной как вектор

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> X([1 10 50 66 54]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> y = nanmedian (Х)

y =

    9.8785

  

Расчет медиан выборок, заданных в виде матрицы

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> y = nanmedian (Х)

y =

   10.2096   10.1491   10.2606   10.1257    9.9874

 

 

Наверх

nanmin - Минимальное значение в выборке. Нечисловые значения в выборке игнорируются

Синтаксис

m = nanmin(Х)

[m,ndx] = nanmin(a)

m = nanmin(a,b)

 

Описание

m = nanmin(Х) функция предназначена для поиска минимального значения m в выборке Х содержащей значения элементов равные NaN. Нечисловые значения элементов матрицы Х NaN рассматриваются как пропущенные. Если Х задана как вектор, то поиск минимального значения производится по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы поиск минимального значения выполняется для каждого столбца Х.

[m,ndx] = nanmin(Х) функция поиска минимального значения m и номеров минимальных значений ndx в выборке Х, содержащей значения элементов равные NaN. Номера минимальных значений ndx представляются в виде вектора.

 

m = nanmin(X,Y) функция выполняет поиск минимальных элементов m матриц Х и Y с игнорированием элементов со значениями равными NaN. Сравнение соответствующих элементов матриц X, Y выполняется попарно. Размерности Х и Y должны совпадать. Результатом является матрица m с размерностью матриц Х и Y.

Примеры использования функции поиска минимального значения в выборке содержащей нечисловые элементы

Поиск минимального значения выборки Х, заданной в виде вектора

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> X([1 10 50 66 54]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> m = nanmin(Х)

m =

    7.9151

  

Поиск минимальных значений выборок в матрице Х

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> m = nanmin(Х)

m =

    8.3019    7.6298    6.4973    6.7146    7.3728

  

Поиск минимальных значений выборок и их индексов в матрице Х

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> [m,ndx] = nanmin(Х)

m =

    7.6796    7.8707    7.9710    8.0647    7.3797

ndx =

    71    75    29    19    37

  

Поиск минимальных элементов матриц Х и Y с игнорированием нечисловых элементов

 

>> X = normrnd(10,1,5,5);

>> Y = normrnd(10,1,5,5);

>> X([1 7 12 15 25]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> Y([2 6 11 16 23]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> m = nanmin(Х,Y)

m =

   11.0258   11.2535   10.3844   12.2433   10.3521

    8.1952   11.0665    9.3263    9.8507    9.9351

   10.5221    6.9539   10.0804    9.1112    9.9209

    9.7920    9.7282   11.2769    8.2508    9.8360

    9.7798    9.7111   10.5591    7.8597    9.3344

 

 

Наверх

nanstd - Оценка среднего квадратического отклонения выборки. Нечисловые значения в выборке игнорируются

Синтаксис

y = nanstd(X)

 

Описание

y = nanstd(X) функция предназначена для расчета точечной оценки среднего квадратического отклонения y выборки Х, содержащей значения элементов равные NaN. Нечисловые значения элементов матрицы Х NaN рассматриваются как пропущенные. Если Х задана как вектор, то расчет точечной оценки среднего квадратического отклонения производится по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы расчет точечной оценки среднего квадратического отклонения выполняется для каждого столбца Х.

Примеры использования функции расчета точечной оценки среднего квадратического отклонения выборки с нечисловыми элементами

Расчет точечной оценки среднего квадратического отклонения выборки, заданной как вектор

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> X([1 10 50 66 54]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> y = nanstd(X)

y =

    0.9424

  

Расчет точечных оценок среднего квадратического отклонения выборок, заданных в виде матрицы

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> X([1 120 250 366 454]) = [NaN NaN NaN NaN NaN];

>> y = nanstd(X)

y =

    1.0444    1.0968    1.0272    0.9683    1.1566

 

 

Наверх

prctile - Выборочная процентная точка (процентиль)

Синтаксис

Y = prctile(X,p)

 

Описание

Y = prctile(X,p) функция предназначена для расчета процентилей Y выборки X, соответствующих вероятности попадания случайной величины в интервал (-,Y] с вероятностью p. Значение вероятности p должно находиться в интервале от 0 до 100%.

Если Х задана как вектор, то процентиль Y рассчитывается по всем его элементам для вероятности p. Вероятность p может быть задана как скаляр или вектор. Значения процентили рассчитываются для каждого элемента вектора p. 

 

Для выборки определенной в виде матрицы процентиль рассчитывается для каждого столбца Х. Для матрицы Х и вектора р процентиль рассчитывается для всех значений p и для каждого столбца. Размерность матрицы Y равна mxn, где m - число элементов вектора p, n - число столбцов матрицы Х.

Примеры использования функции расчета процентилей выборки

Расчет 10% процентили вектора Х

>> X = normrnd(0,1,100,1);

>> p=10;

>> Y = prctile(X,p)

Y =

   -1.1015

   

Расчет 10%, 20%, 30% процентилей вектора Х

 

>> X = normrnd(0,1,100,1);

>> p=[10 20 30];

>> Y = prctile(X,p)

Y =

   -1.2258   -1.0402   -0.6829

   

Расчет 10% процентилей для нескольких выборок матрицы Х

>> X = normrnd(0,1,100,5);

>> p=10;

>> Y = prctile(X,p)

Y =

   -1.2635   -1.1216   -1.3599   -1.3920   -1.0285

   

Расчет 10%, 20%, 30% процентилей для нескольких выборок матрицы Х

 

>> X = normrnd(0,1,100,5);

>> p=[10 20 30];

>> Y = prctile(X,p)

Y =

   -1.4662   -1.2327   -1.4568   -1.5269   -1.4533

   -0.9595   -0.7126   -1.0071   -0.9093   -0.9905

   -0.5902   -0.2939   -0.6884   -0.5700   -0.6566

   

Графическое представление 10%, 30%, 50%, 70%, 90% процентилей выборки Х

>> X = normrnd(0,1,100,1);

>> p=[10 30 50 70 90];

>> Y = prctile(X,p)

Y =

   -1.1015   -0.3344    0.1162    0.5745    1.1421

>> hist(X)

>> grid on

>> H=line ([Y(1) Y(1)], [0 25]);

>> H1=line ([Y(2) Y(2)], [0 25]);

>> H2=line ([Y(3) Y(3)], [0 25]);

>> H3=line ([Y(4) Y(4)], [0 25]);

>> H4=line ([Y(5) Y(5)], [0 25]);

 

 

 

Наверх

range - Размах выборки

Синтаксис

R = range(X)

 

Описание

R = range(X) функция предназначена для расчета размаха R выборки Х. Если Х задана как вектор, то размах рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы размах рассчитывается для каждого столбца Х.

Расчет размаха выполняется по формуле

Размах является точечной оценкой разброса значений выборки. Размах чувствителен к грубым промахам, что делает его ненадежной оценкой разброса.

Примеры использования функции расчета размаха выборки

 

Расчет размаха выборки Х заданной в виде вектора

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> R = range(X)

R =

    5.7830

  

Расчет размаха выборки Х заданной в виде матрицы

 

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> R = range(X)

R =

    4.4707    6.2069    5.4199    4.2831    4.5227

  

Оценка влияния грубых промахов на величину размаха

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> R = range(X)

R =

    4.9442

>> X(100,1) =-8;

>> R = range(X)

R =

   20.8149

 

 

Наверх

skewness - Оценка коэффициента асимметрии

Синтаксис

y = skewness(X)

y = skewness(X,flag)

 

Описание

y = skewness(X) функция предназначена для расчета точечной оценки коэффициента асимметрии y выборки Х. Если Х задана как вектор, то точечная оценка коэффициента асимметрии рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы точечная оценка коэффициента асимметрии рассчитывается для каждого столбца Х.

Расчет проводится по формуле

,

где  - среднее арифметическое значение выборки Х,  - точечная оценка среднего квадратического отклонения выборки Х, E(t) - наиболее вероятная оценка параметра t.

 

Коэффициент асимметрии выборки является мерой смещенности распределения относительно среднего арифметического значения. 

Отрицательный коэффициент асимметрии соответствует распределению смещенному влево относительно среднего значения. Положительный коэффициент асимметрии соответствует распределению смещенному вправо относительно среднего значения. Для нормального закона, или любого другого симметричного распределения, коэффициент асимметрии равен нулю.

 

y = skewness(X,flag) функция позволяет рассчитать несмещенную (flag=0) и смещенную (flag=1, значение по умолчанию) точечную оценку коэффициента асимметрии y выборки Х. Величина смещения выборочного коэффициента асимметрии зависит от объема выборки. Если Х является выборкой из генеральной совокупности, для получения несмещенной точечной оценки коэффициента асимметрии flag должен быть равен 0.

Примеры использования функции расчета точечной оценки коэффициента асимметрии выборки

Расчет точечной оценки коэффициента асимметрии выборки Х, заданной в виде вектора

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> y = skewness (X)

y =

    0.1302

  

Расчет точечной оценки коэффициента асимметрии выборки Х заданной в виде матрицы

>> X = normrnd(10,1,100,5);

>> y = skewness (X)

y =

    0.2924   -0.3086    0.0883    0.0849    0.2744

  

Расчет смещенной и несмещенной точечных оценок коэффициента асимметрии выборки Х

 

>> X = normrnd(10,1,100,1);

>> y = skewness (X,1)

y =

    0.6063

>> y = skewness (X,0)

y =

    0.6156

  

Сравнение распределения выборок и значений коэффициента асимметрии для нормального закона и закона Вейбулла

>> X1 = normrnd(10,1,100,1);

>> X2 = weibrnd(2,1,100,1);

>> X = [X1 X2];

>> y = skewness (X)

y =

   -0.3116    2.5254

>> histfit(X1)

>> grid on

 

>> histfit(X2)

>> grid on

 

 

Наверх

tabulate - Определение частот целых положительных элементов вектора случайных значений

Синтаксис

table = tabulate(x)

tabulate(x)

 

Описание

table = tabulate(x) функция позволяет получить матрицу table частот элементов вектора х. Элементы вектора х должны быть целыми положительными числами. Матрица table содержит три столбца. В первом столбце содержатся значения элементов вектора х, во втором - частота значений, в третьем - относительная частота значений, выраженная в процентах от объема выборки.

tabulate(x) вариант синтаксиса функции без выходных аргументов выводит матрицу частот в виде отформатированной таблицы.

Примеры использования функции расчета частот элементов вектора

Расчет матрицы частот элементов вектора

 

>> x = unidrnd(5,50,1);

>> table = tabulate(x)

table =

     1    14    28

     2    12    24

     3     6    12

     4     6    12

     5    12    24

   

Расчет матрицы частот элементов вектора и вывод форматированной таблицы

>> x = unidrnd(5,50,1);

>> tabulate(x)

  Value    Count    Percent

      1       14     28.00%

      2       12     24.00%

      3        6     12.00%

      4        6     12.00%

      5       12     24.00%

 

 

Наверх

trimmean - Оценка среднего арифметического значения, находимая с игнорированием заданного процента минимальных и максимальных элементов в выборки

Синтаксис

m = trimmean(X,percent)

 

Описание

m = trimmean(X,percent) функция предназначена для расчета среднего арифметического m выборки X с исключением заданного процента наблюдений percent в выборке. Исключение выполняется для минимальных и максимальных значений с долей наблюдений равной percent/2. Полученная оценка математического ожидания является робастной. Если данные принадлежат к одному распределению, то среднее арифметическое полученное с игнорированием заданного процента наблюдений мене эффективно по сравнению со средним арифметическим.

Если Х задана как вектор, то среднее арифметическое значение рассчитывается по всем его элементам. Для выборки определенной в виде матрицы среднее арифметическое значение рассчитывается для каждого столбца Х.

 

Для Х заданной как матрица (набор выборок) можно определить вектор percent для каждой выборки отдельно. В этом случае число элементов в векторе percent должно быть равно числу столбцов Х.

Примеры использования функции расчета среднего арифметического значения выборки с исключением заданного процента минимальных и максимальных элементов в выборке

Расчет среднего арифметического значения выборки с игнорированием 5% минимальных и 5% максимальных значений выборки заданной как вектор

>> X=normrnd(0,1,100,1);

>> percent = 10

percent =

    10

>> m = trimmean(X,percent)

m =

    0.0594

Расчет среднего арифметического значения выборки с игнорированием 5% минимальных и 5% максимальных значений выборки заданной как матрица

>> X=normrnd(0,1,100,5);

>> percent = 10

percent =

    10

>> m = trimmean(X,percent)

m =

    0.0582   -0.0580    0.1150   -0.1523    0.0109

 

Расчет средних арифметических значений 5 выборок с игнорированием 5%, 10%, 7%, 12%, 20% минимальных и максимальных значений для каждой выборки

>> X=normrnd(0,1,100,5);

>> percent = [5 10 7 12 20]

percent =

     5    10     7    12    20

>> m = trimmean(X,percent)

m =

   -0.1101   -0.0970    0.1581    0.1432    0.1737

Оценка эффективности среднего арифметического с 10% исключением максимальных и минимальных значений по сравнению со средним арифметическим, рассчитанных без исключения элементов выборки.

>> x = normrnd(0,1,100,100);

>> m = mean(x);

>> trim = trimmean(x,10);

>> sm = std(m);

>> strim = std(trim);

>> efficiency = (sm/strim).^2

efficiency =

    0.9684

 

Оценка эффективности среднего арифметического с 10% исключением максимальных и минимальных значений по сравнению со средним арифметическим, рассчитанных без исключения элементов выборки.

>> x = normrnd(0,1,100,100);

>> m = mean(x);

>> trim = trimmean(x,10);

>> sm = std(m);

>> strim = std(trim);

>> efficiency = (sm/strim).^2

efficiency =

    0.9684

 

 

Наверх

capable - Расчет индексов воспроизводимости процесса Cp, Сpk

Синтаксис

p = capable(data,specs)

[p,Cp,Cpk] = capable(data,specs)

 

Описание

p = capable(data,specs) функция позволяет рассчитать вероятность р выхода значений выборки data за границы допусков specs. Выборка data задается как вектор. Границы допусков представляются в виде двухэлементного вектора: specs(1) - нижняя граница допуска, specs(2) - верхняя граница допуска.

Исходными предположениями при расчете p являются:

  1. не противоречие выборки data нормальному закону с постоянными математическим ожиданием и дисперсией, 

  2. статистической независимостью результатов измерений в выборке.

[p,Cp,Cpk] = capable(data,specs) позволяет рассчитать вероятность р выхода значений выборки data за границы допусков specs, индексы воспроизводимости процесса Cp, Cpk

Расчет среднего арифметического значения элементов вектора на 20 элементов. Генерируется 10 бутстреп выборок.

 

Индекс Cp (индекс потенциальной пригодности) представляет собой отношение разности верхней USL и нижней LSL границ поля допуска к произведению , где  - точечная оценка среднего квадратического отклонения выборки:

Для центрированного технологического процесса (выборочное среднее совпадает с номинальным значением параметра технологического процесса) значение Cp=1 соответствует отношению числа дефектов к числу изделий равному 1/1000. Согласно положениям метода "шесть сигма" долю дефектов необходимо снижать до величин 10/1000000 и менее. Величина доли дефектов 1/1000000 соответствует значению Cp=1.6. Таким образом, уменьшение величины коэффициента Cp соответствует улучшению качества технологического процесса по уровню дефектности при центрированном технологическом процессе.

Индекс Cpk (индекс смещенности технологического процесса) рассчитывается по формуле

где  - среднее арифметическое выборки data.

 

Из приведенной выше формулы следует, что индекс воспроизводимости Cpk является отношением минимальной разности среднего арифметического выборки data и верхней или нижней границы поля допуска параметра к трем точечным оценкам среднего квадратического отклонения. Индекс Cpk=1 для центрированного технологического процесса при Cp=1

Примеры использования функции расчета индексов воспроизводимости

Расчет вероятности брака.

 

>> data=normrnd(0,1,100,1);

>> specs=[-2 2];

>> p = capable(data,specs)

p =

    0.0413

  

Расчет вероятности брака и индексов воспроизводимости процесса Cp , Cpk .

>> data=normrnd(0,1,100,1);

>> specs=[-2 2];

>> [p,Cp,Cpk] = capable(data,specs)

p =

    0.0216

Cp =

    0.7672

Cpk =

    0.7452

  

Пример центрированного процесса с границами рассеяния параметра (±3) совпадающими с границами допусков.

 

>> data=normrnd(0,1,100,1);

>> specs=[-3 3];

>> [p,Cp,Cpk] = capable(data,specs)

p =

    0.0013

Cp =

    1.0856

Cpk =

    1.0316

  

Графическое представление центрированного технологического процесса 

с границами рассеяния параметра совпадающими с границами допусков.

>> data=normrnd(0,1,100,1);

>> specs=[-3 3];

>> [p,Cp,Cpk] = capable(data,specs)

p =

    0.0013

Cp =

    1.0856

Cpk =

    1.0316

>> capaplot(data,specs)

>> H = line([0 0],[0 0.5])

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H1=line([specs(1) specs(1)],[0 0.5])

>> set(H1,'Color','m')

>> text(specs(1) + 0.1,0.4,'LSL');

>> H2=line([specs(2) specs(2)],[0 0.5])

>> set(H2,'Color','m')

>> text(specs(2) + 0.1, 0.4,'USL');

>> grid on

 

Пример смещенного вправо параметра технологического процесса с границами рассеяния параметра совпадающими с границами допусков. Номинальное значение параметра равно нулю.

>> data=normrnd(1.5,1,100,1);

>> specs=[-3 3];

>> [p,Cp,Cpk] = capable(data,specs)

p =

    0.0945

Cp =

    0.8797

Cpk =

    0.4380

Графическое представление смещенного вправо параметра технологического процесса и границами рассеяния параметра совпадающими с границами допусков.

>> data=normrnd(1.5,1,100,1);

>> specs=[-3 3];

>> capaplot(data,specs)

>> H = line([0 0],[0 0.4])

>> set(H,'LineWidth',3, 'Color','k')

>> H0 = line([mean(data) mean(data)],[0 0.4])

>> set(H0,'LineWidth',3, 'Color','b')

>> H1=line([specs(1) specs(1)],[0 0.4])

>> set(H1,'Color','m')

>> text(specs(1) + 0.1,0.4,'LSL');

>> H2=line([specs(2) specs(2)],[0 0.4])

>> set(H2,'Color','m')

>> text(specs(2) + 0.1, 0.4,'USL');

>> grid on

 

 

 

Наверх

capaplot - График воспроизводимости процесса

Синтаксис

p = capaplot(data,specs)

[p,h] = capaplot(data,specs)

 

Описание

p = capaplot(data,specs) позволяет построить график функции плотности нормального закона по точечным оценкам математического ожидания и среднего квадратического отклонения выборки data с наложенными границами допусков параметра specs. Выборка входных значений data должна быть представлена как вектор. Предполагаемся, что выборка data не противоречит нормальному закону. Выходной параметр p является вероятностью попадания значения случайной величины в границы допусков specs. Границы допусков задаются в виде двухэлементного вектора: specs(1) - нижняя граница допуска, specs(2) - верхняя граница допуска. Вероятность попадания значений параметра технологического процесса на графике представляется закрашенной областью между границами допусков specs, осью абсцисс и кривой функции плотности распределения вероятности нормального закона.

[p,h] = capaplot(data,specs) функция кроме величины p возвращает массив указателей на элементы графика воспроизводимости h.

 

Примеры использования функции построения графика воспроизводимости процесса

Пример несмещенного технологического процесса с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Нижняя и верхняя границы допусков равны LSL=-2; USL=2.

 

>> data = normrnd(0,1,50,1);

>> p = capaplot(data,[-2 2])

p =

0.9530

Пример смещенного технологического процесса с единичным математическим ожиданием и единичной дисперсией. Нижняя и верхняя границы допусков равны LSL=-2; USL=2.

>> data = normrnd(1,1,50,1);

>> p = capaplot(data,[-2 2])

p =

0.8464

Использование функции capaplot для получения указателей на элементы графика воспроизводимости. Процесс несмещенный с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Нижняя и верхняя границы допусков равны LSL=-2; USL=2.

>> data = normrnd(1,1,50,1);

>> [p h] = capaplot(data,[-2 2])

p =

    0.8163

h =

  129.0002

    3.0046

  102.0051

>> h(1)

ans =

  129.0002

>> get(h(1))

  Color = [0 0 1]

  EraseMode = normal

  LineStyle = -

  LineWidth = [0.5]

  Marker = none

  MarkerSize = [6]

  MarkerEdgeColor = auto

  MarkerFaceColor = none

  XData = [ (1 by 250) double array]

  YData = [ (1 by 250) double array]

  ZData = []

  BeingDeleted = off

  ButtonDownFcn = 

  Children = []

  Clipping = on

  CreateFcn = 

  DeleteFcn = 

  BusyAction = queue

  HandleVisibility = on

  HitTest = on

  Interruptible = on

  Parent = [101.001]

  Selected = off

  SelectionHighlight = on

  Tag = 

  Type = line

  UIContextMenu = []

  UserData = []

  Visible = on

 

 

Наверх

ewmaplot - Контрольная карта экспоненциально взвешенного среднего

Синтаксис

ewmaplot(data)

ewmaplot(data,lambda)

ewmaplot(data,lambda,alpha)

ewmaplot(data,lambda,alpha,specs)

h = ewmaplot(...)

 

Описание

ewmaplot(data) функция предназначена для построения контрольной карты экспоненциально взвешенного скользящего среднего для выборки data. Размерность матрицы DATA равна n×m, где n - количество выборок (строк DATA), m - объем выборки (число столбцов DATA). Последовательность выборок (строк матрицы data) должна соответствовать порядку сбора исходных данных. На графике контрольной карты отображаются выборочное скользящее среднее , i=1..n, центральная линия, соответствующая общему среднему , верхняя UCL и нижняя LCL контрольные границы.

Верхняя и нижняя контрольные границы определяются как

,

 - среднее квадратическое отклонение .

ewmaplot(data,lambda) функция служит для построения контрольной карты экспоненциально взвешенного скользящего среднего для выборки data и переменной lambda, отвечающей за степень влияния предыдущих значений на текущее скользящее среднее. Большее значение lambda соответствует большему весу предыдущих наблюдений. Величина lambda должна находиться в интервале [0 1]. По умолчанию lambda=0.4.

ewmaplot(data,lambda,alpha) функция позволяет построить контрольную карту экспоненциально взвешенного скользящего среднего для выборки data с заданным весом предыдущих наблюдений lambda и уровнем значимости alpha для верхней и нижней контрольных границ. По умолчанию alpha=0,0027, это соответствует ± 3:

>> norminv(1-0.0027/2)

ans =

3.0000

Для расчета уровня значимости alpha соответствующего ± k средних квадратических отклонений скользящего среднего используется выражение 2*(1-normcdf(k)). Например, для k=2 значение conf равно

>> k = 2;

>> alpha =2*(1-normcdf(k))

alpha =

0.0455

ewmaplot(data,lambda,alpha,specs) функция служит для построения контрольной карты экспоненциально взвешенного скользящего среднего для выборки data с заданным весом предыдущих наблюдений lambda, уровнем значимости alpha и границ допуска параметра specs. Границы допусков определяются как вектор с двумя элементами: specs(1) - нижняя граница допуска, specs(2) - верхняя граница допуска.

h = ewmaplot(...) в этом варианте синтаксиса допустимы любые перечисленные выше входные параметры, выходным параметром h является вектор указателей на объекты графика контрольной карты.

Примеры использования функции построения контрольной карты экспоненциально взвешенного скользящего среднего

EWMA контрольная карта для технологического процесса с постоянным нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

>>data=normrnd(0,1,20,5)

data =

    0.4634    1.4766    0.6970   -0.5102   -0.5608

   -0.9241   -0.8138   -1.3664   -0.0067    0.1793

   -0.6497    0.6450    0.3630   -0.5255   -0.7715

    0.6229   -1.3099   -0.5670    0.7177   -0.9434

   -1.3351   -0.8674   -1.0442    1.0884   -1.4076

    1.0477   -0.4742    0.6971    0.5006   -1.9061

    0.8633    0.2224    0.4840    2.7718   -0.0653

   -0.6424    1.8713   -0.1938   -0.1603    0.6721

    0.6600    0.1100   -0.3781    0.4295    0.2061

    1.2941   -0.4113   -0.8864   -1.9668   -0.0081

    0.3146    0.5112   -1.8402   -0.5460    0.0200

    0.8596   -1.1991   -1.6282   -1.8884   -0.5584

    0.1287   -0.0964   -1.1738   -0.1080    1.8861

    0.0166    0.4458   -0.4154   -1.3161   -0.2200

   -0.0728   -0.2958    0.1751   -0.6726   -1.4144

   -0.9943   -0.1680    0.2294   -0.9024   -0.3028

   -0.7474    0.1795   -1.2409   -0.1548   -0.5696

   -0.0308    0.4211    0.7000    0.9472   -0.1215

    0.9884    1.6777    0.4269    1.5504   -0.3902

   -0.5990    1.9969    1.4548    0.4290   -0.8443

>>ewmaplot(data)